သင်္ချာလို့ ပြောလိုက်တာနဲ့ ရှုပ်ယှက်ခတ်နေတဲ့ ညီမျှခြင်းတွေ၊ အတွက်အချက်တွေကို ပြေးမြင်မိတတ်ကြတယ်။ အဲ မရှုပ်ဘူးလားဆိုတော့လည်း ဟုတ်ကဲ့၊ ရှုပ်တော့ ရှုပ်ပါတယ်။ ဒါပေမယ့်လည်း အဲဒီရှုပ်ယှက်ခတ်နေတဲ့ သင်္ချာညီမျှခြင်းတွေကပဲ ကျွန်ုပ်တို့ နေထိုင်ရာ၊ ကျင်လည်ရာ လောကကြီးရဲ့ သဘောသဘာဝကို ပြောင်မြောက်စွာ ပြသနေကြလေရဲ့။ လေ့လာရင်းနဲ့ တတ်ကျွမ်းနားလည်မှု အဆင့်တစ်နေရာကို ရောက်လာတဲ့အခါမှာတော့ ယင်းသင်္ချာရဲ့ အနှစ်သာရတွေကို စတင်ခံစားမိလာတတ်တယ်။ ဥပမာပေးပြီး ခိုင်းနှိုင်းရရင်တော့ ပန်းချီကားတစ်ချပ်ကို ခံစားရသလိုမျိုးပါ။ စစချင်းမှာတော့ (အထူးသဖြင့် ပန်းချီအကြောင်း နားမလည်သေးတဲ့အချိန်မှာ) ပန်းချီကားဟာ ဘယ်လောက်ပဲလှနေစေဦးတော့ သူ့ရဲ့ အနှစ်သာရတွေကို သေချာခံစားကြည့်လို့ မရနိုင်ပါ။ အကယ်၍များ သင်က ပန်းချီအကြောင်း အတန်အသင့်မျှ သိထားမယ်ဆိုရင် အဆိုပါ ပန်းချီရဲ့ အလှကိုသာမကဘဲ ပန်းချီဆရာရဲ့ စုတ်ချက်တိုင်း၊ ကောက်ကြောင်းတိုင်းဟာ သင့်အတွက် အဓိပ္ပာယ်ရှိလာပါတယ်။ သင်္ချာညီမျှခြင်းတွေဟာလည်း ထိုနည်းတူပါပဲ။ စစချင်းမှာ ခေါင်းရှုပ်စရာလို့ ထင်စရာရှိပေမယ့် အတန်အသင့်သာ နားလည်နိုင်မယ်ဆိုရင် အဆိုပါ ညီမျှခြင်းတွေရဲ့ လှပနက်နဲတဲ့ အဓိပ္ပာယ်တွေကို သင်မြင်တွေ့ခံစားနိုင်ပါတယ်။ ဒါ့ကြောင့် ဒီဆောင်းပါးလေးမှာတော့ သင်္ချာနဲ့ သိပ္ပံလောကမှ ပညာရှင်တွေကိုယ်တိုင် ‘အလှရတနာလေး’လို့ တင်စားပြောဆိုခဲ့ကြတဲ့  ညီမျှခြင်းလေး တစ်ကြောင်းနဲ့ မိတ်ဆက်ပေးပါရစေ ခင်ဗျား။

ညီမျှခြင်းလေးရဲ့ နာမည်ကတော့ Euler’s Identity ပါ။ မြန်မာလိုတော့ ‘အွိုင်လာရဲ့ အမှတ်အသား’ လို့ အဓိပ္ပာယ်ထွက်ပါတယ်။ Euler’s Identity လို့ ခေါ်ရတဲ့ အကြောင်းရင်းကတော့ ဒီညီမျှခြင်းလေးကို ပထမဆုံးစတင်ဖော်ပြခဲ့တဲ့သူက ဆွီဒင်နိုင်ငံသား လီယိုနာဒ် အွိုင်လာ (၁၇၀၇-၁၇၈၃) ဖြစ်နေလို့ပါဘဲ။ ပုံ ၁ မှာ အွိုင်လာရဲ့ ပုံတူပန်းချီကားကို ပြထားပါတယ်။ ယနေ့ခေတ် သင်္ချာ၊ မက္ကင်းနစ် (Mechanics)၊ ‌အရည်အငွေ့ ရွေ့လျားမှု (Fluid dynamics)၊ နက္ခတဗေဒ (Astronomy) စတဲ့ ဘာသာရပ်တွေမှာ အွိုင်လာရဲ့ လွှမ်းမိုးမှုတော်တော်များများကို တွေ့မြင်နိုင်ပါတယ်။

မှတ်ချက်။ အဆိုပါ ‘အွိုင်လာရဲ့ အမှတ်အသား’ ညီမျှခြင်း ကို သင်္ချာပညာရှင် ရိုဂျာကို့စ်က ၁၇၁၄ ခုနှစ်ကတည်းက စတင်အသုံးပြုခဲ့တယ်လို့ တစ်ချို့ကဆိုထားပြန်ပါတယ်။ အွိုင်လာ တကယ်စတင်သုံးစွဲခဲ့တဲ့ အချိန်က ၁၇၄၈ ခုနှစ်မှသာလျှင် ဖြစ်ပါတယ်။ Ref[1]

Portrait of Leonhard Euler by Jakob Emanuel Handmann (1753)

ပုံ ၁။ သင်္ချာပညာရှင် လီယိုနာဒ် အွိုင်လာ၏ ပုံတူပန်းချီကား (Ref. [2])

ညီမျှခြင်းလေးကတော့ အောက်ပါအတိုင်းဘဲ ဖြစ်ပါတယ်။

{ e }^{ i \pi} + 1 = 0

ညီမျှခြင်းပါ သင်္ကေတတွေကို ပုံ ၂ မှာ ပြထားတဲ့အတိုင်း တစ်ခုချင်းပြန် သရုပ်ခွဲကြည့်လို့ ရပါတယ်။

Analysing the symbols from the equation 'Euler's identity'

ပုံ ၂။ ညီမျှခြင်းပါ သင်္ကေတများကို သရုပ်ခွဲကြည့်ခြင်း

ဒီညီမျှခြင်းလေးကို သိမ်မွေ့လှပတယ်လို့ ပညာရှင်အများက ဆိုစမှတ်ပြုကြခြင်းဟာ စာရေးသူအမြင်တော့ သူ့ထဲမှာပါတဲ့ သင်္ကေတတွေကြောင့် ဖြစ်နိုင်ပါတယ်။ ဘာလို့လဲဆိုတော့ ဒီသင်္ကေတတွေရဲ့ နောက်ခံခေတ်သမိုင်းတွေ၊ ပေါ်ပေါက်လာကြတဲ့ အကြောင်းရင်းတွေဟာ တစ်ခုနဲ့တစ်ခု မတူညီကြပါဘူး။ ရုတ်တရက်ကြည့်လိုက်မယ်ဆိုရင်လည်း သူတို့တွေဟာ တစ်ခုနဲ့တစ်ခု ဆက်စပ်မှု မရှိတဲ့ ပုံပေါက်နေပါတယ်။ ကဲ တစ်ခုချင်းစီရဲ့ ရာဇဝင်လေးနဲနဲလောက် ဆက်ကြည့်ကြဦးစို့။

 

(၁) e (သို့မဟုတ်) အွိုင်လာကိန်းသေ (Euler number)

အွိုင်လာကိန်းသေ e ဆိုတဲ့ ဂဏန်းဟာ ၁၆၁၈ – ၁၆၆၈ ခုနှစ်ဝန်းကျင်တွေမှာ လော်ဂရစ်သမ် (Logarithm) အတွက်အချက်တွေနဲ့ ပတ်သက်ပြီးတော့ သင်္ချာလောကထဲကို စတင်ဝင်ရောက်လာခဲ့ပါတယ်။ အထူးသဖြင့် အခြေ e ရှိတဲ့ လော်ဂရစ်သမ်တွေ (ဥပမာ \log _{ e }{ 2 } သို့မဟုတ် \ln { 2 } ) ကို သဘာဝ လော်ဂရစ်သမ် (natural logarithm) ဆိုပြီး ခေါ်ဝေါ်သုံးနှုန်းခဲ့ဖူးပါတယ်။ ဒါပေမယ့် e ဆိုပြီးတော့ ဘယ်သူမှ သတ်သတ်မှတ်မှတ် ခေါ်ဝေါ်သုံးစွဲခဲ့ခြင်း မရှိခဲ့သလို သူ့ရဲ့ သဘောသဘာဝကိုလည်း သေချာနားမလည်ခဲ့သေးပါဘူး။ e နဲ့ ပတ်သက်တဲ့ သင်္ချာဆိုင်ရာ သုတေသနတွေဟာလည်း အဲဒီမှာ ခဏတစ်ဖြုတ် ပြီးဆုံးသွားတယ်လို့ ဆိုနိုင်ပါတယ်။

အဲ e ဘယ်လိုမျိုး ပြန်ပြီးအသက်ဝင်လာလဲ ဆိုတဲ့ ဇာတ်လမ်းလေးကလည်း အင်မတန်မှ စိတ်ဝင်စားဖို့ကောင်းတယ်။ ၁၆၈၃ ခုနှစ်လောက်မှာပေါ့၊ အဲဒီတုန်းက ဘဏ်တိုးနှုန်းတွေတွက်ဖို့ လုပ်ကြတယ်။ အဲ့မှာ ဂျေကော့ပ် ဘာနောလီ လို့ခေါ်တဲ့ ဆွီဒင်လူမျိုး သင်္ချာပညာရှင်ဟာ ထပ်ဆင့်တိုး (compound interest) နဲ့ ပတ်သက်ပြီးတော့ ပဟေဠိတစ်ပုဒ်ကို သွားတွေ့တယ်။ ဒီနေရာမှာ ထပ်ဆင့်တိုးအကြောင်းကို စာဖတ်သူနားလည်အောင် ရှင်းပြချင်ပါတယ်။ သူက ပုံမှန်အတိုးနှုန်းတွေနဲ့ မတူပါဘူး။ ပုံမှန်အတိုးဆိုတာက အချိန်ကာလတစ်ခုကို လွန်မြောက်သွားတဲ့အခါမှာ အရင်းပေါ်မှာ အတိုးရတဲ့ တွက်နည်းမျိုးပါ။ ဥပမာ သင်က ‌‌ငွေ ၁၀၀ ကျပ် ကို တစ်လကို ၁၀ ရာခိုင်နှုန်းအတိုးနဲ့ ချေးထားတယ်ဆိုပါတော့။ တစ်လပြည့်တဲ့အခါ သင့်ရဲ့ အတိုးက ၁၀ ကျပ်ပါ (= ၁၀၀ အမြောက် ၁၀  ရာခိုင်နှုန်း)။ နှစ်လပြည့်ရင်လည်း အတိုးက ၁၀ ကျပ်ပါ။ အတိုး‌ရောအရင်းပါထည့်တွက်ရင် နှစ်လပြည့်မှ စုစုပေါင်း ၁၂၀ ကျပ် ရမှာပါ။

ထပ်ဆင့်တိုး ဆိုတာက အတိုးရော အရင်းပါပေါင်းပြီး အတိုးပေါ် အတိုးထပ်ပေးတဲ့ တွက်ချက်နည်းတစ်မျိုးပါ။ ခုနက ဥပမာနဲ့ ပြန်ရှင်းရရင် သင့် ငွေ ၁၀၀ ကျပ်ဟာ တစ်လပြည့်ရင် အတိုး ၁၀ ကျပ် ရပါမယ်။ တစ်လရဲ့ စုစုပေါင်း ငွေ (အရင်း + အတိုး) ကတော့ ၁၁၀ ကျပ် ပေါ့။ နောက် ဒုတိယလအတွက် တွက်တဲ့ အခါမှာ ၁၀၀ ကျပ် ပေါ်မှာ မတွက်တော့ဘဲ  အတိုးနဲ့အရင်းပေါင်းထားတဲ့ ၁၁၀ ကျပ်ကို ၁၀ ရာခိုင်နှုန်းနဲ့ တွက်ပါတယ်။ အဲ့တော့ အတိုးက ခုနကလို ၁၀ ကျပ် မဟုတ်တော့ဘဲ ၁၁ ကျပ် (= ၁၁၀ ကျပ် အမြောက် ၁၀ ရာခိုင်နှုန်း) ဖြစ်သွားပါတယ်။ ဒါ့ကြောင့် နှစ်လပြီးတဲ့ အချိန်မှာတော့ သင်ပြန်ရမယ့် စုစုပေါင်းငွေ (အရင်း + အတိုး) က ၁၂၁ ကျပ်ပါ (= ၁၀၀ + ၁၀ + ၁၁)။ နားလည်ရတာ လွယ်ကူအောင် ပုံ ၃ မှာ ပြန်ပြထားပေးပါတယ်။

Difference between nominal interest and compound interest

ပုံ ၃။ ပုံမှန်တိုးနဲ့ ထပ်ဆင့်တိုး ကွာခြားပုံ

ပုံ ၃ အရတော့ ထပ်ဆင့်တိုးဟာ ပုံမှန်တိုးထက်ပိုပြီး အမြတ်ရနိုင်ပါတယ်။ အဲဒီမှာ ဂျေကော့ပ် ဘာနောလီက စဥ်းစားတယ်။ အကယ်၍များပေါ့ ဘဏ်က ထပ်ဆင့်တိုးကို တစ်လအကြာမှ ပေးတာမျိုးမဟုတ်ဘဲ လဝက်ဆီခွဲပြီး ၅ ရာခိုင်နှုန်းဆီ အတိုးပေးရင်ကော ဆိုပြီး စဥ်းစားကြည့်ပါတယ်။ ဆိုလိုတာက တစ်လပြည့်မှ ၁၀ ရာခိုင်နှုန်းအတိုးမတောင်းဘဲ လဝက်တိုင်းမှာ ၅ ရာခိုင်နှုန်းဆီတောင်းကြည့်ရင်ကော ပိုပြီး မြတ်နိုင်မလားပေါ့။ သူ့ရဲ့ တွက်ချက်မှုညီမျှခြင်းတွေအရ နှစ်လပြည့်တဲ့အခါ စုစုပေါင်းပြန်ရငွေဟာ ၁၂၁.၅၅ ကျပ် ဖြစ်နေပါတယ်။ Wow နဲနဲတက်မလားဘူးလား။ ဘာနောလီတို့တော့ ပွတာဘဲ 😁။ အဲ့ဒါနဲ့ သူပျော်သွားပြီး အကယ်၍များ ဆိုပြီးတော့ ဆက်စဥ်းစားတော့တယ်။ ဟုတ်တယ်လေ။ အတိုးနှုန်းကြောင့် သူဌေးဖြစ်ကိန်းမလား။ အကယ်၍ပေါ့နော်။ တစ်လကို ၅ ကြိမ်အတိုးပေးမယ်။ ထပ်ဆင့်တိုးတွက်နည်းနဲ့ တွက်ကြည့်ရင် ဘယ်လောက်မြတ်မှာလဲပေါ့။ လားလား ဒီတစ်ခါ အတိုးရောအရင်းပါ စုစုပေါင်းပြန်ရငွေက ၁၂၁.၈၉၉ ကျပ်ဖြစ်သွားတယ်။ အဟေးဟေး စိတ်ဝင်စားဖို့တော့ ပိုပိုကောင်းလာတယ်။ ပိုက်ဆံရမှာကိုး 🤑 🤑 💰 💰။ အဲလိုနဲ့ ဂျေကော့ပ် ဘာနောလီဟာ အကြိမ်ပေါင်းများစွာ တွက်ကြည့်တယ်။ တစ်လကို အကြိမ် ၁၀၀၊ အကြိမ် ၁၀၀၀၊ အကြိမ် တစ်သောင်း၊ အကြိမ် တစ်သိန်း စသည်ဖြင့် တိုးတိုးကြည့်တယ်။ အဲ့မှာ ပြဿနာက စတော့တာပဲ။ သူ့ပိုက်ဆံတွေ ထပ်မတက်လာတော့ပါဘူး။ သူတွက်ထားရဲ့ ရလဒ်အချို့ကတော့ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်ပါတယ်။ (အမှန်တော့ စာရေးသူတွက်ကြည့်ထားတာပါ XD)

  • အကြိမ် ၁၀၀ ဖြင့် ထပ်ဆင့်တိုးတွက်ပါက နှစ်လ အတွက် စုစုပေါင်းရငွေ = ၁၂၂.၁၂၈၁ ကျပ်
  • အကြိမ် ၁၀၀၀ ဖြင့် ထပ်ဆင့်တိုးတွက်ပါက နှစ်လ အတွက် စုစုပေါင်းရငွေ = ၁၂၂.၁၃၉၁ ကျပ်
  • အကြိမ် ၁၀၀၀၀ ဖြင့် ထပ်ဆင့်တိုးတွက်ပါက နှစ်လ အတွက် စုစုပေါင်းရငွေ = ၁၂၂.၁၄၀၁ ကျပ်
  • အကြိမ် ၁ မီလီယံ (၁ နောက် သုည ၆လုံး) ဖြင့် ထပ်ဆင့်တိုးတွက်ပါက နှစ်လ အတွက် စုစုပေါင်းရငွေ = ၁၂၂.၁၄၀၃ ကျပ်

၁ ဘီလီယံ ထိတိုးမလား ၊ ၁ ထျီလီယံ ထိထပ်တိုးမလား ၊ အနန္တ (မရေမတွက်နိုင်အောင် များပြားသော ပမာဏ) အထိတိုးဦးမလား။ တိုးချင်သလောက် တိုးစမ်းပါစေ၊ သဘာဝတရားကြီးက ဂျေကော့ပ် ဘာနောလီကို သူဌေးကြီးမဖြစ်အောင် တားမြစ်ထားပုံရတယ်။ Sad news indeed 😢။ အဲလိုကန့်သတ်ပေးထားတဲ့ ဂဏန်းဟာ အံ့အားသင့်စွာပဲ အွိုင်လာကိန်းသေ e ဖြစ်နေပါတယ်။ ထူးဆန်းပါပေ့ သဘာဝတရားကြီးရယ်။ ဒါကို နဲနဲမြင်သာသွားအောင် ထပ်ဆင့်တိုးတွက်ချက်တဲ့ ပုံသေနည်းကို အောက်တွင် ရှုပါ။ တွက်ချက်မှု အသေးစိတ်ကိုတော့ ဆောင်းပါးရှည်သွားမှာ စိုးတဲ့အတွက် မပြတော့ပါဘူး။  စိတ်ဝင်စားသူများရှိရင် comment မှာ ပြောပေးပါ။ လေ့ကျင့်ခန်း ကဏ္ဍမှာ ထပ်ပြီးတင်ပေးပါမယ်။ 👌 👌

ထပ်ဆင့်တိုး အတိုးနှုန်း တွက်ချက်ပုံ

စုစုပေါင်းရ‌ငွေ (အတိုး + အရင်း) = A\left( 1+\frac{B}{N} \right)^{Nt}

A = အရင်း (ဥပမာထဲမှာ ၁၀၀ ကျပ် သုံးထား)

B = အတိုးနှုန်း (ဥပမာထဲမှာ ၁၀ ရာခိုင်နှုန်း သုံးထား)

N = အချိန်ကာလတစ်ခုအတွင်း ထပ်တိုးနှုန်းတွက်တဲ့ အကြိမ်ရေ (ဥပမာထဲမှာ အချိန်တစ်လပေါ်မှာအခြေခံပြီး တွက်တဲ့ အတိုးနှုန်းအကြိမ်ရေ ၁၀၀၊ ၁၀၀၀၊ တစ်သောင်း စသည်ဖြင့် ပြထား)

t = အချိန်ကာလ စုစုပေါင်း (ဥပမာထဲမှာ နှစ်လ)

ပုံသေနည်းကို သုံးရတဲ့ ရည်ရွယ်ချက်ကတော့ အကြိမ်ရေများများ တွက်ချင်တဲ့ အခါ လက်နဲ့ တစ်ခုချင်း တွက်ဖို့ အဆင်မပြေနိုင်တော့တဲ့အတွက်ပါ။ အဆိုပါ ညီမျှခြင်းရဲ့ N နေရာမှာ ကြိုက်သလောက် ဂဏန်းတန်ဖိုးထည့်ပါစေ အဖြေက ၁၂၂.၁၄၀၁ ကျပ် ဝန်းကျင်နားသို့သာ ချဥ်းကပ်သွားပါတယ်။ သင်္ချာမှာတော့ ၎င်းကို limit ကန့်သတ်ချက်ဟု ခေါ်ဆိုပြီး N အနန္တကိန်းသို့ ချဥ်းကပ်သွားတဲ့အခါ (N တန်ဖိုးကြီးလာတာကို ဆိုလို) အဆိုပါ ညီမျှခြင်းမှာ အစားသွင်းတွက်ပါက အဖြေဟာ ကိန်းဂဏန်းတန်ဖိုးတစ်ခုဆီသို့ ချဥ်းကပ်သွားပါတယ်။ အဆိုပါကိန်းဂဏန်းကို သတ်မှတ်ထားတဲ့သူကတော့ e ပဲ ဖြစ်ပါတယ်။

e ရဲ့ သဘောတရားကို သုံးပြီးတော့လည်း အထက်ဖော်ပြပါ ထပ်ဆင့်တိုး အတိုးနှုန်း တွက်ချက်ပုံ ညီမျှခြင်းကို နောက်တစ်မျိုးပြန်ရေးကြည့်လို့ရပါတယ်။

စုစုပေါင်းရ‌ငွေ (အတိုး + အရင်း) = Ae^{Bt}

အဆိုပါညီမျှခြင်းမှာ A နေရာမှာ ၁၀၀၊ B နေရာမှာ ၁၀ ရာခိုင်နှုန်း နဲ့ t နေရာမှာ ၂ အစားသွင်းလိုက်မယ်ဆိုရင် အဖြေက ၁၂၂.၁၄၀၃ ရပါတယ် (ဒသမ ၄ နေရာသာပြသထားသည်)။ ၎င်း အဖြေဟာ အထက်မှာ စာရေးသူတွက်ပြထားတဲ့ အကြိမ် ၁ မီလီယံ (N = 106 ထည့်တွက်လိုက်ရင်) ဖြင့် ထပ်ဆင့်တိုးတွက်ထားတဲ့ စုစုပေါင်းရငွေနဲ့ နီးစပ်ပါတယ်။ တကယ့် အွိုင်လာကိန်းသေမှာတော့ အရင်း ၁ ကျပ်၊ အတိုးနှုန်း ၁၀၀ ရာခိုင်နှုန်းနဲ့ အချိန်ကာလ ၁ ယူနစ်ကိုသာ စဥ်းစားထားပါသည်။ ဒါကြောင့် B တန်ဖိုးနဲ့ t တန်ဖိုးတို့မြောက်လဒ်ဟာ ၁ ရပါသည်။ e^{Bt} = e^{1} = e

ဒီလောက်ဆို အွိုင်လာကိန်းသေ e ရဲ့ သဘောသဘာဝကို စာဖတ်သူလည်း အကြမ်းဖျင်း သိပါပြီထင်ပါတယ်။ ဒါနဲ့ ဘာဆိုင်လို့ အွိုင်လာကိန်းသေ လို့ ခေါ်ပါလိမ့်။ ခုချိန်ထိ အွိုင်လာ ဆိုတာလဲ တစ်လုံးမှ မပါသေး။ မပါသေးဆို သူမှ မမွေးသေးဘဲကိုး 😅။ စာရေးသူတို့ရဲ့ သင်္ချာဟီးရိုးကြီး အွိုင်လာကို ၁၇၀၇ ခုနှစ်မှသာ မွေးဖွားခဲ့တာပါ။ ခုနကဥပမာထဲက ဇာတ်လိုက်ကြီး ဂျေကော့ပ် ဘာနောလီဟာ ဒီ ကိန်းသေကို တွေ့တော့တွေ့ခဲ့ပေမယ့် ရေ‌ရေရာရာ နားမလည်ခဲ့သေးသလို လော်ရစ်သမ်တွေနဲ့ ဆက်စပ်နေတယ်ဆိုတာကိုလည်း သိမသွားရှာပေ။ ဒါပေမယ့် သူ့ရဲ့ ရှာဖွေတွေ့ရှိမှုကို နောက်လူတွေက ဆက်လက်လုပ်ဆောင်ခဲ့ကြတယ်။ ထိုလေ့လာခဲ့ကြသူ ပညာရှင်တွေထဲကမှ အွိုင်လာ လို့ အမည်ရတဲ့ စာရေးသူတို့ရဲ့ သင်္ချာ ဂျီနိယပ်ကြီးဟာ ၁၇၄၈ ခုနှစ်မှာ e နဲ့ ပတ်သက်တဲ့ အသုံးတွေ၊ ပိုမိုတိကျတဲ့ လေ့လာဆန်းစစ်မှုတွေကို Introductio in Analysin infinitorum ဆိုတဲ့စာအုပ်မှာ ချပြလိုက်ပါတော့တယ်။ သူ့ရဲ့ စာအုပ်ထဲမှာ ဒီဂဏန်းကို အင်္ဂလိပ်အက္ခရာ e နဲ့ ကိုယ်စားပြု ရေးသားခဲ့တာကနေ အစပြုလို့ ၎င်းကိုလည်း Euler’s number ဆိုပြီးတော့ ဆိုခေါ်ခဲ့ကြခြင်း ဖြစ်ပါတယ်။ ဆိုလိုတာက သူမမွေးခင်တုန်းကတည်းစခဲ့တဲ့ e နဲ့ ပတ်သက်တဲ့ ပဟေဠိတစ်ခုကို ရှင်းပေးလိုက်နိုင်လို့ အွိုင်လာကိန်းသေ ရယ်လို့ ခေါ်ဆိုခဲ့ကြရတာပါ။

ကဲ တော်တော်လည်း များသွားပါပြီ။ အချုပ်အနေနဲ့ ပြန်ကြည့်ကြရအောင်။

  • e ကို သဘာဝရဲ့ ကိန်းဂဏန်းလို့ ခေါ်ဆိုပါတယ်။ ဘယ်လိုလုပ်ပြီး ၎င်းတန်ဖိုးက ကန့်သတ်ချက် ဂဏန်းတစ်လုံးရယ်လို့ ဖြစ်လာတယ်ဆိုတာတော့ စာရေးသူလည်း မသိပါ။ ကြည့်ရတာ စကြဝဠာဖြစ်ပေါ်လာကတည်းက အဆိုပါကိန်းသေတန်ဖိုးဟာ ကပ်ပြီးပါလာခဲ့ပြီးသား ဖြစ်ဟန်တူသည်။
  • e သည် အဆုံးမရှိ အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်ပါတယ်။ အဆုံးမရှိကို Transcendental (အံ့သြဖွယ်ကောင်းသော၊ လျှို့ဝှက်နက်နဲသော ဟု အဓိပ္ပာယ်ရ) လို့ အင်္ဂလိပ်ဘာသာမှာ သုံးနှုန်းကြပါတယ်။ တကယ်လည်း ‌‌ပဟေဠိဆန်တဲ့ ဂဏန်းတစ်လုံးပေပဲကိုး။
  • အွိုင်လာဟာ e ကို ဒသမ ၁၈ နေရာ အထိခန့်မှန်းတွက်ချက်ပြခဲ့ပါတယ်။ ၎င်းတန်ဖိုးမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်ပါတယ်။

e = 2.718281828459045235…..

  • ယနေ့ခေတ်အခါမှာတော့ ကွန်ပြူတာတွေရဲ့ အကူအညီနဲ့ e ရဲ့ တန်ဖိုးကို ဒသမ ကိန်းလုံးရေ မီလီယံချီပြီးတော့တောင် တွက်ချက်ထားနိုင်ခဲ့ပြီ ဖြစ်ပါတယ်။ ဒသမ ကိန်းလုံးရေ ၂ မီလီယံတန်ဖိုးအထိကိုတော့ Nasa ရဲ့ website တစ်ခုမှာ ပြသထားပါတယ်။ ဤ လင့်ခ်ကနေ နှိပ်ပြီး ဝင်ကြည့်ပါ။

(ဖတ်ရှုအားပေးတဲ့အတွက် ကျေးဇူးအထူးတင်ပါသည်။ ဒုတိယပိုင်း ဆက်ပါဦးမည်။)

ကိုးကား

[1] https://www.youtube.com/watch?v=yPl64xi_ZZA&t=400s

[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler

[3] http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/e.html