ပြီးခဲ့တဲ့ ရှိတ်သလား၊ ရိတ်သလား ဆိုတဲ့ ဆောင်းပါးမှာ ပြောင်းလဲခြင်း (Differentiation) အကြောင်းကို မမ အလှတိုးလာတဲ့ ဥပမာနဲ့ ပြခဲ့ပါတယ်။ တကယ်တော့ အဆိုပါဥပမာဟာ စဥ်းစားရ လွယ်ကူမြင်သာသွားအောင်၊ သဘောတရား နားလည်ရလွယ်အောင် (စာရေးသူရဲ့ စိတ်အတွေးနဲ့) ပေးလိုက်တဲ့ ဥပမာလေးမျှသာ ဖြစ်ပါတယ်။ တကယ်တော့ ရှိတ်ခြင်းဆိုတာ ပြောင်းလဲခြင်းပါဝင်တဲ့ ဘယ်အရာမျိုးနဲ့မဆို ပတ်သက်နေတဲ့အတွက် သူ့ရဲ့ နောက်ကွယ်မှာ ပါဝင်တဲ့ သင်္ချာဟာလည်း ထင်တာထက်ကို ပိုမိုလေးနက်ပါတယ်။ ဒီတော့ကား စာရေးသူရဲ့ ဆောင်းပါးတိုလေးနဲ့ ရှင်းပြထားတဲ့ ရှင်းပြချက်တွေမှာ လိုအပ်ချက်တွေလည်း အများအပြား ပါသွားခဲ့ပါတယ်။  ဥပမာ စာရေးသူဟာ မမ အလှ’တိုး’တဲ့ အကြောင်းကို ပြောပြဖြစ်ခဲ့တယ်။ မမအလှ’လျော့’လာခဲ့ရင်ကော ဘာတွေဖြစ်နိုင်မလဲ။ ဒါဟာ ဆက်စပ်တွေးကြည့်ချင်စရာ ကောင်းတဲ့ မေးခွန်းတစ်ခုပါ။ နောက်တစ်ခါ ရှိတ်လိုက်တဲ့အခါ တန်ဖိုးတိုးသွားတာလား၊ လျော့သွားတာလား၊ စသည်ဖြင့်ပေါ့ မေးခွန်းတွေလည်း ထုတ်ခဲ့ကြပါတယ်။ အရမ်းကောင်းပါတယ်။ မေးခွန်းတွေ များများမေးပါ။ စာရေးသူလည်း တတ်သလောက်မှတ်သလောက် ပြန်ဖြေရင်းနဲ့ နှစ်ဦးနှစ်ဖက် တိုးတက်မှုတွေ ရှာဖွေကြဖို့ကလည်း ဒီ Insight Page လေးရဲ့ အဓိကရည်ရွယ်ရင်းပါ။ ကဲ နိဒါန်းပျိုးနေတာနဲ့ နည်းနည်းတောင် ရှည်သွားပြီ။ ဆိုလိုရင်းဖြစ်တဲ့ Derivative ရဲ့ နောက်ကွယ်က သင်္ချာဆိုင်ရာ ဗဟုသုတအချို့ကိုလည်း ထပ်မံဝေမျှပေးပါရစေဦး ခင်ဗျား။

အရင်ဆုံး Derivative နဲ့ Differentiation ဘာကွာသလဲ အရင်ပြောမှ ရမယ်။ ဘာလို့ဆို စာရေးသူရဲ့ စာတွေထဲမှာ တစ်ခါတလေ Derivative သုံးပြီး တစ်ခါတလေ Differentiation သုံးတယ်။ ဘာကွာသလဲပေါ့။ တကယ်တော့ ဘာမှမကွာပါဘူး။ ပြောင်းလဲခြင်း (Differentiation) ဆိုသည်မှာ ဆက်သွယ်ချက် (Function) တစ်ခုရဲ့ ဆင့်ပွား (Derivative) ကို ရှာဖွေတာပဲ ဖြစ်ပါတယ်။ ကဲ အခေါ်အဝေါ်တွေက ရှုပ်ပါတယ်။ စာရေးသူတို့ ငယ်ငယ်က သိထားကြတဲ့ မြန်မာအခေါ်  “ရှိတ်ခြင်း” လို့ပဲ လွယ်လွယ်ခေါ်ကြရအောင်ဗျာ။

စာရေးသူ အထက်မှာပြောခဲ့သလို အဆိုပါရှိတ်ခြင်းရဲ့ နောက်ကွယ်မှာ စာရေးသူတို့ သင်ခဲ့ကြရတဲ့ သင်္ချာတွေ အများအပြားပါဝင်နေပါတယ်။ ဒါကြောင့်လည်း ရှိတ်ခြင်းအကြောင်းကို မြန်မာနိုင်ငံ တက္ကသိုလ်ဝင်တန်း (Grade – 11) ရဲ့ သင်္ချာနောက်ဆုံးခန်း (အခန်း ၁၂ ထင်တယ်) ရောက်မှပဲ စပြီးတော့ သင်ယူခဲ့ကြပါတယ်။ ဒီ့မတိုင်ခင် အရှေ့က အခန်းတွေ၊ ဟိုးရှေ့နှစ် အတန်းငယ်စဥ်တုန်းက သင်ခဲ့ရတာတွေ အားလုံးဟာ ဒီ Calculus ဆိုတဲ့ အခန်းမှာ ပြန်လာပေါင်းဆုံပါတယ်။ ပြန်မှတ်မိသွားအောင် Derivative ၏နောက်ကွယ်မှာ ပါဝင်တဲ့ သင်္ချာလေးတွေအကြောင်း နည်းနည်းလောက် ပြောပြချင်ပါတယ်။

(၁) ဆက်သွယ်ချက် (Function)

သင်္ချာမှာ အရာဝတ္ထုတို့ရဲ့ ဖြစ်စဥ်တွေ၊ လှုပ်ရှားမှုတွေကို ဆက်သွယ်ချက် ဖြင့်ပြပါတယ်။ တက္ကသိုလ်ဝင်တန်း (Grade – 11) ရဲ့ သင်္ချာ အခန်း ၁ မှာ ဆက်သွယ်ချက် (Function) တွေအကြောင်း လေ့လာခဲ့ရပါတယ်။ ဆက်သွယ်ချက်အကြောင်းနားလည်ချင်ရင် ကိန်းသေ (Constant) နဲ့ ကိန်းရှင် (Variable) တွေအကြောင်း သိထားဖို့လိုပါမယ်။ ကိန်းသေဆိုတာ ပြောင်းလဲခြင်းမရှိတဲ့ ဂဏန်းကို ပြောတာပါ။ ဥပမာ တစ်၊ နှစ်၊ သုံး၊ ၊ e ၊ \pi စသည်ဖြင့်။ ဒီနေရာ သတိပြုရမှာက ဒသမကိန်းတွေ၊ အပိုင်းကိန်းတွေ၊ အနုတ်ကိန်းတွေကိုလည်း ကိန်းသေ ဟုခေါ်ပါတယ်။

ကိန်းရှင်ဆိုသည်မှာ သူ့နာမည်လေးအတိုင်း ပြောင်းလဲနိုင်သော ကိန်းဖြစ်ပါတယ်။ တစ်ခါ ကိန်းရှင်ကို ၂ မျိုးထပ်ခွဲလို့ရပါတယ်။ မှီခိုကိန်းရှင် (Dependent variable) နဲ့ အလွတ်ကိန်းရှင် (Independent variable) ဆိုပြီးတော့ပါ။ ရှုပ်တယ်လို့ ထင်ရတယ်နော်။ မြင်သာအောင် ဖော်ပြပြီးခဲ့တဲ့ဆောင်းပါးထဲက မမအလှတိုးတဲ့ ဥပမာနဲ့ပဲ ပြန်ရှင်းပြပါမယ်။ မမရဲ့ အလှသတ်မှတ်ချက်ကို စာရေးသူက f(t) ဆိုပြီးရေးခဲ့ပါတယ်။ ဒီနေရာမှာ t ဟာ ဘယ်သူ့ပေါ်မှ မှီခိုခြင်းမရှိတဲ့ အလွတ်ကိန်းရှင်ပါ။ t ကို အမှီပြုနေတာကတော့ f(t) လေးပါ။ ဆိုလိုတာက t မှာ အပြောင်းအလဲ တစ်စုံတစ်ရာဖြစ်ရင် f(t) တန်ဖိုးလည်း ပြောင်းလဲသွားနိုင်လို့ပါ။ ဥပမာ –

f(t) = t^{2}

t နေရာမှာ ၁ အစားသွင်းရင် f(t) တန်ဖိုးက ၁ ပါ။

t နေရာမှာ ၅ အစားသွင်းရင် f(t) တန်ဖိုးက ၂၅ ပါ ၊ စသည်ဖြင့် t တန်ဖိုးပြောင်းရင် f(t) တန်ဖိုးပြောင်းနိုင်ပါတယ်။ f(t) ရော t ရောကို ကိန်းရှင်ခေါ်ပေမယ့် ဘယ်သူက ဘယ်သူ့အ‌ပေါ် မှီပြီး ပြောင်းလဲသလဲဆိုတာပေါ်မူတည်ပြီး အလွတ်ကိန်းရှင်၊ မှီခိုကိန်းရှင် ရယ်လို့ ခွဲခြားပြီး ရှုမြင်ကြတာပါ။ ပြောရရင် f(t) ဟာ မှီခိုကိန်းရှင်ဖြစ်ပြီး t ဟာ အလွတ်ကိန်းရှင် ဖြစ်ပါတယ်။ နားလည်ကြမယ်လို့ ထင်ပါတယ်။

ကဲ တစ်ဆင့်တက်ပြီး ရှိတ်ခြင်းဆိုတာကို အလွတ်ကိန်းရှင်၊ မှီခိုကိန်းရှင် တို့နဲ့ ဆက်စပ်လေ့လာကြည့်ရအောင်။ တကယ်တော့ ရှိတ်တယ်ဆိုတာ အလွတ်ကိန်းရှင်ပြောင်းလဲသွားတဲ့အခါ မှီခိုကိန်းရှင် ဘယ်လောက်လိုက်ပြီးပြောင်းလဲသလဲ ဆိုတာကို တွက်ချက်ခြင်း ဖြစ်ပါတယ်။ ဒါကို \frac{df(t)}{dt} နဲ့ ရေးပါတယ်။ အဓိပ္ပာယ်ကတော့ f(t) ရဲ့ t နဲ့ လိုက်၍ပြောင်းလဲခြင်း လို့ဆိုလိုတာပါ။ ဒါက သင်္ချာနည်းနဲ့မြင်တာပါ။ နေ့စဥ်ဘဝမှာတော့ ဒါကို “မမရဲ့အလှ နေ့စဥ်နဲ့အမျှ ပြောင်းလဲခြင်း” လို့ဆိုပါတယ်။ မြင်သာသွားအောင် ပုံ ၁ မှာ ပြထား‌ပေးပါတယ်။

ပုံ ၁။ သင်္ချာ အသုံးနဲ့ လက်တွေ့ ဆက်စပ်ပုံ

(၂) ဂျီသြမေတြီ (Geometry)

ဒါကတော့ အရာဝတ္ထုတို့ရဲ့ ပုံပန်းသဏ္ဌာန် ၊ အရွယ်အစားနဲ့ တည်နေရာတို့အကြောင်းကို သင်ရတာပါ။ ကိန်းမျဥ်းတွေဆွဲပြီး အမှတ်တွေ၊ လိုင်းတွေ၊ လျှောစောက်တွေအကြောင်းကို သင်ယူရပါတယ်။ ၁၀ တန်းမှာတော့ အခန်း ၁၂ ရောက်မှ နည်းနည်းပြန်သင်ရပါတယ်။ ၉ တန်းမှာ ဂျီသြမေတြီကို ပိုသင်ခဲ့ရမယ်နဲ့ တူပါတယ်။ ထားပါတော့။ အဆိုပါ ဂျီသြမေတြီသင်္ချာဟာ ရှိတ်ခြင်းအတွက်တော့ အလွန်တရာမှ အရေးပါပါတယ်။ အခုလို ကိန်းမျဥ်းတွေနဲ့ ရှိတ်ခြင်းရဲ့အကြောင်း လေ့လာတာကို ဂျီသြမေတြီနည်းဖြင့် ရှုမြင်ခြင်း (Geometric interpretation) လို့ခေါ်ပါတယ်။ သဘောတရားကို ကာမိစေဖို့ ဂျီသြမေတြီ သင်္ချာမှ အပိုင်းတစ်ချို့ကိုလည်း အောက်ပါအတိုင်း ထုတ်နုတ်တင်ပြလိုက်ရပါတယ်။ (ပုံ ၂ နဲ့ တွဲပြီး ဖတ်ပါ)

ပထမဦးစွာသိထားသင့်တာကတော့ လျှောစောက် (Slope) အကြောင်းပဲ ဖြစ်ပါတယ်။ လျှောစောက်ကို အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ချင်ရင် x y ဆိုတဲ့ ပြင်ညီတစ်ခု လိုအပ်ပါတယ် (ပုံ ၂ က) ။ အဆိုပါ ပြင်ညီမှာ အစက် ၂ စက် ချလိုက်ပါ။ အစက်တွေကို အမှတ် (point) လို ခေါ်ပါတယ်။ ပထမအမှတ်ကို (x_0 , y_0 ) လို့ခေါ်ပြီး ဒုတိယအမှတ်ကို (x , y ) လို့ ရေးသားပါမယ် (ပုံ ၂ ခ)။ ယင်း အမှတ်နှစ်ခုကို မျဥ်းဖြောင့်နဲ့ဆက်ထားတာကို အဆိုပါမျဥ်းရဲ့ လျှောစောက်လို့ ခေါ်ပါတယ်။ လျှောစောက်တန်ဖိုးကို တွက်ချင်ရင် အမှတ်နှစ်ခုအကြားက ဒေါင်လိုက်အကွာအဝေးကို အလျားလိုက်အကွာအဝေးနဲ့ စားပေးရပါတယ်။ ပုံ ၂ ဂ မှာတော့ ဒေါင်လိုက်အကွာအဝေးကို \Delta y နဲ့ ပြထားပြီး အလျားလိုက် အကွာအဝေးကို \Delta x ဖြင့်ပြထားပါတယ်။

ပုံ ၂။ x – y ပြင်ညီ၊ အမှတ်စက် ၂ ခု နှင့် လျှောစောက် တွက်ချက်ပုံ

အဆိုပါလျှောစောက်ကို ၉ တန်းတုန်းက ကုန်းလျှော (Slope) ဟူ၍ မှတ်သားခဲ့ကြရပါတယ်။ ၁၀ တန်းရောက်တော့ ပြောင်းလဲနှုန်း (Gradient) ဟူ၍ ထပ်မှတ်ရပြန်ပါသည်။ အံ့သြစရာကောင်းတာက ဆက်သွယ်ချက် (function) တစ်ခုရဲ့ ပြောင်းလဲနှုန်း (သို့မဟုတ်) လျှောစောက်ဟာ သူ့ရဲ့ ဆင့်ပွား (Derivative) နဲ့ တူနေတာပဲ ဖြစ်ပါတယ်။ ပြောချင်တာက ရှိတ်တယ်ဆိုတာ တကယ်တော့ ကိန်းမျဥ်းရဲ့ လျှောစောက်နဲ့ အတူတူပါပဲ။ ဒါ့ကြောင့်လည်း ရှိတ်သလား၊ ရိတ်သလား ဆောင်းပါးမှာ မမရဲ့အလှကို ကိန်းမျဥ်းနဲ့ ဖော်ပြခဲ့စဥ်တုန်းက လက်နဲ့ထောက်တိုင်းချင်လည်း ရပါတယ်ဆိုပြီး ဖော်ပြခဲ့ခြင်း ဖြစ်ပါတယ်။ ဒီနေရာမှာ ပိုပြီးတော့ ရှင်းလင်းတိကျတဲ့ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက် ရှိပါသေးတယ်။ နောက်ဆောင်းပါးမှာ အသေးစိတ်ထပ်မံဖော်ပြပါမယ်။

(၃) နှစ်ထပ်ကိန်းပါ ကိန်းစုတန်း (Binomial)

နောက်ထပ်သိထားရမယ့် သင်္ချာကတော့ ၁၀ တန်းအဆင့် သင်္ချာ အခန်း ၃ မှာ သင်ယူခဲ့ရတဲ့ နှစ်ထပ်ကိန်းပါ ကိန်းစုတန်း (Binomial) အကြောင်းပဲ ဖြစ်ပါတယ်။ နောက်လိုအပ်တော့မှပဲ Binomial သီအိုရမ်အကြောင်း အသေးစိတ်ပြန်လည်ရှင်းလင်းပါဦးမယ်။ ခုတော့ ပုံသေနည်းလေးပဲ ကြည့်ထားလိုက်ကြပါ။ အောက်မှာ ဖော်ပြပေးထားပါတယ်။ ဒီပုံသေနည်းလေးထဲမှာ သတိပြုမိစေချင်လို့ အနီရောင်မျဥ်းလေးနဲ့ ဝိုင်းပြထားတဲ့ နေရာလေးရှိပါတယ်။ စာရေးသူတို့ သိတဲ့ “ပါဝါ‌ရှေ့ချ၊ ဘေ့စ်ကို ပြန်ရေး၊ ပါဝါထဲက တစ်နုတ်” ဆိုတဲ့ ပုံသေနည်းလေးနဲ့ တူနေတယ်နော်။ တိုက်ဆိုင်မှုများလား 🤔 🤔 ။

(၄) အယ်ဂျီဘရာ (Algebra)

သူကတော့ ယနေ့ခေတ် သင်္ချာရဲ့ အုတ်မြစ်တစ်ခုလို့တောင် ပြောလို့ရပါတယ်။ ကိန်းဂဏန်းအစား အက္ခရာ စာလုံးတွေနဲ့ ကိုယ်စားပြုပြီး ပေါင်းခြင်း၊ နုတ်ခြင်း၊ ထပ်ကိန်းတင်ခြင်း စသည်ဖြင့် တွက်ချက်တဲ့ သင်္ချာပါ။ ညီမျှခြင်းရဲ့ ဘယ်ဖက်ခြမ်းနဲ့ ညာဖက်ခြမ်း စသည်ဖြင့် ရှင်းလင်းအဖြေရှာခဲ့ကြရတဲ့ သင်္ချာဆိုပါတော့။

ဥပမာ x + 2 = 5 ဆိုတဲ့ ညီမျှခြင်းမှာ x ရဲ့ အဖြေကို 3 ဆိုပြီးတော့ စာရေးသူတို့ တွက်ခဲ့ကြတယ်။ အဲလို တွက်ချက်တဲ့ သင်္ချာဘာသာရပ်ခွဲကို အယ်ဂျီဘရာ ခေါ်တာပါ။

(၅) ကန့်သတ်ချက် (Limit)

List တွေက ပြီးဘဲမပြီးနိုင်သေးဘူး များလှချည့်လား ပြောရင်လည်း ခံရမယ့် စာရေးသူပါ 😅။ Limit အကြောင်းနဲ့ ပတ်သက်ပြီး လှပတဲ့ သင်္ချာညီမျှခြင်းလေး ဆောင်းပါး (ပထမပိုင်း) မှာ စာရေးသူရှင်းပြခဲ့ပါတယ်။ Limit လို့တော့ တိုက်ရိုက်မပြောဖြစ်ခဲ့ပါဘူး။ ဘာဖြစ်လို့လဲဆိုတော့ စာဖတ်သူကို မလိုအပ်ဘဲ ခေါင်းမရှုပ်စေချင်လို့ပါ။ အခုတော့ လိုအပ်ချက်အရ နည်းနည်းခေါင်းရှုပ်ဖို့ ဖန်လာပါပြီ 😅။ အဲ့ဒီဆောင်းပါးထဲမှာပါတဲ့ အွိုင်လာနံပါတ် e ကို ထပ်ဆင့်တိုးတွက်တဲ့ ပုံသေနည်းကနေ ရပါတယ်။

e ရဲ့ ပုံသေနည်းမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်ပါတယ်။

e = \lim _{ x\rightarrow \infty }{ { \left( 1 + \frac{1}{n} \right) }^{ n } }

ယင်းပုံသေနည်းထဲမှာပါတဲ့ n နေရာမှာ ဘယ်လောက်ကြီးတဲ့ ဂဏန်းကို အစားသွင်းပြီးပဲ တွက်တွက် ရလာမယ့်အဖြေမှာ e တန်ဖိုးကိုဆီကိုသာ ချဥ်းကပ်နေပါတယ်။ အဆိုပါချဥ်းကပ်ခြင်းကို သင်္ချာမှာ ကန့်သတ်ချက် Limit လို့ခေါ်ပါတယ်။ Limit ဟာ ရှိတ်ခြင်းဆိုင်ရာ ပုံသေနည်းတွေ ဖြစ်ပေါ်လာဖို့ အင်မတန့်အင်မတန် အရေးကြီးတဲ့ ကဏ္ဍကနေပါဝင်နေပြန်ပါတယ်။ ဒါကြောင့်လည်း ဆယ်တန်းအခန်း ၁၂ Calculus ရောက်တော့ ရှိတ်တာတွေမသင်ခင် Limit အကြောင်းကို အရင်စသင်ကြရတာပါ။

အထက်ပါ အမှတ်စဥ် (၁) မှ (၅) အထိဟာ Calculus လို့ ခေါ်တဲ့ သင်္ချာဘာသာရပ်ကို အမှန်တကယ်နားလည်စေနိုင်မယ့် အခြေခံလိုအပ်ချက်တွေပဲ ဖြစ်ပါတယ်။ သြော် ဒါကြောင့်လည်း Calculus ဆိုတာ နာမည်ဆိုးနဲ့ ကျော်ဇောနေပေသကိုး 😅 ။ စာရေးသူပြောတာမဟုတ်ပါ။ တော်လှပါပေ့ဆိုတဲ့ MIT (Massachusetts Institute of Technology) က ဆရာများကိုယ်တိုင်က ပြောတာပါ။ ဒါပေမယ့်လည်း စိတ်မပူပါနဲ့။ စာ‌ရေးသူနဲ့ အတူတူလေ့လာသွားလို့ရနိုင်ပါတယ်။ ထပ်ခါထပ်ခါ ဖတ်ရှုလေ့လာခြင်းနဲ့ လိုအပ်လာတဲ့အခါ အားထုတ်စဥ်းစားတတ်တဲ့ အလေ့အထကိုသာ များများပျိုးထောင်ပေးဖို့ အ‌ရေးကြီးတာပါ။ စာရေးသူရဲ့ ဆောင်းပါးလေးကို ဒီမျှနဲ့ပဲ နိဂုံးချုပ်ပါရစေ။ လိုအပ်တဲ့ အခြေခံသင်္ချာများလည်း အတော်အတန်ကာမိသွားမယ်လို့ မျှော်လင့်ပါတယ်။ ရှေ့လာမယ့် ဆောင်းပါးမှာတော့ ရူပဗေဒပညာရှင် အိုင်ဇက်နယူတန်က ပန်းသီးကြွေကျတာလေးကို ကြည့်ပြီး ဘယ်လိုများ Derivative နဲ့ ဆက်စပ်လေ့လာသွားခဲ့သလဲဆိုတဲ့အကြောင်း ဆက်လက်ဖော်ပြပေးသွားပါမယ်။ စိတ်ဝင်စားကြတဲ့ ပရိသတ်များကတော့ Page ကို Like/Follow လုပ်ထားပြီး စောင့်မျှော်ပေးကြပါဦးလို့ 😉 ။ ဖတ်ရှုအားပေးတဲ့အတွက် ကျေးဇူးအထူးတင်ပါသည်။

မေတ္တာဖြင့်

#yp