တက္ကသိုလ်ဝင်တန်းသင်္ချာ၏ ကဲကုလပ်အခန်းတွင် x^3-8 ကဲ့သို့သောထပ်ကိန်းများကို ဆခွဲကိန်းခွဲသည့်အခါ တောနယ်ဘက်မှ စာသင်သားများ အခက်ကြုံရလေ့ရှိသည်။ အချို့က ပုံသေနည်းသုံး အစားထိုးတွက်နိုင်ကြသော်လည်း အများစုမှာမူ ပုံသေနည်းကို အလွတ်ရ ထားခြင်းမရှိပါ။ ပိုဆိုးသည်မှာ ပုံသေနည်းရှိမှန်းပင် သတိမထားမိကြခြင်းဖြစ်သည်။ ပုံသေနည်းကို မသိသော်လည်း ပုံသေနည်းတွက်ယူနည်းကိုသိလျှင် ပုစ္ဆာတွက်ရာ၌ အထောက်အကူရမည်ဟု ယုံကြည်ပါသည်။ ယခုဆောင်းပါးတိုတွင် a^3-b^3 ၏ပုံသေနည်းတွက်ထုတ်ပုံကို Quora Digest တွင်ရှာဖွေပြီး Insight စာဖတ်သူတို့အတွက် မျှဝေပေးပါသည်။ စနစ်ဟောင်း ၈ တန်းတွင် ပုံသေနည်းကိုတွေ့နိုင်သော်လည်း တွက်ထုတ်ပုံပါ, မပါ သတိမထားမိပါ။ ပိုမိုကောင်းမွန်သော နည်းစနစ်ရှိလျှင်လည်း comment တွင်ဝင်ရောက်ရေးသားပေးပါရန် ဖိတ်ခေါ်ပါသည်။

Formula of a^3-b^3,
(a-b)^3=(a-b)(a-b)(a-b)
(a-b)^3 =(a-b)[(a-b)(a-b)]
(a-b)^3 =(a-b)(a^2-2ab+b^2)
(a-b)^3 =a^3-2a^2b+ab^2-a^2b+2ab^2-b^3
(a-b)^3=a^3-b^3-3a^2b+3ab^2
(a-b)^3+3a^2b-3ab^2=a^3-b^3
(a-b)^3+3ab(a-b)=a^3-b^3
(a-b)[(a-b)^2+3ab]= a^3-b^3
(a-b)(a^2-2ab+b^2+3ab)= a^3-b^3
(a-b)(a^2+ab+b^2)= a^3-b^3
ထို့ကြောင့် a^3-b^3 ၏ပုံသေနည်းမှာ (a-b)(a^2+ab+b^2) ဖြစ်သည်။

Image: prepinsta.com

ဤပုံသေနည်းကို Find the limit of lim_{x\to 2}\, \frac{x^3-8}{x^2-4} ဟူသောပုစ္ဆာတွင် အသုံးပြုတွက်ကြည့်ပါမည်။
8=2^3 ဖြစ်၍
x^3-8=x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+4) ဖြစ်သည်။
lim_{x\to 2}\, \frac{x^3-8}{x^2-4}=lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{(x-2)(x+2)}
=lim_{x\to 2}\frac{x^2+2x+4}{x+2}
=\frac{4+4+4}{2+2}=\frac{12}{4}=3

a^3-b^3 ၏ ပုံသေနည်းကို \sqrt[3]x ၏ first principle derivative ပုစ္ဆာတွက်ရာတွင်လည်းသုံးပါသည်။
\sqrt[3]x=x^{\frac{1}{3}}
let f(x)=x^{\frac{1}{3}}
f(x+\delta x)=(x+\delta x)^{\frac{1}{3}}
lim_{\delta x\to 0}\frac{f(x+\delta x)-f(x)}{\delta x}=lim_{\delta x\to 0}\frac{(x+\delta x)^{\frac{1}{3}}-x^{\frac{1}{3}}}{\delta x}
ပုစ္ဆာမှာ \frac{a-b}{\delta x} သဘောရှိနေသည်။
အပိုင်းကိန်းနှင့်ရှိနေသော ထပ်ညွန်းများကို ချေဖျက်နိုင်ရန် a^3-b^3 ပုံသေနည်းသုံး တွက်ပါမည်။
lim_{\delta x \to 0}\frac{a-b}{\delta x}=lim_{\delta x\to 0}\frac{a-b}{\delta x}\times \frac{a^2+ab+b^2}{a^2+ab+b^2}
a နေရာတွင် (x+\delta x)^{\frac{1}{3}} နှင့် b နေရာတွင် x^{\frac{1}{3}} အစားသွင်းတွက်သော်
lim_{\delta x\to 0}\frac{(x+\delta x)^{\frac{1}{3}}-x^{\frac{1}{3}}}{\delta x}\times \frac{((x+\delta x)^{\frac{1}{3}})^2+(x+\delta x)^{\frac{1}{3}}x^{\frac{1}{3}}+(x^{\frac{1}{3}})^2}{((x+\delta x)^{\frac{1}{3}})^2+(x+\delta x)^{\frac{1}{3}}x^{\frac{1}{3}}+(x^{\frac{1}{3}})^2}

=lim_{\delta x\to 0}\frac{(x+\delta x)^{\frac{1}{3}}-x^{\frac{1}{3}}}{\delta x}\times \frac{(x+\delta x)^{\frac{2}{3}}+x^{\frac{1}{3}}(x+\delta x)^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{2}{3}}}{(x+\delta x)^{\frac{2}{3}}+x^{\frac{1}{3}}(x+\delta x)^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{2}{3}}}

=lim_{\delta x\to 0}\frac{(x+\delta x)-x}{\delta x\, [(x+\delta x)^{\frac{2}{3}}+x^{\frac{1}{3}}(x+\delta x)^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{2}{3}}]}
=lim_{\delta x\to 0}\frac{x+\delta x-x}{\delta x\, [(x+\delta x)^{\frac{2}{3}}+x^{\frac{1}{3}}(x+\delta x)^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{2}{3}}]}

=lim_{\delta x\to 0}\frac{1}{ (x+\delta x)^{\frac{2}{3}}+x^{\frac{1}{3}}(x+\delta x)^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{2}{3}}}

=\frac {1}{x^{\frac{2}{3}}+x^{\frac{1}{3}}\cdot x^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{2}{3}}}=\frac{1}{3x^{\frac{2}{3}}}
ပိုရှုပ်မသွားလောက်ဟု မျော်လင့်ပါသည်။
အဖြေပြန်ချိန်ကိုက်ဖို့ရန် ပါဝါရှေ့ချ၊ ပါဝါတစ်နုတ် နည်းသုံး၍ချိန်ကိုက်နိုင်ပါသည်။ Derivatives နှင့် ပါဝါရှေ့ချ၊ ပါဝါတစ်နုတ်ပုံသေနည်းရရှိလာပုံကို Admin ရေးသော First Principles သုံး၍ရှိတ်ခြင်း ကိုနှိပ်၍ ပြန်လည်လေ့လာနိုင်ပါသည်။