မင်္ဂလာပါ။ Finite difference လို့ခေါ်တဲ့ numerical method အကြောင်း မိတ်ဆက်သဘောအနေနဲ့ မျှဝေပေးချင်ပါတယ်။ ရည်ရွယ်ချက်ကတော့ လက်တွေ့ပုစ္ဆာတွေကို သင်္ချာ model တည်ဆောက်ပြီး ဘယ်လိုဖြေရှင်းလို့ရသလဲဆိုတာကို နားလည်စေချင်တာပါ။ လက်တွေ့ပုစ္ဆာ (physical problem သို့မဟုတ် physical model) အနေနဲ့ အပူကူးပြောင်းခြင်း (Heat transfer) ပုစ္ဆာကို အသုံးပြုသွားပါမယ်။ ဒီတော့ အပူကူးပြောင်းခြင်းဆိုတာ ဘာလဲ အရင် လေ့လာကြည့်ရအောင်။
အပူကူးပြောင်းခြင်း (Heat transfer)
အပူကူးပြောင်းခြင်း (Heat transfer) သုံးမျိုးရှိပါတယ်။ အပူလျှောက်ကူးခြင်း (heat conduction) ၊ အပူသယ်ကူးခြင်း (heat convection) နဲ့ အပူဖြာကူးခြင်း (heat transfer by radiation) တို့ဖြစ်ပါတယ် (ပုံ ၁ မှာကြည့်ပါ)။ တစ်ခုချင်းကို အကျဉ်းချုပ်အနေနဲ့ ရှင်းပြရရင်
- အပူလျှောက်ကူးခြင်း (heat conduction) ဆိုတာ ကြားခံနယ် ရွေ့လျားခြင်းမရှိဘဲ မော်လီကျူးတို့ရဲ့ ထိခိုက်တုန်ခါခြင်းကြောင့် အပူကူးပြောင်းတဲ့ဖြစ်စဉ်ကို ခေါ်တာပါ။ ဥပမာ – ပုံ ၁ ထဲက မီးဖိုရဲ့ အပူဟာ တဖြည်းဖြည်း ကြမ်းပြင်မှာ စီးကူးပျံ့နှံ့သွားတာမျိုးပါ။ အဲ့ဒီကြမ်းပြင်ဟာ macroscopic scale (မျက်စိဖြင့်မြင်နိုင်သော အတိုင်းအတာ) အရ ရွေ့လျားခြင်းမရှိဘူးလို့ ဆိုနိုင်ပါတယ်။
- အပူသယ်ကူးခြင်း (heat convection) ဆိုတာကတော့ ကြားခံနယ်ရွေ့လျားမှုကြောင့် များပြားတဲ့အပူပမာဏ ကူးပြောင်းသွားတဲ့ ဖြစ်စဉ်မျိုးပါ။ ပုံ ၁ နဲ့ ဥပမာပြရရင် မီးဖိုရဲ့ အပူကို အခန်းထဲမှာရှိတဲ့ လေကနေ သယ်ဆောင်ကူးပြောင်းတာမျိုးပါ။ ပြတင်းပေါက်ကနေ အေးတဲ့လေတွေ ဝင်လာတာ၊ မီးဖိုရဲ့ အပေါ်ကို လေပူတွေ တက်သွားတာ၊ စတာတွေကိုလည်း convection လို့ ခေါ်ပါတယ်။
- အပူဖြာကူးခြင်း (heat transfer by radiation) ဆိုတာ လျှပ်စစ်သံလိုက်ဖြာကူးခြင်း (electromagnetic radiation) ပဲ ဖြစ်ပါတယ်။ အပူလျှောက်ကူးခြင်းနဲ့ အပူသယ်ကူးခြင်း ဖြစ်စဉ်တွေမှာ ဒြပ်သားကြားခံနယ် လိုအပ်ပါတယ်။ အပူဖြာကူးခြင်း ဖြစ်စဉ်မှာတော့ ဒြပ်သား ကြားခံနယ်မလိုပါဘူး။ မြင်သာအောင်ဥပမာပေးရရင် နေရဲ့အပူဟာ ကမ္ဘာပေါ်ကို ဖြာကူးခြင်း (radiation) နည်းနဲ့ ရောက်လာတာပါ။ ဖြာထွက်စွမ်းအင် (radiative energy) ဟာ လေဟာနယ်ကို ဖြတ်သန်းနိုင်စွမ်းရှိပါတယ်။ အရာဝတ္ထုတိုင်းမှာ အပူဖြာကူးခြင်း အနည်းနဲ့အများ ရှိတယ်လို့ မှတ်သားနိုင်ပါတယ်။
အထက်ပါရှင်းလင်းချက်တွေကတော့ စာရေးသူတင်ပြလိုတဲ့ လက်တွေ့ပုစ္ဆာ (physical problem) ကို သဘောတရားနားလည်သွားအောင် အနှစ်ချုပ်တင်ပြလိုက်တာပါ။ ဒီ့ထက်ပိုပြီး အသေးစိတ်နားလည်ချင်ရင်တော့ openstax.org လင့်ခ်မှာ သွားရောက်လေ့လာကြည့်ကြဖို့ တိုက်တွန်းပါတယ်။ အခုဆောင်းပါးမှာတော့ finite difference method နဲ့ သူ့ရဲ့ဆိုင်ရာတွက်ချက်ပုံတွေအကြောင်းကို (လေ့ကျင့်ခန်းနမူနာနဲ့တကွ) ဖော်ပြပေးချင်တာကြောင့် physical problem အကြောင်း ရှင်းလင်းချက်ကို ဒီလောက်နဲ့ပဲ ရပ်ထားချင်ပါတယ်။ ပုစ္ဆာမှာတော့ အပူလျှောက်ကူးခြင်း နဲ့ အပူသယ်ကူးခြင်းတို့ကိုပဲ ထည့်သွင်းစဉ်းစားပါမယ်။ ဖြာကူးခြင်း (radiation) ရှိနေနိုင်ပေမယ့် လောလောဆယ်မှာတော့ သူ့ကို လျစ်လျူရှုထားပါမယ်။ ရှုပ်ကုန်မှာစိုးလို့ပါ။ ပုစ္ဆာကိုလည်း လောလောဆယ် 1D (one dimension) ကနေစပြီးတော့ လေ့လာသွားပါမယ်။
Mathematical model
mminsight ရဲ့ အရှေ့ကဆောင်းပါးတွေမှာ သင်္ချာပုံစံအချို့ကို ဆွေးနွေးတင်ပြခဲ့ဖူးပါတယ်။ ဥပမာ – အလွတ် ပြုတ်ကျခြင်း (free fall) , Simple harmonic oscillator (မိတ်ဆက် ၁) , ရှိတ်သလား၊ ရိတ်သလား (Differentiation သဘောတရား မိတ်ဆက်) စတဲ့ ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်တွေကို insight website (သို့) facebook စာမျက်နှာမှာ ဖတ်ရှုလေ့လာကြည့်လို့ရပါတယ်။ ခုဆောင်းပါးမှာတော့ ဒီအကြောင်းကို အနှစ်ချုပ်သဘောလောက်ပဲ ပြောပြသွားပါမယ်။
သင်္ချာပုံစံ (mathematical model) ဆိုတာ လက်တွေ့ပုစ္ဆာ (physical problem) တစ်ခုကို သင်္ချာနည်းနဲ့ ပြန်လည်ရေးသားဖော်ပြတာလို့ အလွယ်မှတ်ယူနိုင်ပါတယ်။ အဲ့ဒီလို ရေးသားဖော်ပြတဲ့နေရာမှာ ရူပဗေဒဆိုင်ရာ နိယာမ (physical principles) တွေကို အခြေခံပါတယ်။ ရှေ့လာမယ့်ဆောင်းပါးတွေမှာ 1D steady-state heat diffusion ညီမျှခြင်းကို ရှင်းလင်းချက်တွေနဲ့အတူ တွက်ထုတ်ပြပါမယ်။ ဟုတ်ပြီ။ ဒါဆို physical principles ဆိုတာ ဘာတွေကို ပြောတာပါလဲ ?
ရူပဗေဒဆိုင်ရာ နိယာမများ (physical principles) ဆိုတာ စွမ်းအင်တည်မြဲမှုနိယာမ (energy conservation) ၊ ဒြပ်ထုတည်မြဲမှုနိယာမ (mass conservation) ၊ အဟုန်တည်မြဲမှုနိယာမ (momentum conservation) စသည်တို့ကို ဆိုလိုပါတယ်။ အဆိုပါနိယာမတွေကို အသုံးပြုပြီးတော့ ဖြေရှင်းရမယ့် လက်တွေ့ပုစ္ဆာအတွက် Governing equations တွေကို တွက်ထုတ်ယူလို့ရပါတယ်။ အဲ့ဒီ Governing equations တွေဟာ အများအားဖြင့် partial differential equation (မြန်မာလို တစ်စိတ်တစ်ပိုင်းအလိုက်ပြောင်း ညီမျှခြင်း) ပုံစံမျိုး ဖြစ်ပါတယ်။ နောက်တခါ ဆိုင်ရာယူဆချက်တွေ (assumptions) လည်း ပုစ္ဆာအမျိုးအစားပေါ်မူတည်ပြီး ထည့်သွင်းစဉ်းစားဖို့လိုတတ်ပါတယ်။ ဥပမာ – 3 D problem ၊ 1 D problem ၊ steady state problem စသည်ဖြင့် ဖြစ်ပါတယ် ။ နောက်မှ ဒီ model တစ်ခုချင်းစီက ဘာကွာသလဲဆိုတာကို သေချာပြန်ရှင်းပြပါမယ်။ လောလောဆယ် သိထားရမှာက ကျွန်တော်တို့ဟာ လက်တွေ့ပုစ္ဆာတွေကို သင်္ချာပုံစံအဖြစ်ကို ပြောင်းပြီးတော့ သင့်တော်တဲ့ သင်္ချာနည်းလမ်းတွေနဲ့ ဖြေရှင်းတာလို့ မှတ်ယူရပါမယ်။
ချဉ်းကပ်ပုံအမျိုးမျိုး (Various approaches)
ဒီနေရာမှာ ဗဟုသုတအနေနဲ့ ပုစ္ဆာကို ချဉ်းကပ်ဖြေရှင်းပုံအမျိုးမျိုး ရှိတဲ့အကြောင်း ပြောပြလိုပါတယ်။ ပထမဆုံးအနေနဲ့ အားလုံးလည်းရင်းနှီးပြီးသားဖြစ်ကြတဲ့ ချဉ်းကပ်ပုံတစ်ခုကတော့ တကယ့်လက်တွေ့မှာ ပုံစံငယ်တည်ဆောက်ပြီး စမ်းသပ်ကြည့်တာမျိုးပါ။ Experimental approach လို့ခေါ်ပါတယ်။ ဒီနည်းလမ်းနဲ့ မိမိထုတ်ထားတဲ့ theory (သို့) mathematical model ကို အတည်ပြုလို့ရပါတယ်။ ပုံ ၂ မှာ လေယာဉ်ပုံစံငယ်ကို စမ်းသပ်ချက်ပြုလုပ်ထားပုံအမျိုးမျိုးကို ဖော်ပြထားပါတယ်။ သူကတော့ ဝတ္ထုတစ်ခု (ဥပမာ – လေယာဉ်) လေထဲကို ဖြတ်ပြီး ရွေ့လျားတဲ့အခါမှာ ဖြစ်ပေါ်လာမယ့် ဖိအား (pressure) ၊ ပင့်အား (lift force) ၊ drag force စသည်တို့ကို တိုင်းတာဖို့ ဖြစ်ပါတယ်။ Experiment နဲ့ စမ်းသပ်လေ့လာတာက ကောင်းတော့ကောင်းပေမယ့် စရိတ်စကနဲ့ အချိန်၊ လူအား အများကြီးရင်းနှီးရပါတယ်။ (ဆက်စပ်ဆောင်းပါး – လေယာဥ်တွေ ဘယ်လို ပျံသန်းနိုင်သလဲ?)
နောက်ထပ်နည်းလမ်းတစ်ခုကတော့ analytical approach ကို သုံးပြီး ဖြေရှင်းတာပါ။ သူကလည်း mathematical model ပုံစံတစ်မျိုးပါပဲ။ သင့်တော်တဲ့ ယူဆချက်တွေ ထည့်သွင်းပြီးတော့ ပုစ္ဆာကို ရှင်းလင်းလွယ်ကူအောင် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာတဲ့ နည်းလမ်းတစ်မျိုး ဖြစ်ပါတယ်။ ဒီနည်းလမ်းရဲ့ အားသာချက်ကတော့ ကောင်းမွန်တဲ့ သဘောတရားနားလည်မှုကို ပေးစွမ်းနိုင်ပါတယ်။ ဘာလို့လဲဆိုတော့ Theory တွေကို တစ်ဆင့်ချင်း အသုံးပြုစဉ်းစားသွားပုံက လက်တွေ့နဲ့ ဆက်စပ်ပြီးရှုမြင်ကြည့်ရတာ လွယ်ကူလို့ပါ။ သူ့ကနေ တွက်ထုတ်ရရှိတဲ့ ညီမျှခြင်းတွေဟာ များသောအားဖြင့် closed-form ပုံစံမျိုးရှိပါတယ်။ Closed-form ပုံစံဆိုတာ အထက်တန်း (၉ တန်း၊ ၁၀ တန်းအဆင့်) မှာ သင်ကြားခဲ့ရတဲ့ 1D motion ညီမျှခြင်းမျိုးကို ပြောတာပါ။ အားနည်းချက်ကတော့ analytical နည်းလမ်းကို general အနေနဲ့ အသုံးပြုလို့ မရနိုင်လို့ပါ။ ဆိုလိုချင်တာက လွယ်ကူတဲ့ ပုစ္ဆာမျိုး ၊ ရှင်းလင်းတဲ့ geometry ပုံစံမျိုးဆိုရင် ကိစ္စမရှိပေမယ့် လက်တွေ့မှာ တွေ့ရနိုင်တဲ့ design ပုစ္ဆာ တော်တော်များများကိုကျ analytical solution ရှာဖို့မလွယ်လို့ပါ။ ဥပမာအနေနဲ့ integration လုပ်တာကိုပဲ စဉ်းစားကြည့်ပါ။
- Simple function တစ်ခုကို integrate လုပ်မယ် (တစ်နည်း anti-derivative ယူမယ်) ဆိုရင် closed-form function မျိုး အဖြေထွက်ပါတယ်။ ဆိုပါတော့ f(x) = 5x^2 +1 ။ သူ့ကို integrate လုပ်ရင် \int{f(x)} dx = \frac{5}{3}x^3 + x + C ဆိုပြီး ရပါမယ်။ ဒါက လွယ်ကူတဲ့ function မျိုးမို့လို့ပါ။
- ဒါပေမယ့် ခက်ခဲတဲ့ function မျိုး၊ ဆိုပါတော့ f(x) = \int {sin(3x) (e^{0.2 sin(3x)} - 1)} dx လို integral မျိုးဆိုရင် ပုံမှန် analytical နည်းလမ်းမျိုးနဲ့ ဖြေရှင်းဖို့ မလွယ်ကူတော့ပါ။
နောက်တစ်မျိုး ဥပမာပြရရင် ထောင့်မှန်စတုဂံတစ်ခုရဲ့ ဧရိယာကို အလျား (အမြှောက်) အနံ ဆိုတဲ့ analytical formula နဲ့ တွက်လို့ရပေမယ့် ပုံမှန်မဟုတ်တဲ့ shape မျိုး (ဥပမာ – ပုံ ၃) လိုမျိုးဆိုရင်တော့ analytical formula တွက်ထုတ်ဖို့ခက်သွားပါပြီ။
ဒီလိုမျိုး အခက်အခဲတွေကြောင့်လည်း အခုနောက်ပိုင်းမှာ numerical နည်းလမ်းတွေကို တွင်တွင်ကျယ်ကျယ် အသုံးပြုလာကြတာပဲ ဖြစ်ပါတယ်။ ဟုတ်ပြီဗျာ။ အဲ့ဒီ Numerical method ဆိုတာ ဘာလဲ ဆက်လက်လေ့လာကြည့်ရအောင်။
What are numerical methods?
Numerical နည်းလမ်းဆိုတာ သင်္ချာ – ရူပ ဆိုင်ရာပုစ္ဆာတွေကို ကွန်ပြူတာအသုံးပြုပြီး ခန့်မှန်းအဖြေ (approximate solution) ရှာဖွေတာပဲ။ ခုနကလို analytical (သို့မဟုတ်) exact solution ရှာလို့မလွယ်ကူတဲ့အခါ ခန့်မှန်းအဖြေကို ရဖို့ algorithm တွေအသုံးပြုပြီး တွက်ချက်ဖြေရှင်းတာပါ။ ဥပမာ – interpolation လုပ်တာ ၊ integration လုပ်တာ ၊ differentiation လုပ်တာ ၊ system of linear equations တွေကို ရှင်းလင်းတာ ၊ ODE (Ordinary Differential Equation) ကို အဖြေရှာတာ စသည်ဖြင့် numerical method အမျိုးမျိုး ရှိပြီး နယ်ပယ်စုံမှာ အသုံးပြုကြပါတယ်။ အားသာချက်ကတော့ algorithm တွေ ဖြစ်တာကြောင့် computer မှာ program ရေးထားလို့ ရပါတယ်။ ဥပမာ – ဖြေရှင်းချင်တဲ့ ပုစ္ဆာထဲက geometrical shape ပြောင်းသွားခဲ့ရင်လည်း algorithm အသစ် ထပ်စဉ်းစားဖို့မလိုပါ။ ဒီလို general ကျကျ အသုံးပြုနိုင်ခြင်းက numerical နည်းလမ်းရဲ့ အားသာချက်လို့ ဆိုရမှာပါ။ အားနည်းချက်ကတော့ ခုနကပြောခဲ့သလို သူက approximate solution ကိုပဲ ပေးပါတယ်။ နောက်ပြီးတော့ ဖြစ်လေ့ဖြစ်ထရှိတဲ့ error တွေ ၊ မိမိအသုံးပြုနေတဲ့ numerical နည်းလမ်းရဲ့ (သင်္ချာအခေါ်) stability မရှိရင် အဖြေက ထွက်ချင်ရာထွက်နေတာမျိုး ၊ တွက်ရင်းတွက်ရင်းနဲ့ ဂဏန်းတွေ အရမ်းကြီးလာတာမျိုး ၊ စတဲ့ အချက်တွေကိုလည်း သတိချပ်သင့်ပါတယ်။ နောက်ဆုံးအချက်အနေနဲ့ numerical နည်းလမ်းတွေဟာ ယေဘုယျအားဖြင့် မိမိအသုံးပြုတဲ့ တွက်ချက်ပုံဆိုင်ရာ ယူဆချက် (ဥပမာ – mesh သို့ grid points) ၊ time step လို့ ခေါ်တဲ့ အချိန်အစိတ်အပိုင်း စတာတွေပေါ်မူတည်ပြီး အဖြေရဲ့တိကျမှု (solution accuracy) နဲ့ တွက်ချက်ဖို့ ကြာချိန် (computation time) စတာတွေကလည်း အနည်းနဲ့အများ ပြောင်းလဲသွားတတ်ပါတယ်။ (ဒီအသုံးအနှုန်းတွေက ဘာသာရပ်ဆိုင်ရာ terms တွေဖြစ်လို့ ခုနားမလည်သေးရင်လည်း ကိစ္စမရှိပါ။ နောက်လာမယ့် ဆောင်းပါးတွေမှာမှ တစ်ခုချင်း သေချာရှင်းပြသွားပါမယ်။)
Numerical method ရဲ့ အရေးပါတဲ့ အစိတ်အပိုင်းတစ်ခုကတော့ Discretize လုပ်ခြင်း (တစ်နည်း အစိတ်စိတ်ပိုင်းခြင်း) ပဲ ဖြစ်ပါတယ်။ သူက တသားတည်း (continuous) ဖြစ်တယ်ဆိုပြီး ယူဆထားတဲ့ သင်္ချာ model တွေကို discrete ပုံစံ (ပြောပြရင် continuous မဖြစ်တော့တဲ့ ပုံစံမျိုး) နဲ့ ခန့်မှန်းအဖြေရှာတာပါ (ပုံ ၄ မှာ ရှုပါ)။ ဆိုလိုတာကတော့ function တစ်ခုကို သတ်မှတ်ထားတဲ့ အမှတ် (points) တွေပေါ်မှာသာလျှင် ဖော်ပြပါတယ်။ အဲ့ဒီအမှတ်တစ်ခုနဲ့ တစ်ခုကြားထဲမှာ ဘာရှိသလဲ (တကယ်တော့) မသိနိုင်ပါ။ သတ်မှတ်ထားတဲ့ အမှတ် တစ်ခုနဲ့ တစ်ခု အရမ်းဝေးနေရင် အဖြေက တကယ်ရှိတဲ့ exact solution (ပုံ ၄ ဘယ်ဖက်ပုံ) နဲ့ တူညီနိုင်တော့မှာ မဟုတ်ပါ။ မြင်သာအောင် ဥပမာပြပါမယ်။ စတီးဇွန်းတစ်ချောင်းရှိတယ် ဆိုပါတော့။ သူ့ကို ထိပ်တစ်ဖက်ကနေ မီးအပူပေးလိုက်မယ်။ အဲ့ဒီစတီးဇွန်းထဲမှာ ဖြစ်လာမယ့် အပူချိန်ပျံ့နှံ့ပုံကို သိချင်တယ်။ သင်္ချာ model ကနေလာတဲ့ partial differential equations တွေက စတီးဇွန်းကို တသားတည်း ဖြစ်တယ်လို့ ယူဆပေမယ့် numerical နည်းအရ ဖြေရှင်းတဲ့အခါမှာကျ စတီးဇွန်းကို အစိတ်စိတ်ပိုင်းထားတဲ့ elements လေးတွေ အဖြစ်နဲ့ ရှုမြင်ပါတယ်။ အပူချိန်ကိုလည်း အဲ့လိုပိုင်းထားတဲ့ နေရာမှာပဲ တွက်ချက်ခြင်းပြုပါတယ်။ ဒီအချက်ကို numerical နည်းလမ်းအသုံးပြုသူတိုင်း သဘောပေါက်ထားဖို့လိုပါမယ်။ (လာမယ့်ဆောင်းပါးတွေမှာ အသေးစိတ်ထပ်ပြောပြသွားပါမယ်)
ဒါတွေကတော့ မိတ်ဆက်အနေနဲ့ သိထားစရာလေးတွေပဲ ဖြစ်ပါတယ်။ အခုဆောင်းပါးမျိုးကို lecture မှတ်စုအနေနဲ့ နောက်ထပ် အပိုင်း ၅ ပိုင်းလောက် ခွဲပြီး insight page မှာ ဆက်လက်တင်ပြပေးသွားပါမယ်။ ပုစ္ဆာအချို့ကို ဥပမာအနေနဲ့ Excel အသုံးပြုပြီး တွက်ပြသွားပါမယ်။ Contents တွေကို အောက်ဖော်ပြပါအတိုင်း စီစဉ်ထားပါတယ်။ (နောက်မှ လင့်ခ်ပြန်ထည့်ပြီး သပ်သပ် page မှာ ခွဲထုတ်ပေးထားပါ့မယ်)
- Finite difference သုံး Numerical method (မိတ်ဆက် – ၁) : သိထားဖို့လိုတဲ့ အချက်အလက်များ (လက်ရှိ ဆောင်းပါး)
- Finite difference သုံး Numerical method (မိတ်ဆက် – ၂) : Finite difference method ၊ numerical differentiation နဲ့ truncation error
- Finite difference သုံး Numerical method (မိတ်ဆက် – ၃) : 1D steady-state heat equation ၊ boundary value problem နဲ့ discretise လုပ်ခြင်း
- Finite difference သုံး Numerical method (မိတ်ဆက် – ၄) : matrix inversion အသုံးပြု၍ တွက်ချက်အဖြေရှာခြင်း
- Finite difference သုံး Numerical method (မိတ်ဆက် – ၅) : Jacobi’s iterative method အသုံးပြု၍ တွက်ချက်အဖြေရှာခြင်း ၊ error analysis လုပ်ခြင်း
ဖော်ပြပါ မှတ်စု အဆင့်ဆင့်ကို သဘောပေါက်ထားရင် အနည်းဆုံး grid generation (သို့) mesh size ဆိုတာဘာလဲ ၊ discretisation ဆိုတာဘာလဲ ၊ numerical method ကို လက်တွေ့ပုစ္ဆာနဲ့ ဘယ်လိုဆက်စပ်မြင်ကြည့်လို့ရနိုင်မလဲ ၊ စတဲ့ key concepts လေးတွေကို ကိုယ်တိုင်သဘောပေါက်နားလည်လာမှာပဲ ဖြစ်ပါတယ်။
မှတ်ချက်။ မိတ်ဆက်သဘောအနေနဲ့ အကြမ်းဖျင်း အချက်အလက်တွေကိုပဲ အပေါ်ယံဆွေးနွေးထားပါတယ်။ လိုအပ်ချက်တွေရှိနေရင် ထောက်ပြအကြံပြုနိုင်ပါတယ်။ နောက်ပြီး Solid mechanics မှာ အသုံးပြုလေ့ရှိတဲ့ Finite element method (FEM) ဆိုတာ ရှိပါသေးတယ်။ သူကလည်း နောက်ထပ် numerical နည်းလမ်းတစ်မျိုးပါ။ သဘောတရားချင်းဆင်တူတယ်လို့ ဆိုနိုင်ပေမယ့် အသုံးပြုသွားတဲ့ approach ချင်း မတူပါ။ ဒီမှတ်စုတွေမှာတော့ Finite difference method ကိုပဲ ရှင်းလင်းတင်ပြသွားမှာ ဖြစ်ပါတယ်။
See you all.
#yp