အရှေ့ကအပိုင်း ၃ ပိုင်းမှာ Steady state heat conduction (1D) ပုစ္ဆာအကြောင်း အတော်အတန် ရှင်းပြခဲ့ပြီး ဖြစ်ပါတယ်။ အောက်က လင့်ခ်တွေမှာ ပြန်သွားဖတ်ကြည့်ပါ။

အပိုင်း ၁ – https://mminsight.com/fd-numerical-method-intro-1/

အပိုင်း ၂ – https://mminsight.com/fd-numerical-method-intro-2/

အပိုင်း ၃ – https://mminsight.com/fd-numerical-method-intro-3/

အခု အပိုင်း ၄ မှာတော့ အပိုင်း ၃ တုန်းက ပုစ္ဆာကို အခြေခံပြီး matrix inversion နည်းနဲ့ ဖြေရှင်းပြပါမယ်။

ပုစ္ဆာကို အစပြန်ကောက်မယ်ဆိုရင်

L = length = 1 m,

K = thermal conductivity = 45 W/K/m

T₀ = temperature at point A = 100 degC

T_e = temperature at point B = 200 degC

စတဲ့ ပေးချက်တွေကို အောက်ပါပုံနဲ့ ဆက်စပ်ကြည့်ရမှာပါ။

အပိုင်း ၃ မှာ ရှင်းပြခဲ့တဲ့ နည်းလမ်းက excel ရဲ့ iterative function ကို သုံးပြီး အလိုအလျောက်အဖြေရှာတဲ့နည်းပါ။ လွယ်တာကလွယ်ပေမယ့် ဘာမှနားလည်မှာမဟုတ်ပါ။ ဒါကြောင့် ဆောင်းပါးနံပါတ် ၄ နဲ့ ၅ မှာ တွက်ပုံတွက်နည်းအဆင့်ဆင့်ကို အသေးစိတ်ပြန်လေ့လာကြည့်ပါမယ်။ Finite element solver ေတွမှာ အသုံးပြုတဲ့နည်းလမ်းလေးပါ။

Matrix inversion

ဒါက linear algebra ဆိုတဲ့ ဘာသာရပ်မှာ သင်ခဲ့ရပါတယ်။ A system of linear equations တွေကို matrix တည်ဆောက် ၊ ညီမျှခြင်းတစ်ဖက်ကိုပို့ ၊ inverse ယူပြီး ဖြေရှင်းတဲ့ နည်းလမ်းလေးပါ။ တွက်နည်းအဆင့်ဆင့်ကတော့ အပိုင်း ၃ မှာ ပြောခဲ့တာနဲ့ အတော်များများတူပါတယ်။

ပထမဆုံး domain အတွက် governing equation (heat conduction 1D equation) လေးကို အောက်ပါအတိုင်း ပြန်ချရေးလိုက်ပါမယ်။

\frac{d^2T}{dx^2} = 0

သူ့ကို ဆောင်းပါး အပိုင်း ၂ မှာရှင်းပြခဲ့တဲ့ Finite difference second-order derivative ပုံသေနည်းနဲ့ အစားသွင်းပြီး ဖြေရှင်းလိုက်ရင်

T_i = \frac{T_{i+1} + T_{i-1}}{2}

ဆိုပြီးရပါတယ်။ ( မှတ်ချက်။ T(x) = T_i , T(x - \Delta x) = T_{i-1} , T(x + \Delta x) = T_{i+1} ပါ။ ) ဒါကတော့ လိုချင်တဲ့ i အမှတ်မှာရှိတဲ့ temperature ကို တွက်ချင်ရင် သူ့ဘေး (ဘယ်နဲ့ညာ)က temperature တွေကို ပေါင်းပြီး ၂ နဲ့ ပြန်စားတာပဲ ဖြစ်ပါတယ်။ လက်နဲ့ ချရေးကြည့်တဲ့အခါ ပိုမြင်သာပါလိမ့်မယ်။

ပေးထားတဲ့ 1D Domain ကို အောက်ဖော်ပြပါပုံအတိုင်း အပိုင်း ၁၀ ပိုင်း ပိုင်းလိုက်ပါမယ်။

အမှတ် A နဲ့ B က Boundary condition ဖြစ်တာကြောင့် temperature က သိပြီးသားပါ။ ကျန်တဲ့ T₂ ကနေ T₁₀ အထိက unknown ပါ။ ဆိုတော့ 9 unknown 9 equations နဲ့ ရှင်းရမှာလို့ သိထားပေးပါ။

အမှတ် A နဲ့ B မှာရှိတဲ့ ညီမျှခြင်းလေးက boundary condition ကနေ လာတာဆိုတော့ အောက်ပါအတိုင်း အလွယ်တကူချရေးလို့ရပါတယ်။

T_1 =  100

T_{11} =  200

ကျန်တဲ့ T₂ ကနေ T₁₀ အထိကို equation ပုံစံနဲ့ ချရေးပါမယ် (ဘယ်ဖက်ခြမ်းမှာ unknown တွေကိုထား၊ ညာဖက်မှာ တွက်ထားတဲ့ known values တွေကိုထားပြီးတော့ပါ)

ဥပမာတစ်ကြောင်းရေးပြပါမယ်။

Nodal အမှတ် ၂ (at T₂) မှာ

T_2 =  \frac{T_1 + T_3}{2}

T₁ နေရာမှာ 100 အစားသွင်းလိုက်ရင်

T_2 =  50 + \frac{1}{2} T_3

T₃ က တွက်ချင်တဲ့ unknown ဖြစ်တာကြောင့် ဘယ်ဖက်ကို ပို့လိုက်ရင်

T_2 – \frac{1}{2} T_3 =  50

အဲ့လိုပဲ nodal အမှတ် ၃ က ညီမျှခြင်းကို ရေးကြည့်တဲ့အခါ

T_3 =  \frac{T_2 + T_4}{2}

– \frac{1}{2}T_2 + T_3 – \frac{1}{2}T_4 =  0

ဒီနည်းအတိုင်း T₁₀ အထိချရေးရမှာ။ တကယ်ချရေးစရာတော့မလိုပါဘူး။ နားလည်ချင်ရင်တော့ ရေးကြည့်လည်း ရပါတယ်။

T₃ ကနေ T₉ အထိ ညီမျှခြင်းက T₃ အတွက်ညီမျှခြင်းနဲ့ ပုံစံချင်းတူပါတယ်။ index နံပါတ်လေးတွေပဲ ပြောင်းရေးသွားရမှာပါ။ အောက်ပါအတိုင်း system of linear equations ၉ ကြောင်း ချရေးရမှာပါ။

သူတို့ကို ၁၀ တန်း (တက္ကသိုလ်ဝင်တန်း) မှာ သင်ခဲ့ရတဲ့နည်းအတိုင်း matrix ပုံစံနဲ့ ပြန်ရေးရင် အောက်ပါအတိုင်းရပါတယ်။

မှတ်ချက်။ system of linear equations ကနေ matrix ပုံစံပြောင်းရေးတာကို ရပြီးသားဆိုရင် ဒီအဆင့်က လွယ်ကူမြင်သာပါတယ်။

အရှေ့က coefficient matrix က unknown T တွေရဲ့ မြှောက်ဖော်ကိန်းတွေပါ။ ဒီအဆင့်ကို ကျောင်းသားတွေ မျက်စိလည်ကြတယ်။ ဘာလို့မှန်းတော့မသိ။ matrix က ကြီးနေလို့ဖြစ်မယ်။ ဒါမှမဟုတ် excel ထဲမှာ ပြန်ထည့်လို့ မမြင်သာတာဘဲလား မပြောတတ်ပါ။ system of linear equations ကနေ matrix ပြောင်းရှင်းတာကို နားမလည်သေးရင် ဒီလင့်ခ်မှာ ဝင်ကြည့်ပြီး ပြန်ဖတ်ကြည့်ဖို့ လိုပါမယ်။

coefficient matrix ကို A ၊ မသိကိန်း matrix ကို X ၊ ညာဖက်က matrix ကို B လို့ရေးလိုက်ရင်

A X = B

X = A^{-1} B

ဆိုပြီးရပါတယ်။ အဆိုပါ A^{-1} matrix ကို အခုလောလောဆယ် excel ရဲ့ MINVERSE ဆိုတဲ့ command ကို အသုံးပြုပြီး တွက်ပြပါမယ်။ အပိုင်း ၅ ရောက်တဲ့အခါကျ Jacobi ဆိုတဲ့ iterative method အသုံးပြုပြီး ကိုယ်တိုင် manually တွက်ကြတာပေါ့နော်။

(အောက်ပါ video လေးနဲ့ excel sheet ထဲမှာ ဖြည့်ပုံဖြည့်နည်းလေး တင်ပေးထားပါတယ်။ video ထဲမှာပါတဲ့ excel ကိုတော့ ဒီလင့်ခ်မှာ ‌download ရယူပါ။)

နောက်ဆုံးအဖြေအနေနဲ့ Graph လေးဆွဲပြီး ပြန်နှိုင်းယှဉ်ပြထားတယ်။ method 2 (matrix inverse) နည်းနဲ့ တွက်တဲ့အဖြေရယ် အရှေ့က method 1 (excel) က iterative option သုံးပြီး တွက်တဲ့အဖြေရယ် အတူတူပဲဆိုတာကို တွေ့နိုင်ပါတယ်။

အားလုံးမရှင်းတာရှိရင် ပြန်မေးကြည့်နိုင်ပါတယ်။ See you ပါ။

#yp