ဒီရက်ပိုင်း စာရေးသူအလုပ်များနေတာကြောင့် နဂိုရေးဖို့ရည်ရွယ်ထားတဲ့ အလွတ်ပြုတ်ကျခြင်း (free fall) အကြောင်းတောင် အခုမှရေးဖြစ်တော့တယ်။ ဒီဆောင်းပါးလေးကနေတစ်ဆင့် ရှိတ်တာတို့၊ ရိတ်တာတို့၊ နောက်တစ်ခါ ရူပဗေဒမှာ သင်ရတဲ့ နယူတန်ရဲ့ နိယာမတွေ၊ သင်္ချာမေဂျာနဲ့ အင်ဂျင်နီယာတွေ သင်ခဲ့ဖူးတဲ့ ပုံမှန်အလိုက်ပြောင်းညီမျှခြင်း (Ordinary Differential Equation) စတဲ့ concept တွေကို ချိတ်ဆက်ပြမှာပဲ ဖြစ်ပါတယ်။ Calculus ကို ကောင်းကောင်းကြီး သုံးပြပြီးလက်တွေ့နဲ့ ချိတ်ပြမှာမို့ စာဖတ်သူတို့အတွက် အကျိုးတစ်စုံတစ်ခု ပေးစွမ်းနိုင်မယ်လို့ ယုံကြည်မိပါတယ်။ ဆောင်းပါးအဆုံးမှာလည်း အရမ်းစိတ်ဝင်စားဖို့ကောင်းတဲ့ မေးခွန်းလေးနဲ့ ပိတ်ထားတာမို့ သေချာနားလည်အောင် ဖတ်ကြည့်ပြီးရင် မေးထားတာလေးကို အားထုတ်ပြီး ဖြေပေးကြပါဦးလို့။

သဘောတရား ရှင်းလင်းချက်

အလွတ်ပြုတ်ကျခြင်း (free fall) ဆိုတာ ဘာလဲ အရင်ရှင်းပြပါမယ်။ အရာဝတ္ထုတွေဟာ လေထုခုခံမှု မရှိဘူးဆိုရင် တူညီတဲ့အရှိန်နဲ့သာ အောက်ကိုပြုတ်ကျတယ်။ လေထုရှိရင်တော့ လေးတဲ့ပစ္စည်းက ပေါ့တဲ့ပစ္စည်းထက် အောက်ကို အရင်ရောက်တယ်။ ဒါကို ဂယ်လီလီယိုက ပြင်ညီစောင်း (inclined plane) စမ်းသပ်ချက်ကို အသုံးပြုပြီး အရင်ကတည်းက သက်သေပြခဲ့ပြီးသား။ နောက်ပိုင်း နည်းပညာတွေ ပိုတိုးတက်လာတော့ လေစုပ်ထုတ်ထားတဲ့ စမ်းသပ်ခန်းထဲမှာ ငှက်မွှေးနဲ့ဘိုးလင်းဘောကို တစ်ပြိုင်နက်တည်း လွှတ်ချပြီးသက်သေပြခဲ့ကြပြန်တယ်။ ၁၉၇၁ ခုနှစ်တုန်းက အာကာသယာဥ်မှုးတစ်ဦးဖြစ်သူ ဒေးဗစ်စကော့တ်ကလည်း လပေါ်မှာ တူနဲ့ငှက်မွှေးကို တစ်ပြိုင်တည်းလွှတ်ချပြီး သက်သေပြခဲ့တယ်။ ဒါတွေပြောပြတယ်ဆိုတာ သိစေချင်လို့ပါ။ သိပ္ပံမှာ သီအိုရီ (သို့) အဆိုပြုချက်တစ်ခုကို ဘယ်တော့မှ လွယ်လွယ်နဲ့ လက်မခံကြပါဘူး။ မတူညီတဲ့ ရှုထောင့်အမျိုးမျိုးကနေ မေးခွန်းတွေထုတ်၊ အမျိုးမျိုးစမ်းကြည့်ပြီးတော့မှ ကောက်ချက်ဆွဲကြတာပါ။ အခုလည်း အရာဝတ္ထုတွေ တူညီတဲ့အရှိန်နဲ့ ပြုတ်ကျရတဲ့ အကြောင်းကို လက်တွေ့နည်းနဲ့ အမျိုးမျိုးစမ်းသပ်ခဲ့ကြတယ်။ လက်တွေ့မှာပဲ မှန်တာလားဆိုတော့ မဟုတ်ဘူး။ သင်္ချာအတွက်အချက်တွေကိုသုံးပြီး တွက်ထုတ်ကြည့်ရင်လည်း ခုနကစမ်းသပ်ချက်တွေနဲ့ ကိုက်ညီနေတာ တွေ့ရပြန်တယ်။ ဒါကြောင့် ဒီဆောင်းပါးလေးမှာ ဘာ့ကြောင့် အရာဝတ္ထုတွေဟာ ဒီလိုတူညီတဲ့အရှိန်နဲ့ ကျဆင်းရသလဲဆိုတာကို တွက်ထုတ်ပြမှာပဲ ဖြစ်ပါတယ်။ အခုလိုမျိုး အရာဝတ္ထုတွေ လေထုခုခံအား (air resistance) နဲ့ ပွတ်အား (friction) တို့မရှိတဲ့အခြေအနေမှာ အောက်ကို ပြုတ်ကျတာကို အလွတ်ပြုတ်ကျခြင်း (free fall) ဆိုပြီး ခေါ်ကြတာပါ။

မှတ်ချက်။ လွယ်အောင် ‘အောက်’ လို့ သုံးနှုန်းထားတာပါ။ တကယ်က ဂြိုဟ်ရဲ့ အလယ်ဗဟိုဆီကို ဆွဲချခံရတာသာ ဖြစ်ပါတယ်။

နယူတန်ရဲ့ ဒြပ်ဆွဲအားအကြောင်း ပြန်နွေးချင်တယ်ဆို အောက်ပါဆောင်းပါးလေးတွေကို ပြန်သွားကြည့်လို့ရပါတယ်။

ဒြပ်ဆွဲအား (Gravity)

လေထုခုခံအား (air resistance) နှင့် ဂိတ်ဆုံးအလျင် (terminal velocity)

ပုံ ၂။ ဒြပ်ဆွဲရှိန်နှင့် ဒြပ်ဆွဲအား တို့ကို သရုပ်ဖော်ထားပုံ — ပုံ ၁။ ဒြပ်ဆွဲရှိန်နှင့် ဒြပ်ဆွဲအား တို့ကို သရုပ်ဖော်ထားပုံ

နယူတန်ရဲ့ ဒုတိယနိယာမအရ ဝတ္ထုတစ်ခုပေါ်မှာ သက်‌ရောက်နေတဲ့အားဟာ အဲ့ဒီဝတ္ထုရဲ့ဒြပ်ထု (mass) နဲ့ အရှိန် (acceleration) တို့မြှောက်ထားတာနဲ့ ညီပါတယ်။ သင်္ကေတအားဖြင့် F = ma ပါ။ တစ်ခါ နယူတန်ရဲ့ ဒြပ်ဆွဲအားနိယာမ အရ $\displaystyle F = G \frac{m M}{r^2}$ ဖြစ်ရမယ်။ အဲဒီက G ဆိုတာ ဒြပ်ဆွဲကိန်းသေ ၊ m အသေးလေးက ဝတ္ထုရဲ့ ဒြပ်ထု၊ M အကြီးက ဂြိုဟ်ရဲ့ ဒြပ်ထု၊ r ဆိုတာက ဂြိုဟ်နဲ့ ဝတ္ထုနဲ့ကြားအကွာအဝေး (ဗဟိုချက်နှစ်ခုကြားလို့ မှတ်ရင် ပိုကောင်းတယ်)။ ပုံမှန်အားဖြင့် ဂြိုဟ်ရဲ့အရွယ်အစားက ဝတ္ထုနဲ့ယှဥ်ရင် အရမ်းကြီးလွန်းတာကြောင့် ဝတ္ထုရဲ့ အရွယ်အစားကို လျစ်လျူရှုလေ့ရှိတယ်။ ဒါ့ကြောင့် r ကို ဂြိုဟ်ရဲ့ အချင်းဝက်လို့ အလွယ်မှတ်ယူနိုင်တယ်။

F = m a ကို အင်နားရှားသက်ရောက်မှုလို့ခေါ်တယ်။

$\displaystyle F = G \frac{m M}{r^2}$ ကိုကျတော့ ဒြပ်ဆွဲသက်ရောက်မှုလို့ ခေါ်တယ်။

ဒြပ်ထု m ရှိတဲ့ ဝတ္ထုကို ဂြိုဟ်ကနေဆွဲချတဲ့ ဖြစ်စဥ်က သဘောတရားအရ free fall motion နဲ့ အတူတူပဲ။ မျက်စိလည်ဦးမယ်နော်။ သေချာဖတ်ကြ။ မရရင် အခါခါပြန်ဖတ်ကြည့်၊ မသိရင်မရှင်းရင် မေးကြည့်ပါ။ OK.

ဒီလို ထပ်မြင်ကြည့်ဗျာ။ ဒြပ်ထု m ရှိတဲ့ ဝတ္ထုလေးဟာ ဂြိုဟ်ရဲ့ ဒြပ်ဆွဲအား (gravity) ကြောင့် ရွေ့မလာဘူးလား။ ဘယ်ကိုရွေ့မှာလဲ။ ဂြိုဟ်ရဲ့ အလယ်ဗဟိုဆီကိုနော်။ ဒီတော့ အင်နားရှားသက်ရောက်မှုဆိုတာ ရွေ့လို့ဖြစ်တာ။ ဒြပ်ဆွဲသက်ရောက်မှုက ရွေ့ခြင်းကို ဖြစ်စေတာ။ Free fall ဖြစ်စဥ်မှာ အဲ့ဒီနှစ်ကောင်ညီကြတယ်။ ဒါကို ညီမျှခြင်းအရ ပြန်ချရေးရင်

$\displaystyle F = m a = G \frac{m M}{r^2}$

အဲဒီမှာ ညီမျှခြင်းရဲ့ ဘယ်ဖက်ခြမ်းနဲ့ ညာဖက်ခြမ်းက m ကြေသွားတာပဲ။ တစ်ခါ m ဆိုတာ ပြုတ်ကျတဲ့ အရာဝတ္ထုမဟုတ်ဘူးလား။ ဒီတော့ ပြုတ်ကျတဲ့ ဖြစ်စဥ်မှာ သူ့ရဲ့ mass က ညီမျှခြင်းထဲကနေ ထွက်သွားရော။ ဒါ့ကြောင့်လည်း free fall motion မှာ ပြုတ်ကျတဲ့ အရာဝတ္ထုရဲ့ ဒြပ်ထုအပေါ်မှီခိုခြင်းကင်းတယ်လို့ ပြောကြတာကိုး။ ဟုတ်ပြီဗျာ။ m မပါတော့တဲ့ ညီမျှခြင်းလေးကို ပြန်ချရေးကြည့်ရအောင် (ဘောပင် သို့မဟုတ် ခဲတံကိုင်ပြီး စာရေးသူနဲ့အတူတူ လိုက်ချတွက်ကြည့်လိုက်၊ ပိုတောင် နားလည်သွားလိမ့်မယ်)။

$\displaystyle a = G \frac{M}{r^2}$

ဒါဟာ acceleration (အရှိန်)ကို ဖော်ပြတဲ့ညီမျှခြင်းလေးပါ။ အဲ့ဒီအရှိန် $\displaystyle a = G \frac{M}{r^2}$ က constant (ကိန်းသေ) ဖြစ်ပါတယ်။ ဟုတ်ပြီနော်။ ကဲ အရင်က စာရေးသူရှင်းပြခဲ့ဖူးတဲ့ integration တို့၊ differentiation တို့နဲ့ ဆက်စပ်ဖို့ အချိန်ရောက်လာပြီ။ acceleration ဆိုတာ အရွေ့ (displacement) ကိုအချိန်နဲ့လိုက်ပြီး နှစ်ခါရှိတ်ရင် ရပါတယ်။ အရွေ့ကို s နဲ့ ရေးမယ်။ အလျင် (velocity) ကို v နဲ့ ရေးမယ်ဗျာ။ သင်္ကေတနဲ့ဆို

s = displacement

v = velocity = $\displaystyle \frac{ds}{dt}$

‌a = acceleration = $\displaystyle \frac{d^2 s}{dt^2}$

ဒါက ရှိတ်ရဲ့ သဘောတရား။ အဲ့တော့ ဟိုးအပေါ်က တွက်ထုတ်ထားတဲ့ $\displaystyle a = G \frac{M}{r^2}$ ရဲ့ a နေရာမှာ ခုနက ရှိတ်ထားတဲ့ ပုံစံကို အစားသွင်းလိုက်မယ် ဆိုရင်

$\displaystyle \frac{d^2 s}{dt^2} = G \frac{M}{r^2}$

ဆိုပြီးရပါတယ်။ ဒီနေရာမှာ တစ်ခုထည့်ပြီးစဥ်းစားရမှာက acceleration ဆိုဟာ vector မတ္တာဖြစ်တာမို့ direction ကိုပါ ထည့်စဥ်းစားမှ မှန်မယ်။ အပေါ်ကို အပေါင်းယူယူ၊ အနုတ်ယူယူရတယ်။ တရားသေမှတ်ဖို့ မလိုဘူး။ ကိုယ့်ဘာသာပြန်တွက်တဲ့နေရာမှာသာ ကိုယ်သတ်မှတ်ထားတဲ့အတိုင်း အပေါ်အောက် စတဲ့ သတ်မှတ်ချက်ကိုသာ အတိအကျလိုက်နာဖို့ပဲ လိုတာပါ။ စာရေးသူကတော့ ဖတ်စာအုပ်တွေမှာ သုံးလေ့ရှိတဲ့အတိုင်း အပေါ်ကို အပေါင်း အောက်ကို အနုတ်ဆိုပြီး ယူဆပါမယ်။ ဒါကြောင့် ညီမျှခြင်းလေးဟာ

$\displaystyle \frac{d^2 s}{dt^2} = - G \frac{M}{r^2}$

ဖြစ်ရပါမယ်။ အဓိပ္ပာယ်က ဝတ္ထုလေးဟာ အောက်ကို အရှိန် $\displaystyle G \frac{M}{r^2}$ နဲ့ပြုတ်ကျနေတယ်ပေါ့။ ‘အောက်’ ဆိုတာကို အနုတ်နဲ့ ပြလိုက်တဲ့ သဘောလေးပါ။ အဲ့ဒီညီမျှခြင်းလေးကို ကဲကုလပ်စ် သင်္ချာဘာသာရပ်မှာဒုတိယအဆင့် ပုံမှန်အလိုက်ပြောင်းညီမျှခြင်း (second order ordinary differential equation) လို့ခေါ်ကြတာပါ။ ODE လို့လည်း အလွယ်ခေါ်လေ့ရှိကြပါတယ်။ ဒါလေးကိုကြည့်လိုက်ရင် နယူတန်ရဲ့ နိယာမဆိုတာ တကယ်တော့ ODE ညီမျှခြင်းလေးပါလား ဆိုတာကို သိနိုင်ပါတယ်။ သူ့ကို ဖြေရှင်းနိုင်ရင် အရာဝတ္ထုတစ်ခု အပေါ်မှအောက်သို့ ဒြပ်ဆွဲအားကြောင့်ရွေ့မယ့် Free fall motion (တစ်နည်း) တစ်ဖက်မြင်ရွေ့လျားမှု (1 D motion) ကိုရပါမယ်။

ဖြေရှင်းပုံ (သို့မဟုတ်) တွက်ထုတ်ပုံ

ကဲ ဖြေရှင်းမယ်ဆိုတာတော့ ဟုတ်ပါပြီ။ ဘယ်ကနေ စရှင်းရမလဲ။ သင်္ချာကိုသာ ပိုင်ပါစေ။ ရှင်းချင်သလို ရှင်းလို့ရတယ်။ antiderivative သို့မဟုတ် integration လို့သိကြတဲ့ ရိတ်ခြင်းနည်းကိုသုံးပြီး ရှင်းမလား၊ ဒါမှမဟုတ် numerical လို့ခေါ်တဲ့ ဂဏန်းသင်္ချာနည်းသုံးပြီးပဲ ရှင်းမလား၊ မဟုတ်ဘူး ကျွန်တော်/ကျွန်မကတော့ ကိန်းမျဥ်း (graph) လေးဆွဲပြီးရှင်းမှ မြင်တာ စသည်ဖြင့် ကြိုက်သလိုသာရှင်းဗျာ၊ အဖြေက အတူတူပဲ ထွက်ပါမယ်။ နောက်မှ numerical အကြောင်းရှင်းပြဦးမယ်။ အရမ်းအသုံးဝင်တာကြောင့် သိထားသင့်တယ်။ ပုံသေနည်းကျက်စရာမလိုပဲ ၊ လာချင်တာလာ၊ ဂဏန်းတွေကိုကစားပြီး ခန့်မှန်းအဖြေရှာတဲ့ နည်းလမ်းလေးပါ။ နယူတန်တို့ အွိုင်လာတို့တောင် အဲ့ဒီနည်းလမ်းတွေကို တီထွင်ခဲ့ကြသေးတယ်။ ထားပါ။ အခုလောလောဆယ်တော့ တလောလေးကမှ ရှင်းပြခဲ့တဲ့ integration ခေါ် antiderivative နည်းကိုသုံးပြီးတော့ အဖြေရှာပြပါမယ်။ ဒါနဲ့ integration အကြောင်းနည်းနည်း ပြန်မှတ်မိချင်တယ်ဆိုရင် ဒီလင့်ခ် ကနေ သွားပြန်ဖတ်လို့ရပါတယ်။

$\displaystyle \frac{d^2 s}{dt^2} = - G \frac{M}{r^2}$ ညီမျှခြင်းလေးကို အချိန် dt နဲ့ လိုက်ပြီး ဘယ်ဖက်ရော ညာဖက်ရောကို integrate လုပ်လိုက်မယ်ဆိုရင် အောက်ပါညီမျှခြင်းလေးကို ရမယ်။

$\displaystyle \int{\frac{d^2 s}{dt^2}}dt = \int{- G \frac{M}{r^2}}dt$

ရှင်းသွားအောင် ဘယ်ဖက်နဲ့ ညာဖက် သပ်သပ်ဆီခွဲရှင်းရအောင်။ ဘယ်ဖက်ခြမ်းက နှစ်ခါ ‘ရှိတ်’ ကို ‘ရိတ်’ ထားတာဖြစ်လို့ တစ်ခါ ‘ရှိတ်’ ကို ရပါမယ်။

$\displaystyle \int{\frac{d^2 s}{dt^2}}dt = \frac{ds}{dt}$

ညာဖက်ခြမ်းကိုကျ အရင်တုန်းက စာရေးသူ ရှင်းပြခဲ့ဖူးတဲ့ ‘ရိတ်’ ပုံသေနည်းလေးကို သုံးပြီး ‘ရိတ်’ ရမယ်။

“ပါဝါ ၁ တိုး ပါဝါနဲ့ စား C ပေါင်းပေး”

$\displaystyle \int{t^n}dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C$

ဒါနဲ့ နေပါဦး။ $\displaystyle \int{- G \frac{M}{r^2}}dt$ ညီမျှခြင်းမှာ ၁ တိုးဖို့ t ရှာမတွေ့ဖူးဖြစ်နေတယ်။ ဘယ်တွေ့မှာတုန်း။ $\displaystyle \int{- G \frac{M}{r^2}}dt$ ဆိုတာက ကိန်းသေကြီး ဖြစ်နေတာကို။ သေချာကြည့်နော်။ သူ့မှာ t ပါသလား။ မပါဘူး။ ဟုတ်ပြီ၊ ဒါကို t⁰ နဲ့ မြှောက်ထားတယ်ဆိုပြီး ယူဆလို့ရတယ် (t⁰ = 1)။ အဲ့တော့ t⁰ကိုပဲ ‘ရိတ်’ ရမယ်။ အရှေ့က ကိန်းသေကို ဒီတိုင်းပြန်ရေးလိုက်ရင်

$\displaystyle \int{- G \frac{M}{r^2}}dt = \int{- G \frac{M}{r^2} (t^0)}dt = -G \frac{M}{r^2} t + C$

ဆိုပြီး ရပါတယ်။ အဲဒီညီမျှခြင်းလေးရဲ့ C ကို arbitrary constant of integration လို့ခေါ်တယ်။ ကြိုက်ရာကိန်းသေတစ်ခုခု အစားသွင်းပေးလို့ရတယ်။

ဘယ်နဲ့ညာ ညီပေးလိုက်တဲ့အခါ

$\displaystyle \frac{ds}{dt} = -G \frac{M}{r^2} t + C$

ကို ရတယ်။ ဒီနေရာမှာ C ကို စဦးအခြေအနေ (initial condition) ကနေ ပြန်တွက်ထုတ်ရမယ်။ စစချင်း (ဝတ္ထု စပြုတ်ကျကျချင်း)က အချိန် သုည စက္ကန့်ကနေ စတယ်ဆိုပါစို့။ အချိန်သုညစက္ကန့်မှာ အဲ့ဒီဝတ္ထုလေးဟာ လွှတ်ချခံရတာဖြစ်နိုင်သလို ပစ်ချခံရတာ (သို့) အပေါ်ကို ပစ်တင်ခံရတာ စသည်ဖြင့် အမျိုးမျိုးဖြစ်နိုင်တယ်။ ဒါတွေကိုပါ ထည့်စဥ်းစားရမယ်။ ဟုတ်ပြီ၊ လွှတ်ချခံရတဲ့ ဖြစ်စဥ်မှာ စဦးအလျင် သုည ဆိုပေမယ့် ပစ်ချတာ (သို့) ပစ်တင်တာ ဆိုရင် စဦးအလျင် သုည ဘယ်ဟုတ်တော့မလဲ။ ဒီတော့ စဦးအလျင်ကို မသိကိန်း v₀ ဆိုပြီး ထားလိုက်။ ဒါကို သင်္ချာနည်းအရ

At t = 0, $\displaystyle \frac{ds}{dt} = v_0$

လို့ ပြန်ရေးလို့ရတယ်။ သူ့ကို အပေါ်က $\displaystyle \frac{ds}{dt} = -G \frac{M}{r^2} t + C$ ညီမျှခြင်းမှာ အစားပြန်သွင်းလိုက်ရင်

$\displaystyle v_0 = -G \frac{M}{r^2} (0) + C$

$\displaystyle \therefore C = v_0$

ဆိုပြီး ရပါတယ်။ တစ်ဆင့်ချင်း သေချာ ချရေးကြည့်မှ မြင်မှာနော်။ ဒီတော့

$\displaystyle \frac{ds}{dt} = -G \frac{M}{r^2} t + C = -G \frac{M}{r^2} t + v_0$

ဆိုပြီးရပါတယ်။ တစ်ခါ $\displaystyle \frac{ds}{dt} = v$ ဖြစ်တာမို့

$\displaystyle v = v_0 - \left( \frac{GM}{r^2} \right) t$

ဆိုပြီး ရပါတယ်။ (မြင်ဖူးသလိုလို ရှိတယ်ဟုတ်။ ဘယ်မှာ မြင်ဖူးလည်း ဇာတ်သိမ်းနားကျရင် ပြောပြမယ်)

မပြီးသေးဘူး။ ညီမျှခြင်းလေးက နဂို second order ကနေ first order ODE ဖြစ်သွားပြီ။ ခုနကနည်းအတိုင်း s ရတဲ့အထိ ဆက်ရှင်းရမှာ။ တစ်ခေါက်ထပ် ‘ရိတ်’ ရမယ်။ ဒီတော့

$\displaystyle \int{\frac{ds}{dt}} dt = \int{\left[ v_0 - \left( \frac{GM}{r^2} \right) t \right]}dt$

သူ့ကို ဘယ်ကို တစ်ခါ ‘ရိတ်’ ၊ ညာကို တစ်ခါ ‘ရိတ်’ ရမယ်။ ဘယ်ကို ‘ရိတ်’ တာက လွယ်ပါတယ်။ antiderivative သဘောတရားအရ

$\displaystyle \int{\frac{ds}{dt}} dt =s$

ရပါတယ်။

ညာဖက်ကိုက အရှေ့က integration ပုံသေနည်းလေးနဲ့ ‘ရိတ်’ မယ်။ v₀ က ကိန်းသေဖြစ်တာကြောင့် ခုနတုန်းကလိုပဲ t power 0 လို့ ရှုမြင်ရမယ်။ ပုံသေနည်းလေးသုံးပြီး ကိုယ့်ဘာသာ ရိတ်ကြည့်ကြ (အပေါ်မှာ တွက်ပြတာနဲ့ သိပ်မကွာဘူး)။ အောက်က အဖြေ ရပါတယ်။

$\displaystyle \int{\left[ v_0 - \left( \frac{GM}{r^2} \right) t \right]} dt = v_0 t - \frac{1}{2} \left( \frac{GM}{r^2} \right) t^2 + C_1$

C₁ = arbitraty constant (အပေါ်က C နဲ့ ရောမှာစိုးလို့ C₁ လို့ ‌ရေးလိုက်တယ်။

ဘယ်ညာနှစ်ဖက် ပေးညီလိုက်တော့

$\displaystyle s = v_0 t - \frac{1}{2} \left( \frac{GM}{r^2} \right) t^2 + C_1$

C₁ ကို စဦးအခြေအနေကနေ ရှာလို့ရတယ်။ ဆိုပါတော့ t = 0 မှာ s က အမြင့်တစ်ခုခုရှိမယ် ၊ s₀ ဆိုပါတော့။ ဒါဆို ပြန်အစားသွင်းရင်

$\displaystyle s_0 = v_0 (0) - \frac{1}{2} \left( \frac{GM}{r^2} \right) (0)^2 + C_1$

$\displaystyle \therefore C_1 = s_0$

အနှစ်ချုပ်လိုက်တော့

$\displaystyle s = s_0 + v_0 t - \frac{1}{2} \left( \frac{GM}{r^2} \right) t^2$

ဆိုပြီးရပါတယ်။

အခုတွက်ထုတ်လိုက်တာ ပုံသေနည်းနှစ်ခု ထွက်လာတယ်။ t ကို ဖျောက်ပြီး ပြန်တွက်ရင် တတိယပုံသေနည်းကို ရတယ်။ အများကြီး တွက်ရမှာမို့ လက်နဲ့ပဲ တွက်ပြထားတယ်။ ကိုယ်တိုင် ပြန်တွက်ကြည့်ချင်တဲ့ သူတွေတွက်ကြည့်ကြ၊ မရရင် အောက်ကလင့်ခ်ကို နှိပ်ပြီး တွက်ပြထားတာကို ကြည့်ပါ။
တတိယပုံသေနည်း (t ကို ဖျောက်ပြီး တွက်ထုတ်ခြင်း)

တွက်ထုတ်မှုတွေအပြီးမှာတော့ အောက်ပါ ညီမျှခြင်း ၃ ကြောင်း ကို ရရှိပါတယ်။

Free fall equations (1 D motion equations)
$\displaystyle v = v_0 - \left( \frac{GM}{r^2} \right) t$
$\displaystyle s = s_0 + v_0 t - \frac{1}{2} \left( \frac{GM}{r^2} \right) t^2$
$\displaystyle v^2 = v_0^2 - 2 \left( \frac{GM}{r^2} \right) (s-s_0)$

ဒီညီမျှခြင်းတွေမှာ ရွေ့တဲ့ ဝတ္ထု့ရဲ့ mass မပါတာကို တွေ့ရမယ်။ ဒါကြောင့် free fall ဟာ ပြုတ်ကျတဲ့ ဝတ္ထု့ရဲ့ ဒြပ်ထုအပေါ် မှီခိုမှုကင်းပါတယ်။ ခဏခဏ တမင်ပြန်ပြောပေးပြနေတယ်ဆိုတာက သေချာဖတ်စေ၊ စဥ်းစားစေချင်လို့နော်။ ဒါနဲ့ နေပါဦး။ ဒီညီမျှခြင်းတွေကို ဘယ်မှာတွေ့ဖူးပါလိမ့်။

အကယ်၍များ -GM/r^2 နေရာမှာ acceleration ‘a’ သင်္ကေတအစားထိုးကြည့်လိုက်ရင် ကိုးတန်းအခန်း ၃ မှာသင်ရတဲ့ Uniformly accelerated motion ညီမျှခြင်းတွေကို ပြန်ရမှာဖြစ်ပါတယ်။ အော် ဒါကြောင့်ကိုး ၊ မြင်ဖူးသလိုလိုရှိတယ်မှတ်တာ

Uniformly accelerated motion (၉ တန်း အခန်း ၃ မှ ညီမျှခြင်းများ)
$\displaystyle v = v_0 + a t$
$\displaystyle s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$
$\displaystyle v^2 = v_0^2 + 2 a s$

ကိုးတန်းတုန်းကတော့ level သိပ်မမြင့်သေးဘူးဆိုတော့ s₀ ကို သုညလို့ ရေးခဲ့ကြတာပါ။ acceleration က ကိုယ်သတ်မှတ်ထားတဲ့ ဦးတည်ချက် လက္ခဏာအပေါ်မူတည်ပြီး အပေါင်းအနုတ် မတူတာပါ။ ဒါနဲ့ နေပါဦး။ ဘာလို့များ လာတူနေတာပါလိမ့်။ တိုက်ဆိုင်မှုများ ဖြစ်နေမလား 🤔🤔

ဥပမာပုစ္ဆာ

တွက်ထုတ်တဲ့ ကဏ္ဍက ပြီးသွားတော့ အသုံးပြန်ချတတ်ဖို့ လိုအပ်လာပြီ။ အပေါ်က ညီမျှခြင်းလေးတွေကို သုံးပြီးတော့ နမူနာ ပုစ္ဆာ ၂ ပုဒ်ကို တွက်ပြမယ်။ သ‌ဘောတရားသာ ပဓာနကျတာမို့ အများကြီးတွက်နေတာထက် တစ်ပုဒ်နှစ်ပုဒ်ကို သေသေချာချာတွက်၊ ပြီးရင် စဥ်းစား၊ ဘာ့ကြောင့် ဒီအဖြေရတာလဲ၊ လက်တွေ့မှာဆို ဘယ်လိုဖြစ်မလဲ၊ ရလဒ်တွေက အဓိပ္ပာယ်ရောရှိရဲ့လား စသဖြင့်။ ဦးနှောက်ကို တောက်လျှောက် အလုပ်ပေး၊ သတိလက်မလွှတ်စေနဲ့။ အမြဲတမ်း ကိုယ့်ဘာသာတွက်ထားတဲ့ ရလဒ်တွေကို သံသယမျက်လုံးနဲ့ ကြည့်တတ်ပါစေ။ လျှမ်းတယ်ဆိုတဲ့ သူတွေက သံသယမျက်လုံးလိုအပ်နေတာ။ calculator ပဲ သုံးသုံး၊ နောက်ဆုံးပေါ် iphone 11pro ပဲ သုံးသုံး သံသယမျက်လုံးနဲ့ ကြည့်တတ်ပါစေ။ ok? ဖြစ်စေချင်တာလေးတွေ ပြောပြနေတာနဲ့ စကားကြောတောင် ရှည်သွားပြီ။

ဟုတ်ပြီ။ ပထမပုစ္ဆာလေးက ဒီလို။

မီတာ ၅၀ မြင့်တဲ့ တိုက်ပေါ်ကနေ ၅ ကီလိုဂရမ် လေးတဲ့ ဆန်တစ်အိတ်ကို လွှတ်ချလိုက်မယ်။ ဆန်အိတ် မြေကြီးပေါ်ရောက်ဖို့ အချိန်ဘယ်လောက်ကြာမလဲ။ အကယ်၍များ ၂၀ ကီလိုဂရမ် လေးတဲ့ ကျွန်းသေတ္တာကြီးကို လွှတ်ချလိုက်ရင်ကော အချိန်ဘယ်လောက်ကြာမလဲ။ ဆန်အိတ်ကို ပစ်ချတုန်းကထက် ပိုကြာမလား၊ ပိုနှေးမလား။ (လေထုခုခံမှုတို့ ပွတ်အားတို့ မရှိဘူးလို့ သဘောထားပြီး ကမ္ဘာဂြိုဟ်ရဲ့ အချက်အလက်တွေနဲ့ပဲ တွက်။)

ကမ္ဘာဂြိုဟ်ရဲ့ အချက်အလက်များ ။ G = 6.674 x 10^-11 m³kg^-1s^-2 , အချင်းဝက် r = 6.371 x 10⁶ m , ကမ္ဘာ့ဒြပ်ထု M = 5.972 x 10²⁴ kg

အဖြေ -

လွှတ်ချမယ့်နေရာကနေ စမှတ်ကို တွက်မယ်။ ဒါကြောင့် အချိန်သုညစက္ကန့်မှာ s₀ = 0 မီတာ (မရွေ့သေးဘူး ပြောချင်တာ)

At t = 0 sec, s₀ = 0 m

လွှတ်ချတယ်ဆိုတော့ နဂိုက ရပ်နေတာ ဖြစ်ရမယ်။ ဒါ့ကြောင့် အချိန်သုညစက္ကန့်မှာ အလျင် v0 = 0 ms^-1

At t = 0 sec, v₀ = 0 m/s

ဒီအထိ ရှုပ်တာ တစ်ခုမှ မပါသေးဘူးနော်။ လက်တွေ့က အခြေအနေကို စဥ်းစားနေတာ။ အောက်ကို ရောက်ဖို့ ကြာချိန်က မသိကိန်း ‘t’ ပဲ ထားလိုက်။ တိုက်အမြင့်က မီတာ ၅၀ ဆိုတော့ အောက်ကို ရောက်ရင် မီတာ ၅၀ ရွေ့ပြီး ဖြစ်မယ်။ ဒါကြောင့် နောက်ဆုံးအရွေ့တန်ဖိုးက ၅၀ မီတာ လို့ပြောရင် လုံးဝမှားပါတယ်။ အနုတ် ၅၀ မီတာ ပြောမှ မှန်ပါမယ် (ဘာလို့ပါလိမ့်။ ကိုယ့်ဘာသာ စဥ်းစားကြ)

At t sec, s = – 50 m

s, v0, s0, t ပါတဲ့ ပုံသေနည်းကို ရှာကြည့်တော့ အလယ်တစ်ကြောင်းမှာ သွားတွေ့တယ်။ ဒီတော့

$\displaystyle s = s_0 + v_0 t - \frac{1}{2} \left( \frac{GM}{r^2} \right) t^2$

အပေါ်က data တွေ အစားသွင်းလိုက်တော့

$\displaystyle -50 = 0 + 0 t - \frac{1}{2} \left( \frac{6.674 \times 10^{-11} \times 5.972 \times 10^{24}}{(6.371 \times 10^6)^2} \right) t^2$

$\displaystyle \therefore t = \sqrt{\frac{50 \times 2 \times (6.371 \times 10^6)^2}{6.674 \times 10^{-11} \times 5.972 \times 10^{24}}} = 3.19 \text{ sec}$

ဆန်အိတ် မြေကြီးပေါ်ရောက်ဖို့ အချိန် ၃.၁၉ စက္ကန့် ကြာပါတယ် (စကားမစပ် စမ်းကြည့်ချင်တဲ့သူတွေ ရှိရင် တိုက်အောက်မှာ လူရှိမရှိ အခြေအနေကြည့်ပြီးမှ လွှတ်ချကြပါကုန် 😁။)

ဆက်ပြီးမေးထားတဲ့ ကျွန်းသေတ္တာကို လွှတ်ချလိုက်ရင်လည်း အချိန် ၃.၁၉ စက္ကန့်ပဲ ကြာပါတယ်။ လေထုခုခံမှုကိုသာ ထည့်မစဥ်းစားရင် အဖြေအတူတူပဲ ထွက်ရပါမယ်။ ဒါကြောင့် ပြုတ်ကျတဲ့ အရာဝတ္ထုက ဝတ္ထုရဲ့ ဒြပ်ထုအပေါ် မှီခိုခြင်းကင်းပါတယ်။ OK.

ဒုတိယမေးခွန်းက

အကယ်၍များ ဆန်အိတ်ကို အပေါ်တည့်တည့် စဦးအလျင် 10 ms^-1 နဲ့ ပစ်တင်လိုက်မယ်ဆိုရင် ဘယ်လောက် အမြင့်ဆုံးအထိ ရောက်နိုင်မလဲ။ မြေကြီးပေါ်ရောက်ဖို့ ဘယ်နှစက္ကန့် ကြာမှာလဲ။

အဖြေ -

At time t = 0 sec, initial velocity v₀ = +10 m/s (အပေါ်ကို တက်မှာမို့ အပေါင်း)

စမှတ်ကို သုညကနေ တွက်မယ်။ At time t = 0 sec, s₀ = 0 m.

ဒီလို စဥ်းစားကြည့်။ အပေါ်ကို တက်သွားမယ့် အလျင်ဟာ အောက်ကို သွားစေတဲ့ အရှိန်နဲ့ လက္ခဏာချင်း မတူဘူး။ Direction မတူဘူးကိုး။ ဒါ့ကြောင့် စဦးအလျင်ဟာ အချိန်နဲ့ အမျှ လျော့လာမယ်။ ဟုတ်ပြီနော်။ မျက်စိတည်းမြင်အောင် လက်တွေ့ကို စဥ်းစားကြည့်လိုက်၊ အရင်ဆုံး ဆန်အိတ်လေးက အလျင်တစ်ခုနဲ့ အပေါ်ကို မြောက်တက်သွားမယ်။ တဖြည်းဖြည်းနှေးလာမယ် (ကမ္ဘာ့ဆွဲအားကြောင့်) ။ ဟော အချိန်တစ်ခုလည်းရောက်ရော နှေးယုံတင်မကဘူး၊ ဖြုတ်ဆိုရပ်သွားပြီး အောက်ပြန်ကျလာရမယ်။ ပြီးတော့ ပိုပိုမြန်တဲ့ အလျင်နဲ့ မြေကြီးဆီကို ပြုတ်ကျရမယ်။ (ဒါတွေကို သေချာစဥ်းစား၊ နားလည်ပြီဆိုမှ ပုံသေနည်းနဲ့ ချတွက်၊ မျှော်လင့်ထားသလို အဖြေမရရင် မေးခွန်းပြန်ထုတ်၊ ပြန်စဥ်းစား၊ မှားနေနိုင်သလား ပြန်ကြည့်)

ဆိုတော့ကာ အမြင့်ဆုံးအမှတ်ကို H အကြီးလို့ သဘောထားလိုက်။ စမှတ် s₀ ရယ်၊ v₀ ရယ်က သိပြီးသား။ H က လိုချင်တာ။ အချိန်က မသိဘူး။ ကိစ္စမရှိ။ နောက်ထပ်သိတာ တစ်ခုရှိတယ်။ H ကို ရောက်ရင် အလျင်သုည ဖြစ်ရမယ်။ ဒါမှလည်း အပေါ်ကို ဆက်မတက်နိုင်တော့မှာကိုး။ ဒီတော့ v = 0 m/s ဖြစ်ရမယ်။ ဟော ပုံသေနည်းတွေထဲ သွားပြန်ကြည့်တော့ နောက်ဆုံးညီမျှခြင်း သုံးလို့ရတာ တွေ့ရမယ်

$\displaystyle v^2 = v_0^2 - 2 \left( \frac{GM}{r^2} \right) (s-s_0)$

သိထားတာတွေ အစားပြန်သွင်းလိုက်ရင်

$\displaystyle 0^2 = 10^2 - 2 \left( \frac{6.674 \times 10^{-11} \times 5.972 \times 10^{24}}{(6.371 \times 10^6)^2} \right) (H-0)$

$\displaystyle \therefore H = 5.09 \text{ m}$

အဖြေရပါတယ်။ သေချာချတွက်ကြည့်ပါ။ မခက်တာကို တွေ့ရပါလိမ့်မယ်။

ကဲ မြေကြီးပေါ်ရောက်ဖို့ ဘယ်လောက်ကြာသလဲကျတော့ စပြီးအပေါ်ကို ပစ်တင်တဲ့ အချိန်ရယ် အမြင့်ဆုံးအမှတ်ကနေ အောက်ကို ပြန်ရောက်ဖို့ကြာချိန်ရယ် နှစ်ခုပေါင်းပေးရမှာ။

H ကို ရောက်ဖို့ ကြာချိန်ကိုလိုချင်ရင် $\displaystyle v = v_0 - \left( \frac{GM}{r^2} \right) t$

ပုံသေနည်းကို သုံးရမယ်။ t က မသိကိန်း၊ ကျန်တာတွေက သိပြီးသားဆိုတော့ (ကျော်လိုက်ပြီ၊ ကိုယ့်ဘာကိုယ် တွက်ကြည့်တော့) အဖြေက t = 1.02 sec ရတယ်။ ဒါက H ဆိုတဲ့ အမြင့်ဆုံးအမှတ်ရောက်ဖို့ ကြာချိန်။

ဒုတိယ H ကနေ ဟိုးမြေကြီးရောက်တဲ့ အထိကျဖို့က အပေါ်က ပထမပုစ္ဆာတုန်းက တွက်နည်းအတိုင်းပြန်တွက်ရမယ်။ ဒါပေမယ့် s = -50 m မဟုတ်တော့ဘဲ H ကိုပါထည့်စဥ်းစားရမယ်။ အောက်ရောက်အောင် ရွေ့မယ့်အရွေ့က သူတို့နှစ်ခုပေါင်းလဒ် (အောက် = အနုတ်) ဆိုတော့

So, s = -50 – H = -50 – 5.09 = -55.09 m

စမှတ်ကို အဲ့ဒီ တိုက်အမြင့် + အမြင့်ဆုံးအမှတ် H ကနေ ပြန်ထားတွက် (ပုစ္ဆာတစ်အတိုင်းတွက်ရန်) ၊ ဒါဆိုအ‌ဖြေ t = 3.35 sec ရပါတယ်။

ကြာချိန်စုစုပေါင်း = အမြင့်ဆုံး‌ရောက်ဖို့ကြာချိန် + အမြင့်ကနေပြန်ကျဖို့ကြာချိန် = 1.02 + 3.35 = 4.37 sec

(ဟုတ်ပါ့မလား။ မယုံနဲ့နော်။ သေချာချတွက်၊ စဥ်းစား၊ ဖြစ်နိုင်ချေရှိသလား၊ ပထမပုစ္ဆာကထက် ပိုကြာမှာတော့ သိတယ်လေ၊ ၁ စက္ကန့်ကျော်ကျော်ပိုကြာမယ်။ အဖြေကို ဘယ်လိုချိန်ကိုက်နိုင်မလဲ၊ စသဖြင့်အများကြီးအများကြီး စဥ်းစားလို့ရသေးတယ်။ စာရေးသူမှားနေရင်လည်း ပြောဦး 😁😁)

ဥာဏ်စမ်းမေးခွန်း

အပေါ်က နှစ်ပုဒ်ကို ကောင်းကောင်းနားလည်ရင် ဒီပုစ္ဆာက အလွယ်လေး (အကောင်းပြောတာ) အပေါ်ကဟာ မရဘဲနဲ့တော့ လာမစမ်းနဲ့။ ဂွိသွားမယ် 😛။ မေးခွန်းလေးက ဒီလို။ နယူတန်ရဲ့ နိယာမအမြဲမှန်တယ် သဘောထားလိုက်။ အိုင်းစတိုင်းတွေ၊ မက်စ်ဝဲလ်တွေ၊ time dilation တွေ ခေါက်ထားလိုက် ၊ လေထုခုခံအားလည်း ခေါက်ထားလိုက်။ ဟုတ်ပြီနော်။ ပုစ္ဆာလေးက ဒီလို ၊ လောကကြီးမှာ အခုဒီစာဖတ်နေတဲ့ သူရယ်၊ ကမ္ဘာကြီးရယ်ပဲ ရှိတယ်။ စာဖတ်သူကို ဘယ်လောက်ဝေးဝေးမှာ ထားရင် နောက်ဆုံးအလျင် (final velocity) က အလင်းအလျင် c = 3 x 10⁸ m/s ရမလဲ။ ဆိုလိုတာက စာဖတ်သူ ဘယ်လောက်ဝေးဝေးကနေ ပြုတ်ကျရင် မြေကြီးပေါ်ရောက်တဲ့အချိန်မှာ အလင်းအလျင်ကို ရမလဲ။

မှတ်ချက်။ ဆရာကွီးတွေ၊ ဆရာမကွီးတွေကတော့ ဒီမေးခွန်းက ဘောင်မဝင်ဘူး ပြောလိမ့်မယ်။ ဘောင်မဝင်လည်း အဖြေတစ်ခုတော့ ထွက်မှာပဲလေ၊ မှားတာမှန်တာ ဖြစ်နိုင်တာမဖြစ်နိုင်တာ၊ ဒါတွေပဲ ကွာမှာ။ မှားနေရင်လည်း တွက်ပေး၊ အဖြေကို လိုချင်တယ်။ OK? comment မှာ ပြောထားပါ။ ဘယ်လိုတွက်ပြီး အဲ့ဒီအဖြေရတာလဲပါ ရှင်းပြပေးပါ။

နားမလည်တာ ၊ လွဲနေတာ၊ ဘာညာတွေ့ရင်လည်း အချိန်မရွေး ပြောပါ၊ ဝေဖန်ပါ၊ ဆွေးနွေးပါ၊ မေးခွန်းထုတ်ပါ။ အားလုံး ကံကောင်းကြပါစေ။

#yp

ဥာဏ်စမ်းမေးခွန်းအတွက် question credit က ကိုရန်အောင်မိုး ပါ။ သူနဲ့ စာရေးသူ ဒီအတိုင်း CB မှာ စကားပြောရင်းနဲ့ ဒီမေးခွန်းလေးအကြောင်း ဆွေးနွေးဖြစ်ကြတာ။

အသေးစိတ်ထပ်ပြီး လေ့လာချင်တယ် ၊ ပုစ္ဆာတွေ တွက်ပြထားတာလေးတွေကို စဥ်းစားချင်တယ်၊ လေ့ကျင့်ချင်တယ်ဆိုတဲ့သူတွေက ဒီလင့်ခ်လေးမှာ ဝင်လေ့လာကြည့်ကြပါ။ အင်္ဂလိပ်လို ရှင်းထားတာဖြစ်ပေမယ့် နားလည်ရလွယ်ပါတယ်။ ဖတ်ကြည့်ကြည့်ပါ။

Insight for Myanmar

မြန်မာတို့အတွက် အင်ဂျင်နီယာ၊ သိပ္ပံနဲ့ နည်းပညာဆိုင်ရာ ဆောင်းပါးများ

အလွတ် ပြုတ်ကျခြင်း (free fall)

သဘောတရား ရှင်းလင်းချက်

ဖြေရှင်းပုံ (သို့မဟုတ်) တွက်ထုတ်ပုံ

ဥပမာပုစ္ဆာ

ဥာဏ်စမ်းမေးခွန်း

Like this:

Leave a ReplyCancel reply

သဘောတရား ရှင်းလင်းချက်

ဖြေရှင်းပုံ (သို့မဟုတ်) တွက်ထုတ်ပုံ

ဥပမာပုစ္ဆာ

ဥာဏ်စမ်းမေးခွန်း

Sharing is caring 🙂

Like this:

Leave a ReplyCancel reply