GeoGebra မှတ်စုများ (၁)

function ဆိုတာ input တွေကိုစီမံခန့်ခွဲပြီး output တွေကို ပြန်ထုတ်ပေးတဲ့ လုပ်ဆောင်ချက်အစုအဝေး (သို့) စနစ် (သို့) လုပ်ငန်းစဉ် ဖြစ်တယ်။ ဥပမာ “ထမင်းချက်” တဲ့ function မှာ ဆန်ရယ်၊ ရေရယ်၊ Input နှစ်ခုလိုတယ်။ ထမင်းချက် တဲ့ Function (လုပ်ငန်းစဉ်) ထဲကို အဲ့ဒီ Input တွေထည့်ပေးလိုက်ရင် Output အနေနဲ့ ထမင်းကိုရမယ်။ “ဆန်ပြုတ်ပြုတ်”  တဲ့ Function (လုပ်ငန်းစဉ်) ထဲကိုလည်း ဆန်ရယ်၊ ရေရယ်ကိုပဲ Input အနေနဲ့ ပေးလိုက်ရင် Output အနေနဲ့ ဆန်ပြုတ်ကိုရမယ်။ အဲ့ဒီတော့ Input တွေတူပေမဲ့ Function တွေမတူတဲ့ အခါ Output တွေမတူတော့တာကို တွေ့နိုင်တယ်။

Function တခုမှာ input တခုကနေ တခုထက်ပိုပြီး များစွာရှိနိုင်တယ်။ အပေါ်က ဥပမာမှာဆိုရင် ဆန်နဲ့ရေဆိုပြီး input နှစ်ခုရှိတာကို တွေ့ရမယ်။ အဲ့ဒီ Input တွေကိုပဲ Variable (ကိန်းရှင်) လို့ခေါ်နိုင်ပြန်သေးတယ်။

Functionတွေအကြောင်းကို အခုမှ စပြီးလေ့လာမှာဖြစ်တဲ့အတွက်ကြောင့် input သို့မဟုတ် Variable တခုတည်းရှိတဲ့ Function တွေနဲ့ စမိတ်ဆက်ပေးမယ်။

ဥပမာ အနေနဲ့ပြောရရင် ပဲပင်ဖောက်တဲ့လုပ်ငန်းစဉ်နဲ့ ပဲလှော်တဲ့ လုပ်ငန်းစဉ်ပေါ့။ ဒီလုပ်ငန်းစဉ် (function) နှစ်ခုမှာကျတော့ input က ပဲစေ့ တခုတည်းပဲ။ ပဲစေ့လှော်တဲ့ လုပ်ငန်းစဉ်ထဲ ပဲစေ့ input ထည့်လိုက်ရင် ပဲလှော် Output ရမယ်။ ပဲပင်ဖောက်တဲ့လုပ်ငန်းစဉ်ထဲ ပဲစေ့ Input ထည့်ပေးလိုက်ရင် ပဲပင်ပေါက် Output ရမယ်။

ဒီမှာလည်း input ချင်းတူပေမဲ့ function (လုပ်ငန်းစဉ်) ခြင်းမတူတဲ့အခါ ထွက်လာတဲ့ Output ကွာသွားတာပေါ့။

Functionတခုကို သင်္ချာအမှတ်အသားနဲ့ရေးပြချင်တယ်ဆိုရင် Function ရဲ့ အတိုကောက်နာမည်ရဲ့အနောက်မှာ Function ထဲမှာပါတဲ့ Variable တွေကို တပါတည်း ကွင်းစကွင်းပိတ်လေးနဲ့ ထည့်ပြီးရေးပေးတယ်။  ဥပမာ အားဖြင့် g(t,s) ပေါ့။ အဲ့ဒီနေရာမှာ g က functionရဲ့ နာမည်ဖြစ်ပြီး t နဲ့ s က function ထဲမှာပါတဲ့ Variable တွေ (သို့မဟုတ် input) တွေဖြစ်တယ်။ အပေါ်ကဥပမာတွေနဲ့ ပြန်ပြောရရင် ထမင်းချက်(ဆန်,ရေ) လို့တောင်နှိုင်းပြလို့ရမယ်ထင်တယ်။ ဒါပေမဲ့ လောလောဆယ် input သို့မဟုတ်  variable တခုတည်းရှိတဲ့ function တွေကိုပြောမှာမို့ g(t) သို့မဟုတ် s(t) အစရှိသည်ဖြင့် သက်ဆိုင်ရာ function တခုစီအတွက် input တခုတည်းပါတဲ့  Function တွေအကြောင်းပြောပါမယ်။

ကဲ လုပ်ငန်းစဉ်မတူတဲ့ Function ၃ ခုလောက်ကို ယှဉ်ကြည့်ရအောင်။

f(x)=2x, g(x)=3x+4 နဲ့ h(x)=x²-4 ပေါ့။

ဒီ functionတွေအားလုံးရဲ့ Input (or variable) က function နာမည် f ၊ g ၊ h တွေရဲ့နောက်မှာ ကွင်းစကွင်းပိတ်ကလေးနဲ့ ကပ်လိုက်နေတဲ့ x ကလေး တမျိုးတည်းပါ။ x တူပေမယ့် လုပ်ငန်းစဉ် (function) မတူတဲ့အခါ Output တွေကွဲကုန်မှာပါ။ ဥပမာ x = 1 ဖြစ်တယ်ဆိုကြပါစို့။ အဲ့ဒီ x တန်ဖိုး 1 ကို function f ထဲမှာအစားသွင်းပြပါ့မယ်။

ဘယ်လိုအစားသွင်းရမလဲဆိုတော့ function f နောက်က တွေ့သမျှ x နေရာတိုင်းမှာ 1 တွေကို အစားသွင်းပစ်လိုက်ရုံပါပဲ။

အဲ့ဒီတော့ f(1)=2*1 ဖြစ်သွားတာပေါ့။ 2နဲ့ 1မြှောက်လိုက်တော့ အဖြေ 2 ရတဲ့အတွက် f(1)=2 ရတာပေါ့။ ကျန်တဲ့ function တွေမှာအလားတူ  အစားသွင်းပြီး အဖြေထုတ်ကြည့်လိုက်ရင် g(1)=7 နဲ့ h(1)=-4 ဆိုပြီး အသီးသီးရပါလိမ့်မယ်။

အပေါ်က ဥပမာတွေမှာ g(t) ရေးလိုက် s(t) ရေးလိုက် ဇယားထဲက ဥပမာတွေကျတော့ f(x) g(x) h(x) ဖြစ်သွားပြန်ရော။ ဘယ်လိုတွေကြောင့်လဲဆိုရင်တော့ မွေးကင်းစ ခွေးပေါက်လေးတွေကို နာမည်ပေးသလိုပဲ ပေးချင်သလိုပေးနေတာပါ။ ပေးချင်သလိုလည်းပေးလို့ရပါတယ်။

ဇယားလေးနဲ့ ကြည့်ကြည့်ကြရအောင်။ ဇယားမှာ x ရဲ့တန်ဖိုးကို -infinity ကနေ +Infinity အထိဖြန့်ရေးထားပြီး သက်ဆိုင်ရာ function တွေရဲ့တန်ဖိုးတွေကို သူ့အတန်းနဲ့သူဖြည့်စွက်ထားပေးပါတယ်။

အထက်ပါဇယားထဲက function f(x) ကို x Vs y Graph တခုဆွဲကြည့်ကြရအောင်။ x Vs y ကို တချို့ကလည်း x-y Graph ၊ xy Graph ၊ XY Graph အစရှိသည်ဖြင့် အမျိုးမျိုးခေါ်ဆိုကြပါတယ်။ ဘယ်လိုခေါ်ခေါ် သူ့လိုရင်းကတော့ x ဝင်ရိုးကို အလျားလိုက်ဆွဲပြီး y ဝင်ရိုးကို ဒေါင်လိုက်ဆွဲထားတဲ့ Graph တခုပါပဲ။ ဘာလို့ x Vs y Graph ဆွဲဖို့လိုတာလဲ ဆိုတော့ function တွေမှာ သူတို့ရဲ့ ပြုမှုလုပ်ဆောင်ချက်အလိုက် (တနည်းအားဖြင့် သူတို့ရဲ့ ဖော်မြူလာအလိုက်) ဂုဏ်သတ္တိတွေရှိပါတယ်။ အရမ်းဆရာကျသွားတဲ့လူတွေကတော့ Function ကို ဒီအတိုင်း ဖတ်ကြည့်လိုက်ရုံနဲ့ ဘယ်လိုဂုဏ်သတ္တိတွေရှိတယ်ဆိုတာကို ပြောပြနိုင်ပါတယ်။ အခုမှစလေ့လာမယ့်လူတွေအတွက်ကျတော့ Graph တွေဆွဲကြည့်မှမြင်နိုင်တာမို့ပါ။ x Vs y Graph ဆွဲမှာဖြစ်တဲ့အတွက်ကြောင့် x ဝင်ရိုးတန်ဖိုးတွေနဲ့ y ဝင်ရိုးတန်ဖိုးတွေလိုပါတယ်။ x ဝင်ရိုးမှာနေရာချမယ့် x တန်ဖိုးတွေအတွက်က အပေါ်ဇယားထဲကအတိုင်း -∞ ကနေ +∞ အထိ အလိုက်သင့်ရေးချပေးလိုက်ရုံပါပဲ။ x ဝင်ရိုးအတွက် x တန်ဖိုးတွေရှိပြီးသားဆိုတော့ y တန်ဖိုးတွေက ဘယ်ကရမလဲ။ လွယ်ပါတယ်။ Let y = f(x) ဆိုပြီး ပေးညီလိုက်ကြတာပေါ့။ အဲ့ဒီတော့ function f အတွက် သက်ဆိုင်ရာ x နဲ့ y တန်ဖိုးတွေကို အပေါ်က ဇယားအတိုင်းပြန်ကူးချလိုက်ရင် အောက်ပါဇယားကိုရပါမယ်။

ရလာတဲ့ဇယားက x နဲ့ y တန်ဖိုးတွေအတိုင်း x Vs y Graph ကိုဆွဲလိုက်ရင် အောက်ကအတိုင်းရပါမယ်။

ဒီ Graph မှာ နေရာအကန့်အသတ်ကြောင့် y ဝင်ရိုးရဲ့အရှည်က -6 ကနေ +6 အထိပဲရှိပြီး x ဝင်ရိုးရဲ့အရှည်က -3 ကနေ +3 အထိပဲ ရှိသလိုဖြစ်နေပါတယ်။ တကယ်တမ်းမှာ ဝင်ရိုးနှစ်ခုစလုံးက အဆုံးမသတ်အောင်ရှည်လျားနေတာကို သဘောပေါက်ထားရပါမယ်။ ဇယားထဲကအတိုင်း သက်ဆိုင်ရာ Point အမှတ်လေးတွေ (-3,-6) l (-2,-4) I (-1,-2) I (0,0) I (1,2) I (2,4) I (3,6) I (xတန်ဖိုး, yတန်ဖိုး) အစရှိသည်ဖြင့် တခုချင်းစီချပြီး Point အမှတ်တွေကိုဆက်ဆွဲလိုက်တဲ့အခါမှာ မျဉ်းဖြောင့်တကြောင်းကိုရတာတွေ့ရပါလိမ့်မယ်။

ကျန်တဲ့ g(x) နဲ့ h(x) ကိုလည်း အဲ့ဒီလို y နဲ့ပေးညီပြီး Point အမှတ်တွေဆက်ဆွဲတဲ့အခါ ဘယ်လိုပုံစံထွက်လာမလဲ ကိုယ်တိုင်ဆွဲကြည့်ပါ။ ကျွန်တော်ကတော့ ပျင်းလို့ GeoGebra ဆိုတဲ့ Tool ကိုသုံးပြီးဆွဲပါ့မယ်။

မှတ်ချက်။ GeoGebra application ကို ဖုန်းမှာ ဒေါင်းထားလို့ရပါတယ်။ GeoGebra tool ကို အသုံးပြုပြီး graph ဆွဲပုံ အဆင့်ဆင့်ကို ဆောင်းပါးအပိုင်း ၂ မှာ ဆက်လက်ရှင်းပြပါမယ်။

Yar Wynn Ooe