GeoGebra မှတ်စုများ ဆိုတဲ့ ခေါင်းစဉ်နဲ့ အရှေ့မှာ အပိုင်း ၃ ပိုင်း ဖော်ပြခဲ့ပြီးပါပြီ။  အပိုင်း ၁ မှာ ဖန်ရှင်တွေအကြောင်း၊ အပိုင်း ၂ မှာ GeoGebra သုံးပြီး ဖုန်းထဲမှာ graph ဆွဲနိုင်တဲ့အကြောင်း၊ အပိုင်း ၃ မှာ မျဉ်းဖြောင့် linear ဖန်ရှင်တွေအတွက် လျှောစောက် (slope) ရှာပုံရှာနည်းအကြောင်းကို တင်ပြပေးခဲ့ပါတယ်။ အခု အပိုင်း ၄ မှာတော့ မျဉ်းကွေးဖန်ရှင် ဖြစ်တဲ့ h(x) ပေါ်က Random အမှတ်နှစ်မှတ်ကိုထိနေတဲ့ ဝန်းဖြတ်မျဉ်းတွေရဲ့ Slope တွေကိုလေ့လာကြည့်ရအောင်။

Curve တွေ Points တွေရှုပ်နေတာမို့ အောက်ကပုံမှာပြထားတဲ့အတိုင်းနှိပ်ပြီး h(x) ရဲ့ Curve တခုပဲချန်ပြီး ကျန်တာအကုန် hide ထားလိုက်ပါ။

ပြီးရင် အောက်မှာပြထားတဲ့ အတိုင်း Segment with given length Tool ကိုနှိပ်ပြီး x ဝင်ရိုးပေါ်မှာ အမှတ်နှစ်ခုကိုဆက်ထားတဲ့ မျဉ်းတိုလေးဖန်တီးလိုက်ပါ။

ပြီးသွားပြီဆိုရင် x ဝင်ရိုးပေါ်မှာ C အမှတ်နဲ့ D အမှတ်ကိုဆက်ထားတဲ့ မျဉ်းတိုလေးကိုတွေ့ရမှာဖြစ်တယ်။ Input Panel မှာလည်း l=1 ဆိုတဲ့ Slide Bar ကိုပါတခါတည်းမြင်ရပါလိမ့်မယ်။

GeoGebra မှာ Alphabet အသစ်တခုကိုရိုက်ထည့်လိုက်တာနဲ့ အဲ့ဒီ Alphabet နာမည်နဲ့ Slide Bar တခုကို အလိုအလျောက်ဖန်တီးပေးတာကြောင့် အခုလို Slide Bar တခုကိုတွေ့ရတာဖြစ်ပါတယ်။

ပေါ်လာတဲ့ Slide Bar l ရဲ့ ညာဘက်က အစက်သုံးစက်ကိုအောက်ပါအတိုင်းနှိပ်လိုက်ပြီး သူ့ရဲ့ Setting တွေကိုပြင်လိုက်ပါမယ်။

ပြီးရင် အောက်မှာပြထားတဲ့အတိုင်း Point C ကိုဖိပြီး မျဉ်းနီရဲ့ညာဘက်ရောက်သွားအောင်ပွတ်ဆွဲလိုက်ပါ။ (တကယ်က အဲ့ဒီအတိုင်းထားလည်းဘာမှမဖြစ်ပါဘူး မျဉ်းတွေများပြီး မျက်စိနောက်မှာစိုးလို့ပါ)။

ပြီးရင် C နဲ့ D ကို ဖြတ်ပြီး y ဝင်ရိုးနဲ့ အပြိုင်‌ဖြစ်တဲ့ ဒေါင်လိုက်မျဉ်းနှစ်ခုဖန်တီးပါမယ်။

ပုံမှာတော့ C ကိုဖြတ်တဲ့ဒေါင်လိုက်မျဉ်းကို ဖန်တီးပြထားပါတယ်။ D ကိုဖြတ်တဲ့ ဒေါင်လိုက်မျဉ်းကိုဖန်တီးချင်ရင် D အမှတ်ကို ထိ(ထောက်) ပေးလိုက်ပြီး y ဝင်ရိုးကို သွားထိ(ထောက်) ပေးလိုက်ရုံပါပဲ။

ပြီးရင် အဲ့ဒီဒေါင်လိုက်  မျဉ်းတွေနဲ့  h(x) ရဲ့ Curve တွေဖြတ်သွားတဲ့ Point တွေကိုဖန်တီးပါမယ်။

ဖြတ်မှတ်ကို ဘယ်လိုရယူရမလဲဆိုတော့ အောက်ပါပုံမှာပြထားတဲ့အတိုင်း Basic Tool ထဲက Intersect ဆိုတဲ့ဟာလေးကိုနှိပ်ပြီး အမှတ် C ကိုဖြတ်တဲ့ ဒေါင်လိုက်မျဉ်းနဲ့ h(x) ကိုတလှည့်စီ ထိ(ထောက် သို့ နှိပ်) ပေးလိုက်ပါ။ အဲ့ဒါဆိုရင် မျဉ်းနှစ်ကြောင်း တခုကိုတခုဖြတ်သွားကြတဲ့ အမှတ် E ပေါ်လာတာတွေ့ရပါလိမ့်မယ်။ D ကိုဖြတ်တဲ့ ဒေါင်လိုက်မျဉ်းနဲ့ h(x) ရဲ့ အနီရောင် Curve ကို တလှည့်စီထိပေးလိုက်မယ်ဆိုရင် နောက်ထပ် ဖြတ်မှတ်တခုဖြစ်တဲ့ F ကိုရပါလိမ့်မယ်။ F ကိုမတွေ့ရရင် Graph ကို ဖုန်း Screen ပေါ်မှာ ဓာတ်ပုံတွေကြည့်တဲ့အခါ ချုံ့ကြည့်သလို လက်နှစ်ချောင်းနဲ့ ချုံ့ကြည့်လိုက်ပါ။

Point F ပါရပြီဆိုရင် Point E နဲ့ F ကို ဖြတ်တဲ့ မျဉ်းရှည်တကြောင်းကို အောက်ပါပုံအတိုင်းဖန်တီးပါမယ်။

ပြီးရင် ရလာတဲ့မျဉ်းရဲ့ Slope ကိုသိရဖို့ Slope Tool ကိုယူပြီး အဲ့ဒီ E နဲ့ F ကိုဖြတ်သွားတဲ့ မျဉ်းပေါ် ထောက်၊ ထိ၊ ဖိ၊ နှိပ်၊ လိုက်ပါ။ အဲ့ဒီအခါကျရင် ပုံမှာပြထားတဲ့အတိုင်း m ဆိုပြီး Slope တန်ဖိုးကိုမြင်ရမှာဖြစ်ပါတယ်။ ဒီပုံထဲမှာတော့ m2=7.05 ဆိုပြီးတွေ့ရမှာဖြစ်ပါတယ်။ အဲ့ဒီလို့ အဖြေ 7.05 မရလို့လည်းစိတ်မပူပါနဲ့။ အဖြေတွေက ထောက်မိတဲ့နေရာတွေကွာရင် တယောက်နဲ့တယောက်မတူနိုင်လို့ပါ။

ပြီးရင်အောက်ပုံမှာပြထားတဲ့အတိုင်း Slider l ကို လျှောက် ကလိကြည့်ပါ။ Slider l ရဲ့တန်ဖိုးပြောင်းတာနဲ့အမျှ Slope တန်ဖိုးပြောင်းတာကိုတွေ့ရပါလိမ့်မယ်။

အဲ့ဒီလိုကလိကြည့်တဲ့အခါ Point C နဲ့ D ကိုဖြတ်သွားတဲ့မျဉ်းဟာ l တန်ဖိုး 0 ဆီကိုချဉ်းကပ်သွားတာနဲ့အမျှ h(x) ရဲ့မျဉ်းနီပေါ်ကို အမှတ် Point C မှာ ဖြတ်သွားတဲ့ ဝန်းထိမျဉ်း နဲ့တူသွားတာတွေ့ရပါလိမ့်မယ်။ ဒါပေမဲ့ l တန်ဖိုးက လုံးဝ 0 နဲ့ညီသွားရင် အမှတ် D ရော Slope m2 ပျောက်သွားတာကိုတွေ့ရပါလိမ့်မယ်။ ဘာလို့လဲဆိုတော့ C နဲ့ D က လုံးဝထပ်သွားတဲ့အတွက် E နဲ့ F ကလည်းလုံးဝထပ်သွားပြီး m =∆y/∆x=(y(F)-y(E))/(x(F)-x(E)) = 0/0 အနေနဲ့ Undefined ဖြစ်သွားလို့ပါ။

အဲ့ဒီအတွက့်ကြောင့် Calculus မှာ \displaystyle \lim_{\Delta x\rightarrow 0} ဆိုပြီး 0 နဲ့ညီလုညီခင်လေး ဒါပေမဲ့ လုံးဝမညီ ဆိုတဲ့ အနေအထားလေးမှာ တည်းတည်းလေး တည်ဆောက်တွက်ယူရတာဖြစ်ပါတယ်။ အဲ့ဒီလို ကပ်သီးကပ်သပ် ဖြေရှင်းနည်းကို ဖော်ထုတ်ခဲ့တာကတော့ Newton ရဲ့ စကေးကြမ်းမှုပါပဲ။

မျဉ်းက အနီးကပ် h(x) ရဲ့ Curve ကို ဝန်းထိမျဉ်း ပုံစံနဲ့ အနီးကပ်ဖြတ်သွားတဲ့ ပုံကို‌အောက်မှာကြည့်ပါ။

ပုံမှာအတိုင်း E နဲ့ F ဟာထပ်လုထပ်ခင်ဖြစ်သွားတဲ့အခါ သူတို့နှစ်ခုကိုထပ်သွားတဲ့အခါ ဝန်းထိမျဉ်းတခုလိုဖြစ်သွားတာတွေ့ရပါလိမ့်မယ်။

Point C ကို နေရာတွေလျှောက်ရွှေ့ပြီး l တန်ဖိုးကို 0 နား ကပ်နိုင်သမျှ လိုက်ကပ်ကြည့်မယ်ဆိုရင် Slope တန်ဖိုးတွေကလည်း အမျိုးမျိုးဖြစ်နေတာတွေ့ရပါလိမ့်မယ်။ ဥပမာ C ကို x ဝင်ရိုးပေါ်က 1 တည့်တည့်မှာထားပြီး ညှိကြည့်လို့ရလာတဲ့ m တန်ဖိုးနဲ့ C ကို 2 တည့်တည့်မှာထားပြီး ရလာတဲ့ m တန်ဖိုးကိုယှဉ်ကြည့်ပါ။ ကျွန်တော်ကြည့်ကြည့်တာတော့ 2.01 နဲ့ 4.01 ဆိုပြီးအသီးသီးရပါတယ်။

ဆက်ပြီး Point C ကို x ဝင်ရိုးပေါ်က 3,4,5,6 အစရှိတဲ့အမှတ်တွေပေါ်မှာ ချကြည့်ပြီး m တန်ဖိုးတွေ ဘယ်လောက်ရလဲလျှောက်ကလိကြည့်ပါ။ အဲ့ဒီလို m တန်ဖိုးတွေလျှောက်ရှာတာကို Differentiate လုပ်တယ်လို့ခေါ်တာပါ။

တိတိကျကျပြောရရင်တော့ function h(x) ကို x ဝင်ရိုးတလျှောက် Differentiate လုပ်ခြင်းပါပဲ။

ကျွန်တော်ကတော့ ပျင်းလို့ Input Panel မှာ h'(x) လို့ရေးလိုက်ပြီး Enter ခေါက်လိုက်ပါမယ်။ အဲ့ဒီလိုရေးလိုက်ရင်အောက်မှာမြင်ရတဲ့အတိုင်း function အသစ် h'(x) ကိုမြင်ရမှာဖြစ်ပါတယ်။ သင်္ချာဆက်သွယ်မှုအရကတော့ \displaystyle h'(x) = \frac{d}{dx} (h(x)) ဖြစ်ပါတယ်။

GeoGebra မှာ Function တွေရဲ့  တန်ဖိုးတွေကို ဇယားနဲ့ကြည့်လို့ရပါတယ်။ ဇယားကိုတော့ အောက်မှာပြထားတဲ့အတိုင်းဖော်ကြည့်နိုင်ပါတယ်။

ပြီးသွားရင်အောက်ကအတိုင်းတွေ့ရပါလိမ့်မယ်။

Calculus အခြေခံနဲ့ပတ်သက်လို့တော့ ဒီလောက်ပါပဲ။ တခါတည်း GeoGebra အသုံးပြုနည်းကိုပါ တီးမိခေါက်မိရှိသွားမယ်လို့ထင်ပါတယ်။

Yar Wynn Ooe

ဆက်လက်ဖတ်ရှုရန် – အလွတ် ပြုတ်ကျခြင်း (free fall)