အရှေ့မှာ ရှိတ်ခြင်းကို လက်တွေ့နည်းနဲ့ ရှုမြင်တဲ့အကြောင်း ရှင်းပြခဲ့ပြီး ဖြစ်ပါတယ်။ အခု ရှိတ်ခြင်းကို ဂျီသြမေတြီ (Geometry) လို့ ခေါ်တဲ့ ကိန်းမျဥ်းများ၊ ဝင်ရိုးများ၊ ဂရပ်များ အသုံးပြုပြီး ရှုမြင်ကြည့်ပါမယ်။ ဒီနည်းလမ်းက ပိုပြီးတော့ သင်္ချာဆန်ကောင်း ဆန်နေနိုင်ပါတယ်။ ဒါပေမယ့် ကျွန်ုပ်တို့ သိထားခဲ့ကြတဲ့ “ပါဝါရှေ့ချ၊ ဘေ့စ်ကိုပြန်ရေး၊ ပါဝါထဲက တစ်နုတ်” ဆိုတဲ့ ရှိတ်ခြင်းပုံသေနည်းလေးဟာ ဂျီသြမေတြီနည်းနဲ့ ရှုမြင်ကြည့်ရာကနေ ထွက်ပေါ်လာတာပါ။ ကဲ အသေးစိတ်တွက်ထုတ်ပုံလေးကို စာရေးသူနဲ့ အတူတူ လေ့လာလိုက်ကြပါစို့။ ရှုပ်သွားမှာစိုးလို့ တွက်ထုတ်ပုံနဲ့ ယူဆပုံဆိုင်ရာ နည်းစနစ်များကို အဆင့်တစ်ဆင့်ချင်းစီ သရုပ်ဖော်ပုံလေးတွေနဲ့ တွဲဖက်ပြီး ဖော်ပြပေးထားပါတယ်။

ဖန်ရှင်ဆက်သွယ်ချက်ကို XY ပြင်ညီမှာပြထားပုံ
ပုံ ၁။ ဖန်ရှင်ဆက်သွယ်ချက်ကို XY ပြင်ညီမှာပြထားပုံ

ပထဆုံး y = f(x) ဆိုတဲ့ ဖန်ရှင်ဆက်သွယ်ချက်လေးတစ်ခုရှိတယ် ဆိုပါစို့။ သူ့ကို X ဝင်ရိုးနဲ့ Y ဝင်ရိုးရှိတဲ့ ကိန်းမျဥ်းလေး ပေါ်မှာ ဂရပ်အနေနဲ့ ဆွဲလိုက်မယ်။ ‌‌‌ဘေးက ပုံလေးနဲ့ တွဲပြီး ကြည့်နော်။ အဲဒီ y = f(x) ကိန်းမျဥ်းလေးပေါ်မှာ P အမှတ်လေးရှိပါတယ်။ ပြောရရင် အဆိုပါ P အမှတ်လေးဟာ ကျွန်တော်တို့ စိတ်ဝင်စားတဲ့ (တစ်နည်းအားဖြင့် တွက်ချက်မှုများ ပြုလုပ်လိုတဲ့) အမှတ်ကလေးပါ။ အမှတ်ကလေးရဲ့ တည်နေရာကိုတော့ XY ပြင်ညီပေါ်မှာရှိတဲ့ နေရာတစ်နေရာ ပေးလိုက်ပါမယ်။ (x,y) လို့ ယေဘုယျသဘောနဲ့ ရေးပါမယ်။ ဆိုလိုတာက x တန်ဖိုး၊ y တန်ဖိုး (အပေါင်းအနုတ် စသဖြင့်) ကြိုက်ရာ အစားသွင်းနိုင်ပါတယ်။ XY ပြင်ညီပေါ်မှာ ရှိချင်တဲ့ နေရာမှာ ရှိနိုင်တဲ့ သဘောပါ။ ဒီအထိတော့ နားလည်ကြမယ် ထင်ပါတယ်။

ဒီနေရာမှာ ပြောင်းလဲခြင်းရဲ့ အဓိပ္ပာယ်လေးကို ပြန်စဥ်းစားကြည့်ရအောင်။ x နဲ့လိုက်၍ y ရဲ့ ပြောင်းလဲခြင်းဆိုတာ တကယ်တော့ အဆိုပါဖန်ရှင် ရဲ့ လျှောစောက်ပါ။ အဲ တစ်ခုရှိတာက ကျွန်ုပ်တို့ဟာ မျဥ်းဖြောင့်ပေါ်မှာရှိတဲ့ လျှောစောက်ကို အလွယ်တကူ တွက်နိုင်ကြပါတယ်။ ဒါပေမယ့် ပုံ ၁ မှာ ပေးထားတဲ့ ဖန်ရှင်က မျဥ်းဖြောင့်မဟုတ်ဘူး ဖြစ်နေတယ်။ ဒါနဲ့ မျဥ်းဖြောင့်ရဲ့ လျှောစောက်ကို တွက်ပုံတွက်နည်းလေး ပြန်မှတ်မိသွားအောင် ပုံ ၂ မှာ ပြထားပါတယ်။

ပုံ ၂။ မျဥ်းဖြောင့်ရဲ့ လျှောစောက် တွက်ပုံတွက်နည်း
ပုံ ၂။ မျဥ်းဖြောင့်ရဲ့ လျှောစောက် တွက်ပုံတွက်နည်း

မျဥ်းဖြောင့်မှာ လျှော‌စောက်ရှာတဲ့အခါ ပေးထားတဲ့ (x0, y0) အမှတ်နဲ့ (x,y) အမှတ်ကို အဆိုပါမျဥ်းဖြောင့်ပေါ်က ကြိုက်ရာအမှတ်ကို ထောက်ပြီးတွက်၊ ရလာမယ့် အဖြေက အတူတူပဲဖြစ်ပါတယ်။ ဒီအထိ ရှိတ်ခြင်းက အရေးမကြီးသေးပါ။ အဲ ပုံ ၁ ကလိုမျိုး မျဥ်းကွေးကွေးကြီးကို တွက်ချင်တော့ ပြဿနာက တက်ရော။ စာရေးသူတို့ ခေတ်မှာသာ အကုန်လုံးကို အလွယ်ရနေတော့ သိပ်မခက်ဘူး ထင်ရတာ။ နယူတန်တို့ခေတ်တုန်းကတော့ ၎င်းပုစ္ဆာမျိုးကို ဖြေရှင်းပေးနိုင်မယ့် Calculus သင်္ချာမှမရှိသေးတာ။ ဒီတော့ လက ကမ္ဘာကို ပတ်တာတို့၊ Projectile အရွေ့တို့၊ ပန်းသီးကြွေကျတာတို့ စသည်စသည်များကို သင်္ချာနည်းနဲ့ ဖော်ပြဖို့ရာမှာ အင်မတန်ခက်ခဲပါတယ်။ သိမှမသိကြသေးတာကိုး။ ထားပါတော့ သမိုင်းကိစ္စတွေ။ လောလောဆယ် အဆိုပါ ပုစ္ဆာကို နယူတန်က ဘယ်လိုဖြေရှင်းခဲ့သလဲ ဆက်ကြည့်ရအောင်။

နယူတန်ကပြောတယ်။ ကျွန်ုပ်တို့ဟာ မျဥ်းကွေး (Parabola) အတွက် ပြောင်းလဲခြင်းကို လိုချင်ရင် လိုချင်တဲ့ နေရာကို အမှတ်လေးမှတ်၊ ထိုအမှတ်နေရာမှာ ဝန်းထိမျဥ်းလေးဆွဲ၊ ၎င်းဝန်းထိမျဥ်းရဲ့ လျှောစောက်ဟာ အဆိုပါဖန်ရှင်မျဥ်းရဲ့ ပြောင်းလဲခြင်း (Derivative) ဖြစ်ပါတယ် တဲ့။ ရှုပ်ကုန်ပြီလား။ မရှုပ်သေးနဲ့ဦးဗျ။ ခုမှ စနေတုန်းရှိသေး။ ပုံ ၃ ကို ကြည့်ကြည့်။ ဝန်းထိမျဥ်းရဲ့ လျှောစောက် ဆိုတာကို မျဥ်းအပြာရောင်လေးနဲ့ ပြထားပါတယ်။

ပုံ ၃။ ဝန်းထိမျဥ်းရဲ့ လျှောစောက်
ပုံ ၃။ ဝန်းထိမျဥ်းရဲ့ လျှောစောက်

ဒါနဲ့လည်း အဖြေက မရသေးဘူး။ ဘာလို့ဆို ခုနတုန်းက ပုံ ၂ တုန်းကလို အမှတ် ၂ ခု ယူလို့မရဘူးဖြစ်နေတယ်။ လျှောစောက်ကို ဆွဲချင်သလို ဆွဲပြီး ထောက်ချင်တဲ့ အမှတ်တွေထောက်လို့ တွက်ချင်သလိုသာ လျှောက်တွက်ရင် ရချင်တဲ့အဖြေတွေ ရနေမှာပေါ့နော့ 😅။ ဒါမဖြစ်ချေဘူး။ ဒီတော့ နယူတန်က စဥ်းစားတယ်။ အကယ်၍ ဝန်းထိမျဥ်းမဟုတ်ပဲ ဝန်းဖြတ်မျဥ်းကို အသုံးပြုမလား။ ဘာလို့ဆို ဝန်းဖြတ်မျဥ်းရဲ့ လျှောစောက်ကို တွက်ရတာလွယ်တာကိုး။ ကဲ ဝန်းဖြတ်မျဥ်းရဲ့ လျှောစောက်ဆိုတာ ဘာလဲ သိရအောင် ပုံ ၄ မှာ ပြထားပေးပါတယ်။ အဝန်းကို ဖြတ်တဲ့မျဥ်း (တစ်နည်းအားဖြင့်) ဖန်ရှင်ကိန်းမျဥ်းကို ဖြတ်နေတဲ့မျဥ်း ဖြစ်တာကြောင့် ဖြတ်မှတ်ထိရာ နောက်ထပ်အမှတ်တစ်ခုလိုလာပါတယ်။ ၎င်းကို ပုံ ၄ မှာ Q နဲ့ ပြထားပါတယ်။ Q(x1 , y1) ဆိုပါတော့။ မျဥ်းအနီလေးနဲ့ ပြထားပေးပါတယ်။

ပုံ ၄။ ဝန်းဖြတ်မျဥ်းရဲ့ လျှော‌စောက်
ပုံ ၄။ ဝန်းဖြတ်မျဥ်းရဲ့ လျှော‌စောက်

ပုံ ၄ မှာပြထားတဲ့ PQ မျဥ်းရဲ့ လျှောစောက်က စာရေးသူတို့သိထားတဲ့ မျဥ်းဖြောင့်ရဲ့ လျှောစောက်နဲ့ အတူတူပဲ ဖြစ်နေတာကို တွေ့ရမှာပါ။ ဒါကြောင့်မို့ ပုံ ၂ မှာပေးထားတဲ့ ပုံသေနည်းလေးကိုသုံးပြီး အလွယ်တကူပဲ တွက်ယူနိုင်ပါတယ်။

PQ ရဲ့ လျှောစောက် = \frac{\Delta Y}{\Delta X} = \frac{y_1 - y}{x_1 - x}

**** အရမ်းအရေးကြီးတဲ့ အပိုင်း အခုမှ လာပါပြီ။ မျက်တောင်မခတ်တမ်း ဖတ်ကြကုန်။

နယူတန်က စဥ်းစားတယ်။ အကယ်၍သာ Q ကို ဖန်ရှင်မျဥ်း f(x) တစ်လျှောက် ရွေ့သွားကြည့်မယ်။ ပုံ ၅ နဲ့ တွဲပြီးကြည့်ပေးပါ။ gif လေး လုပ်ပေးထားလို့ animation လေးသွားနေတာကို မြင်ရနိုင်ပါတယ်။

ပုံ ၅။ Q အမှတ်မှ P အမှတ်ရှိရာသို့ ရွေ့လာပုံ
ပုံ ၅။ Q အမှတ်မှ P အမှတ်ရှိရာသို့ ရွေ့လာပုံ

ပုံ ၅ မှာ Q အမှတ်လေးဟာ တဖြည်းဖြည်းချင်း P အမှတ်ရှိရာကို ပြေးပြီးလာနေပါတယ်။ ပုံကို သေချာလေ့လာကြည့်လိုက်တဲ့အခါမှာ Q ဟာ P နဲ့ ပိုပိုနီးလာတိုင်း P နဲ့ Q ကြားထဲက X ပြောင်းလဲခြင်းတန်ဖိုး (ΔX) ဟာလည်း ပိုပြီးနည်းလာတာကို တွေ့မြင်ရမှာပါ။ နောက်ဆုံး Q အမှတ်နဲ့ P အမှတ်တစ်ထပ်တည်းနီးပါး ဖြစ်သွားတဲ့အချိန်မှာ ΔX ရဲ့ တန်ဖိုးမှာ မပြောပလောက်အောင် နည်းပါးသွားပါပြီ။ တစ်ခုသတိထားရမှာက လျှောစောက်ပုံသေနည်းမှာ ΔX ဟာ ပိုင်းခြေနေရာမှာရှိနေပါတယ်။ ဒါကြောင့် ΔX ဟာ နည်းတော့နည်းလာပေမယ့် သုညဖြစ်လို့မရပါ။ ဒါကို သင်္ချာမှာ Limit ကန့်သတ်ချက်သဘောတရားတွေကို အသုံးပြုပြီး ဖော်ပြပါတယ်။ ကန့်သတ်ချက်အကြောင်းကို လှပသော သင်္ချာညီမျှခြင်းလေး (အပိုင်း ၁) မှာ စာရေးသူ ရှင်းပြခဲ့ပါတယ်။ ပြန်သွားဖတ်ချင်တဲ့သူများ အောက်ပါလင့်ခ်ကို နှိပ်ပါ။

လှပသော သင်္ချာညီမျှခြင်းလေး (အပိုင်း ၁)

သင်္ချာစကားနဲ့ ဖော်ပြရရင် Q အမှတ်သည် P အမှတ်သို့ ချဥ်းကပ်လေလေ ΔX တန်ဖိုးဟာလည်း သုညသို့ ချဥ်းကပ်လေလေပါ။ ထို့နည်းတူစွာ ဝန်းဖြတ်မျဥ်းရဲ့ လျှောစောက်ဟာလည်း ဝန်းထိမျဥ်းရဲ့ လျှောစောက်တန်ဖိုးသို့ ချဥ်းကပ်လာလေလေပါ။ ပုံ ၅ ကို နောက်တစ်ခေါက်ထပ်ကြည့်လိုက်ပါ။ P နဲ့ Q နဲ့ ပူးကပ်သွားတဲ့ အခြေအနေတစ်ခု‌ရောက်သွားတဲ့အခါမှာ မျဥ်းအနီနဲ့ မျဥ်းအပြာ တစ်ထပ်တည်းနီးပါး ဖြစ်မသွားဘူးလား။ ဒါကို သင်္ချာမှာ Limit ဖော်ပြချက်နဲ့ အောက်ပါအတိုင်း ‌ရေးသားနိုင်ပါတယ်။

ဝန်းထိမျဥ်းရဲ့ လျှောစောက် = \lim\limits_{ \Delta X \to 0 }{ \frac{ \Delta Y }{ \Delta X } } = \lim\limits_{ \Delta X \to 0}{ \frac{ y_1 - y }{ \Delta X } }

Q(x1 , y1) ကို ဆောင်းပါးအစပိုင်းတုန်းက ဖော်ပြခဲ့တဲ့ ဖန်ရှင်ပုံသေနည်းလေးနဲ့ ဒီလို ပြန်ရေးလို့ရပါတယ်။ တစ်ခါ y ဆိုသည်မှာ f(x) နဲ့ ညီတာကြောင့် ညီမျှခြင်းရဲ့ သဘောသဘာဝအရ

x_1 = x +\Delta X

y_1 =f(x_1)=f(x+\Delta X)

ဆိုပြီး ရေးလို့ ရပါတယ်။ ဖန်ရှင်ဆက်သွယ်ချက် အစားသွင်းတာပါ (ဆယ်တန်းသင်္ချာ အခန်း ၁)။ နောက်ဆုံး ΔY ကိုလည်း ဖန်ရှင်ဆက်သွယ်ချက်ပုံစံဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း ပြန်ရေးလို့ရပါတယ်။

\Delta Y=y_1 - y = f(x+\Delta X) - f(x)

အဆိုပါပုံသေနည်း ΔY ကို ဝန်းထိမျဥ်းရဲ့ လျှောစောက်ပုံသေနည်းမှာ ပြန်အစားသွင်းပါက ရှိတ်ခြင်းရဲ့ ပုံသေနည်းကို ရရှိပါသည်။ ၎င်းကို ရှိတ်ခြင်းရဲ့ စဦးစည်းမျဥ်း Differentiation from First Principles ဟုခေါ်ဆိုပါတယ်။

\frac{dy}{dx} = \lim\limits_{ \Delta X \to 0}{\frac{ f(x+\Delta X) - f(x) }{ \Delta X }}

မှတ်ချက်။ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} f(x) = f^\prime (x) = y^\prime = \dot{f}(x) = \dot{y}

ဖတ်ရှုအားပေးတဲ့အတွက် ကျေးဇူးအထူးတင်ပါတယ်။ မရှင်းတာရှိနေသေးရင် Comment သို့မဟုတ် Messenger မှတစ်ဆင့် ဆက်သွယ်မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။

မေတ္တာဖြင့်

#yp