အရင်တုန်းက ရှိတ်တဲ့ အကြောင်းတွေ ရေးဖြစ်ခဲ့ပေမယ့် integration အကြောင်းကိုတော့ မပြောဖြစ်ခဲ့ဘူး။ အခု အခြေခံသဘောတရားလေးတွေ နည်းနည်းလောက် ပြောပြချင်ပါတယ်။ ခေါင်းထဲပေါ်လာသလို ရေးမှာ ပြောမှာဖြစ်လို့ အမှားပါသွားခဲ့ရင် ဝေဖန်ထောက်ပြနိုင်ပါတယ်။

What is integration?

Integration ဆိုတာ ဘာလဲ အရင်စပြောပါမယ်။ တိုက်ရိုက်ဘာသာပြန်ရင် ‘ပေါင်းစည်းခြင်း’ လို့ အဓိပ္ပာယ်ထွက်တယ်။ မြန်မာစကားနဲ့တော့ ‘ရိတ်’ ဆိုပြီး အလွယ်ခေါ်ကြတယ် (ဘယ်သူက စပြီး အဲ့လိုခေါ်ခဲ့သလဲတော့ မသိပါ)။ ‘ရှိတ်’ ဆိုရင် differentiate ၊ ‘ရိတ်’ ဆိုရင် integrate ပေါ့။ အဲ့လိုမျိုး အင်္ဂလိပ်စာလုံးရဲ့ နောက်ဆုံးအသံထွက်အတိုင်း ပြန်ခေါ်ကြပုံရပါတယ်။ ကဲ ဒါဆို ဟုတ်ပြီ။ သူတို့နှစ်ခု ဘာကွာသလဲ။ စာရေးသူကတော့ အပေါ်တက်တာနဲ့ အောက်ဆင်းတာ ကွာသလိုပဲ ကွာတယ်လို့ ပြောချင်ပါတယ်။ ဆိုပါတော့ ဖန်ရှင်ဆက်သွယ်ချက်တစ်ခုရှိတယ် … f(x) ပဲ ထားဗျာ။ f(x) ရဲ့ x နဲ့ လိုက်ပြီး ပြောင်းလဲခြင်းဆိုရင် differentiate ပါ။ သင်္ကေတအားဖြင့် \displaystyle \frac{df(x)}{dx} ဆိုပြီးရေးတယ်။ ဒါ ဆယ်တန်းကတည်းက အများသိပြီးသား။ အဆင့် (order) တစ်ဆင့် ပြောင်းသွားတယ်ပေါ့။ ဥပမာ displacement ကို အချိန်နဲ့ ရှိတ်တဲ့အခါ velocity ကို ရတယ်။ Velocity ကို အချိန်နဲ့ ထပ်ရှိတ်တော့ acceleration ၊ ဟော displacement ကနေ ပြန်ဆက်စပ်ကြည့်တော့ displacement ရဲ့ အချိန်နဲ့လိုက်ပြီး နှစ်ခါ‌ပြောင်းလဲခြင်းဟာ acceleration ဖြစ်တယ်ဆိုပြီး နားလည်ကြည့်နိုင်တယ်။ တစ်ချို့က ဂဏန်းတန်ဖိုး တိုးတာ၊ လျော့တာမျိုး ထင်ကြတယ်။ မဟုတ်ဘူးနော်။ တိုးနှုန်း ၊ လျော့နှုန်း ဆိုတဲ့ ‘နှုန်း’ ကိုပြတာပါ။ သင်္ချာသင်္ကေတနဲ့ ပြန်ရေးရင်

\displaystyle \text{Displacement } = s

\displaystyle \text{Velocity } = \frac{ds}{dt} \text{(or) } \dot{s}

\displaystyle \text{Acceleration } = \frac{d^2s}{dt^2} \text{(or) } \ddot{s}

ကဲ f(x) လေးကို x နဲ့လိုက်ပြီး ရိတ် လိုက်ရင်ကော ဘာဖြစ်သွားမလဲ။ သင်္ကေတအားဖြင့် \displaystyle \int{f(x) dx} လို့ရေးတယ်။ ဆိုတော့ f(x) နဲ့ dx နဲ့ မြှောက်ထားတာ အမှန်က။ အရှေ့က သင်္ကေတ ဖြစ်တဲ့ \displaystyle \int လေးက S ကို ရှည်ရှည်မျောမျောရေးထားတာ။ ၁၆၇၅ ခုနှစ်တုန်းက ဂျာမန်သင်္ချာပညာရှင် လိုက်ဘနိစ် ကနေ စပြီးမိတ်ဆက်ပေးခဲ့တာ။ နယူတန်ရဲ့ ရေးပုံရေးနည်းက သတ်သတ်ရှိသေးတယ်။ ရှိတ်တာနဲ့ ရောနိုင်လို့ လိုက်ဘနိစ် ရေးတဲ့ပုံကိုပဲ အားလုံးနီးပါးက လိုက်ရေးကြတာ ဒီနေ့အထိပဲ။ အဓိပ္ပာယ်က summation (ပေါင်းလဒ်) ပေါ့။ ဒါဆို \displaystyle \int{f(x) dx} ဆိုတာ f(x) နဲ့ dx နဲ့ မြှောက်လို့ရတာတွေ အားလုံးကို ပြန်ပေါင်းထားတာလို့ မြင်ကြည့်လို့ရပါတယ်။ ဒီနေရာမှာ dx ဆိုတာ ကိန်းရှင် x ရဲ့ အလွန့်အလွန်သေးငယ်တဲ့ အပိုင်းလေးတစ်ခုလို့ နားလည်ကြည့်လို့ရပါတယ်။

ကဲ differentiate ဖော်မြူလာနဲ့ ပြန်နှိုင်းယှဥ်ကြည့်ရအောင်။

Differentiate: \displaystyle \frac{df(x)}{dx}

Integrate: \displaystyle \int{f(x) dx}

ဘာကွာတာတွေ့ရလဲ။ ရှိတ် ပုံသေနည်းမှာ dx က f(x) အောက်ကနေ ပြန်စားထားတယ်။ ရိတ် ပုံသေနည်းမှာကျတော့ မြှောက်ထားတယ်။ ဟုတ်ပြီနော်။ ဒါကို ကြည့်ခြင်းအားဖြင့် ရှိတ် နဲ့ ရိတ် တို့ဟာ order အဆင့်ပြောင်းအောင်လုပ်ပေးနိုင်တဲ့ operator တွေဆိုတာ ထင်ရှားတယ်။ ဒါပေမယ့် သူတို့နှစ်ခုက တစ်ခုနဲ့တစ်ခု ဖြောင့်ဖြောင့်ကြီး ဆန့်ကျင်နေတယ်ဗျာ။ ဆိုလိုတာကတော့ ‘ရှိတ်ခြင်း’ ကအပေါ်ကိုတက်စေရင် ‘ရိတ်ခြင်း’ ကအောက်ကို ဆင်းစေမှာဖြစ်တယ်။ လုပ်ဆောင်ပုံခြင်း ဆန့်ကျင်နေတာကို ဥပမာပြတာပါ။

ကဲ မြင်သာသွားအောင် ခုနက motion မှာသုံးတဲ့ ဥပမာတွေနဲ့ ပြပါမယ်။ ဒီတစ်ခါ acceleration ကနေ စပြောမယ်။ acceleration (အရှိန်) ကို အချိန်နဲ့လိုက်ပြီး ‘ရိတ်’ တဲ့အခါ velocity ကို ရတယ်။ velocity ကို အချိန်နဲ့ လိုက်ပြီး ထပ် ‘ရိတ်’ ရင် displacement ကို ရတယ်။ ဟော acceleration ကနေ dt နဲ့ နှစ်ခါတန်း ‘ရိတ်’ ရင်လည်း displacement ကို ရနိုင်ပါတယ်။  သင်္ချာနည်းအရ

\displaystyle \text{Acceleration } = a

\displaystyle \text{Velocity } = \int{a} dt

\displaystyle \text{Displacement } = \iint{a} dt

ဒါလောက်ဆို သဘောတရားအရ အနည်းငယ် မြင်သွားပြီ ထင်ပါတယ်။ ပိုသဘောပေါက်သွားအောင် တွက်နည်း ဥပမာလေး တစ်ချက်ကြည့်ရအောင်။

f(x) = x2 + 5 ကို x နဲ့လိုက်ပြီး differentiate (ရှိတ်) ရင် df(x)/dx = 2x ရတယ်။

ရှင်းလင်းချက်။  ။ “power ရှေ့ချ base ကို ပြန်ရေး power ထဲက တစ်နုတ်” ဆိုပြီး တွက်တယ်။ 5 က ကိန်းသေဖြစ်လို့ ကိန်းသေကို ရှိတ်ရင် အဖြေ သုညရတယ် (ဘာလို့လဲ။ ကိန်းသေပါဆိုမှ ပြောင်းလဲခြင်း ရှိပါ့မလား။ ဒါကြောင့် အဖြေ သုည)။ အရှေ့က x2 ကတော့ 2x ဖြစ်သွားတယ်။

ရှိတ် နဲ့ ရိတ် တို့ဟာ တစ်ခုနဲ့တစ်ခု အပေါ်ကနေ အောက်ဆင်းသလို၊ အောက်ကနေ အပေါ်တက်သလို ပြောင်းလို့ရတယ်။ ဒီတော့ ခုနက ရတဲ့အဖြေ 2x ကို သာ ‘ရိတ်’ လိုက်ရင် အဖြေ x2 + 5 ပြန်ရရမယ်။ ကဲ ရလား မရဘူးလား တွက်ကြည့်ရအောင်။

\displaystyle \int{2x dx} ကို တွက်ချင်တယ်ဆိုရင် အောက်ပါ ပုံသေနည်း (သဘောလေး) ကို မှတ်ထားရမယ်။

“ပါဝါတစ်တိုး ပါဝါနဲ့ပြန်စား (C ထည့်ပေါင်းပေး)”

မှတ်ချက်။ လွယ်အောင်လို့ မှတ်ခိုင်းတာနော်။ ကဲကုလပ်စ် အခြေခံသီအိုရမ်အရ ပြန်တွက်ထုတ်ကြည့်လို့လည်း ရပါတယ်။ ရှုပ်ကုန်မှာစိုးလို့ မလိုသေးဘူးလည်း ထင်တာနဲ့ ကျော်ထားတာပါ။

\displaystyle \int{2x} dx = 2 \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{2x^2}{2} = x^2

ရှင်းလင်းချက်။   ။ ရှေ့က 2 က မြှောက်ဖော်ကိန်းဆိုတော့ ဒီတိုင်းပြန်ရေးပါတယ်။ x ရဲ့ ပါဝါက 1 ကို 1 ထပ်ပြီးတိုးလိုက်တော့ 2 ရတယ်။ ရတဲ့ ပါဝါ 2 နဲ့ ပြန်စားပေးရတယ်။ ဒီတော့ မြှောက်ဖော်ကိန်း 2 နဲ့ ကြေသွားရော။ ဒါ့ကြောင့် အဖြေ x2 ရပါတယ်။ ဒါနဲ့ နေပါဦးဟ တစ်ခုခုလွဲနေတယ် မထင်ဘူးလား။

Fundamental theorem of calculus မှာ ပြောထားချက်အရ မူလ function ကို ရှိတ်လို့ရတဲ့အဖြေကို ပြန်ရိတ်ရင် မူလ function ပြန်ရရပါမယ်။ ပြောချင်တာက

\displaystyle \int{\frac{df(x)}{dx}} dx = \frac{d}{dx} \int{f(x)} dx = f(x)

ရရပါမယ်။

ခုနက ဥပမာထဲက f(x) = x2 + 5 ကို ‘ရှိတ်’ လိုက်ရင် 2 x

တစ်ခါ 2 x ကို ပြန် ‘ရိတ်’ လိုက်ရင် x2 ပြန်ရတယ်။ ဟုတ်တယ်နော်။ ဒါဆို 5 က ဘယ်ရောက်သွားတာတုန်း။

ဘယ်မှမရောက်ပါဘူး။ ခုနက ရိတ်တုန်းက သုညကို ထည့်တွက်ဖို့ကျန်ခဲ့တာပါ။ ဘာလို့ဆို 5 ကို ‘ရှိတ်’ ရင် constant ဖြစ်တဲ့အတွက် သုညရတယ်မဟုတ်လား။ ဒီတော့ သုညကို ပြန် ‘ရိတ်’ ရင် constant ကိန်းသေတစ်ခုပြန်ရသင့်ပါတယ်။ ဆိုလိုတာက

\displaystyle \frac{d}{dx} C = 0

\displaystyle \int{0} dx = C

 5 ပြန်ရမရတော့ မသိပေမယ့် constant ကို ပြန်ထည့်ရေးသင့်ပါတယ်။ ဒါကြောင့်

\displaystyle \int{2x} dx = \int{(2x+0)} dx = \int{2x} dx + \int{0} dx = 2 \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = x^2 + C

အဲ့ဒီမှာ C က ကိန်းသေဂဏန်း ဘာမဆိုဖြစ်နိုင်တာကြောင့် arbitrary constant လို့ခေါ်ပါတယ်။ ဘာလို့ 5 ပြန်မရတာပါလိမ့်။ ပြန်ရပါတယ်။ C ဟာ 5 ကို ကိုယ်စားပြုလို့ရပါတယ်။ 5 စကတည်းက ရမရက စဦးအခြေအနေ (initial condition) နဲ့ သက်ဆိုင်ပါတယ်။ ဥပမာ အမြောက်ဆံရုတ်တရက် ပစ်လွှတ်လိုက်တဲ့အခါမှာ စဦးအလျင်တစ်ခုရှိနေတာမျိုး။ နောက်တစ်ပတ်ကျရင် အခုပြောလိုက်တဲ့ integration တို့ differentiation တို့ကို Free fall နဲ့ ဒြပ်ဆွဲအားအကြောင်း တွက်ထုတ်ပြရင်းနဲ့ လက်တွေ့နယ်ပယ်နဲ့ ချိတ်ဆက်ပြပါမယ်။ အခုလောက်သိထားရင်ပဲ နယူတန်ညီမျှခြင်းကို ဖြေရှင်းလို့ရနေပြီ။ ငယ်ငယ်က (၉ တန်းတုန်းက) ကျက်ခဲ့ရတဲ့ \displaystyle v = v_0 + at တို့ \displaystyle s = v_0 t + \frac{1}{2} at^2 ဆိုတဲ့ ပုံသေနည်းတွေကို နယူတန်ရဲ့ F = ma ညီမျှခြင်းကနေ သာသာယာယာ ပြန်တွက်ထုတ်ပြလို့ရပါတယ်။

Integral အမျိုးအစားများ

လက်တွေ့မှာ သုံးနေကြတာတော့ အများကြီးရှိပါတယ်။ အရေးကြီးတာလေးကို ကွက်ပြောရရင်တော့ definite integral (နယ်ပယ်အတိအကျသတ်မှတ်ထားသော ပေါင်းစည်းခြင်း) နဲ့ indefinite integral (နယ်ပယ်သတ်မှတ်ထားချက်မရှိသော ပေါင်းစည်းခြင်း) ဆိုပြီး နှစ်မျိုးပြန်ခွဲမြင်ရမယ်။

Indefinite integral ဆိုတာက အပေါ်မှာ ဥပမာပြခဲ့တာ။ ပါဝါတစ်တိုး ပါဝါနဲ့စား C ပေါင်းပေး ဆိုတာ။ အဲ့ဒါ indefinite integral ရှာတဲ့နည်း။

Definite integral ဆိုတော့ နယ်ပယ်သတ်မှတ်ချက်အတိအကျ ရှိသွားပြီ။ ဆိုလိုတာက စမှတ်တွေ ဆုံးမှတ်တွေပါလာပြီ။ ပုံသေနည်းနဲ့ပြရရင်

\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)

ကို ပြောတာ။ ပုံသေနည်းက အတူတူပဲ။ ဒါပေမယ့် indefinite လိုမျိုး ‘ရိတ်’ ၊ ပြီးသွားရင် ဆုံးမှတ်ထဲက စမှတ်ကို အစားသွင်းပြီး ပြန်နုတ်ပေးရတယ်။ ဆိုပါတော့ ခုနက ဥပမာထဲက 2x  ကို 1 မှ 5 အကြား ‘ရိတ်’ ကြည့်ချင်တယ်။

\displaystyle \int_{1}^{5} 2x dx = \left. x^2 \right]_1^5 = 5^2 - 1^2 = 25 - 1 = 24

ရှင်းလင်းချက်။   ။ အရင် 2x ကို ‘ရိတ်’ လိုက်။ ပြီးရင် ရလာတဲ့ x^2 ကို အပေါ်က ဂဏန်းအစားသွင်းထားတာထဲက အောက်ကဂဏန်းအစားသွင်းထားတာကို ပြန်နုတ်ရင် 24 ရပါတယ်။

မှန်မမှန်ကို ဇယားအသုံးပြုပြီး ချိန်ကိုက်ကြည့်လို့ရတယ်။ အရင်ဆုံး 2x ကို x y ကိန်းမျဥ်း ပေါ်မှာ နေရာချလိုက်။ ပြီးရင် 1 ကနေ 5 ကြားထဲက ကိန်းမျဥ်းအောက်ရှိ ဧရိယာ (ပုံ ၁ နဲ့ တွဲကြည့်ပါ) ABCD ကို တွက်လိုက်ရင် integration ရဲ့ တန်ဖိုးကို ရပါမယ်။

ပုံ ၁။ Integration ကို Area under the curve နဲ့ ဆက်စပ်ပြခြင်း
ပုံ ၁။ Integration ကို Area under the curve နဲ့ ဆက်စပ်ပြခြင်း

Area of ABCD = ½ * အပြိုင်အနားနှစ်ခုပေါင်း * အမြင့် = ½ * (2 + 10) * 4 = 24

အပေါ်က integral ပုံသေနည်းကနေ တွက်လို့ရတာနဲ့ graph ကနေရှာတာ အဖြေချင်း အတူတူပဲ ပြန်ရတာကို တွေ့မြင်ကြရမှာပါ။

နိဂုံးချုပ်အနေနဲ့ပြောလိုတာက ‘ရှိတ်’ ခြင်း လိုပဲ ‘ရိတ်’ ခြင်းဟာ လက်တွေ့နယ်ပယ်မှာ အင်မတန်မှ အသုံးဝင်ပါတယ်။ motion နဲ့ ဆိုင်တဲ့ တွက်ချက်ခြင်းတွေကို ‘ရိတ်’ ခြင်း သုံးပြီး တွက်ထုတ်လို့ရတယ် နောက်တစ်ခါ work done (လုပ်ဆောင်ချက်) ကို တွက်တဲ့အခါမှာ (ဆယ်တန်းမှာ Force က constant ဆိုပြီးပဲ သင်ရတာ) လက်တွေ့မှာ Force က displacement နဲ့ လိုက်ပြီးပြောင်းတော့ ပိုပြီး ယေဘုယျကျတဲ့ ပုံသေနည်း \displaystyle W = \int_0^s F(s) ds ဆိုတဲ့ ပုံစံမျိုးနဲ့ ရေးတယ်။ နောက်တစ်ခါ Area ရှာတာတို့၊ Volume ရှာတာတို့တွေမှာလည်း သုံးတယ်။  Differential equation တွေကို exact solution (အတိအကျတွက်နည်း) နဲ့ ပြန်တွက်ထုတ်တဲ့အခါမျိုး၊ analytical solution (သရုပ်ခွဲအဖြေရှာနည်း) စတာတွေမှာလည်း သုံးတယ်။ တခြားနယ်ပယ်တွေဖြစ်တဲ့ ဖြစ်တန်စွမ်းသိပ်သည်းမှု (probability density) တို့ ဘာညာတွက်တာတွေမှာလည်း သုံးတယ်။ ကဲ ဒီလောက်ဆို integration ဘာလဲ‌၊ ဘယ်နေရာတွေမှာသုံးတာလဲ စသည်ဖြင့် အကြမ်းဖျင်းတော့ သဘောပေါက်လောက်ပြီလို့ ယူဆမိပါတယ်။ မေးခွန်းတွေရှိရင်လည်း မေးထားပါ။ နောက်သိချင်တာ၊ ရေးစေချင်တာလေးတွေရှိရင်လည်း Comment မှာပြောထားပါ။ စာရေးသူ သိတဲ့အကြောင်းအရာဆို အချိန်အားရင် အားသလို ရေးတင်ပေးပါမယ်။

#yp

 

စာကြွင်း

စာရေးသူရဲ့ သူငယ်ချင်းတစ်ယောက်ထောက်ပြချက်အရ ဒီဆောင်းပါးရဲ့ လိုအပ်ချက်လေး အချို့ကို အနည်းငယ်ဖြည့်စွက်ရေးသားလိုပါတယ်။ အမှန်က လက်တွေ့မှာ သုံးမယ့် free fall motion အကြောင်းမတွက်ထုတ်ပြခင် လိုလောက်မယ်ထင်တာလေးကို ကြိုတင်ပြောပြထားတဲ့သဘောပါ။ ရှုပ်မသွားအောင်လို့ဆိုပြီး ချန်လှပ်ထားခဲ့တာ တစ်ချို့ရှိပါတယ်။ ပြဿနာက အရေးကြီးတာတဲ့ အချက်နှစ်ချက်ကိုပါ ကျော်လိုက်သလို ဖြစ်သွားတယ်။ ပထမအချက်က integration လုပ်နည်းကိုပဲပြောပြီး infinitesimal လို့ခေါ်တဲ့ သေးသေးလေးတွေကို ပေါင်းပြီး အကြီးကြီးလိုပြန်ရှာလို့ရတဲ့ integration ရဲ့ main concept ကို ကျော်ထားတာပါ။ အလျင်းသင့်ရင် ပြန်ရေးပေးပါမယ်။ ဒုတိယအချက်က Fundamental theorem of calculus အရ ရှိတ်တာနဲ့ရိတ်တာကို ဆက်စပ်ပြတဲ့ antiderivative အကြောင်းကို သေချာမပြောသွားခဲ့ပါဘူး။ သူ့အကြောင်း သက်သေပြထားချက်ကို Khan Academy မှာ သွားရောက်လေ့လာနိုင်ပါတယ်။