အပိုင်း ၁ ဆောင်းပါးလေးမှာ သဘောတရားကို အဓိကရှင်းပြထားပါတယ်။

ပြန်ဖတ်ရန် – အလိုက်ပြောင်းညီမျှခြင်းများ မိတ်ဆက် (အပိုင်း ၁)

အခုအပိုင်း ၂ မှာတော့ အဖြေရှာပုံရှာနည်းနဲ့ ပတ်သက်ပြီး ဆွေးနွေးပါမယ်။ ညီမျှခြင်းနဲ့ တွက်ချက်ပုံ နမူနာပုစ္ဆာတချို့ပါမှာဆိုတော့ ခဲတံ သို့ ဘောပင် ကိုင်ပြီးလိုက်တွက်ပေးနိုင်ရင် အကောင်းဆုံးပါ။ လွယ်အောင်လို့ ode (ordinary differential equation) ဖြေရှင်းပုံတွေကိုသာ တင်ပြပါမည်။

(ပြောမယ့်သာပြောတာ၊ ဒီတစ်ပုဒ်ကလည်း မိတ်ဆက်လောက်ပဲ တွက်ပြမှာပါ။ တကယ်တတ်တဲ့အထိ သင်ပေးဖို့က အချက် ၂ ချက်ကြောင့် အင်မတန်မှ မလွယ်ဘူးပြောရမယ်။ ပထမအချက်က ညီမျှခြင်းတွေ အရမ်းများတော့ ဖတ်ရတဲ့သူတွေ ပင်ပန်းကြမယ်ဆိုတာ နားလည်ပါတယ်။ ဒါလူတိုင်းဖြစ်တတ်တယ်။ တကယ့်ကို မတတ်သာတော့တဲ့ အချိန်မျိုးရောက်လာမှလာ ဖျစ်ညှစ်စဥ်းစားကြတာ။ လူဆိုတဲ့ အမျိုးကလည်း အချိန်လေးရနေရင် ‘အေးဆေးပါလေ’ ဆိုပြီးဖြစ်တတ်သေးတာကိုး 😅။ ဒုတိယတစ်ချက်ကတော့ တကယ်နားလည်မှုအဆင့် တစ်ခုအထိရောက်အောင်က course တစ်ခုလိုမျိုး အသေအချာ ရှင်းပြနိုင်မှရမှာ။ စာရေးသူကိုယ်တိုင်လည်း သိပ်မအားလပ်တာကြောင့် အဲ့လို ရေးနိုင်ဖို့က အတော်လေးစောင့်ရမယ်။ စိတ်ဝင်စားတဲ့သူတွေက Paul’s Online Math Notes တို့ ၊ EdX တို့ ၊ MIT တို့မှာ ကိုယ့်ဘာသာပြန်လေ့လာကြပါ။ လင့်ခ်ထည့်ပေးထားတယ်။ နားမလည်တာရှိမှ insight မှာ လာပြောပါ၊ မေးပါ။ အဲ့အခါကျလည်း မြန်မာလို ပြန်ဆွေးနွေးကြတာပေါ့ 😁)

OK. လိုရင်းပြန်ကောက်ကြစို့။ အပိုင်း ၁ မှာ သိခဲ့ကြတာက အလိုက်ပြောင်းညီမျှခြင်းတွေမှာ ဖန်ရှင်တွေနဲ့ သူတို့ရဲ့ ပြောင်းလဲခြင်း (derivatives) တွေ ပါဝင်တယ်။ အဲ့ဒီတော့ ဒီညီမျှခြင်းရဲ့ အဖြေက အရင်တုန်းက အယ်ဂျီဘရာမှာ သင်ခဲ့ရသလို ကိန်းဂဏန်းတွေ မဟုတ်ဘူး။ အဖြေဟာ ဖန်ရှင်လိုက်ကြီး ဖြစ်နေတယ်။ မြင်သာအောင် အောက်က ဥပမာပုစ္ဆာကို ကြည့်ပါ။

ဥပမာ ၁

\displaystyle 4x^2 y''+12xy'+3y = 0   ဆိုတဲ့ ညီမျှခြင်းလေးရှိတယ်။

သူရဲ့ အဖြေက \displaystyle y(x) = x^{-\frac{3}{2}}   ပါ။

ဒါနဲ့ နေပါဦး။ \displaystyle y(x) = x^{-\frac{3}{2}} က အဖြေမှန်းဘယ်လိုလုပ်သိတာတုန်း။

ဘယ်လိုမှ မသိနိုင်ပါ။ အဖြေဟုတ်မဟုတ်သိချင်ရင် အဲ့ဒီဖန်ရှင်ကို ပေးထားတဲ့ညီမျှခြင်းထဲမှာ ထည့်ရှင်းကြည့်၊ ဘယ်ဖက်ရော ညာဖက်ရော တူညီတဲ့ အဖြေထွက်မှ ပြေလည်တယ်ခေါ်တာပါ။ ညာဖက်က သုညဆိုတော့ ဘယ်ဖက်က ညီမျှခြင်းတွေမှာ ထည့်ရှင်းရင်လည်း အဖြေသုညရရပါမယ်။ ကဲ အစားသွင်းပြီး ရှင်းကြည့်ရအောင်။ ဒါနဲ့ y’ ဆိုတာ \displaystyle \frac{dy}{dx}

y” ဆိုတာ \displaystyle  \frac{d^2y}{dx^2} ကိုပြောတာပါ။

ဒါကြောင့် သူတို့ နှစ်ကောင်ကို အရင်ရှာရမယ်။ ရှိတ်တဲ့နည်းပြန်မပြောတော့ဘူးနော်၊ try ကြည့်ကြည့်။ အောက်က အဖြေရရပါမယ်။

\displaystyle y'(x) = -\frac{3}{2} x^{-\frac{5}{2}} \quad, \quad y''(x) = \frac{15}{4}x^{-\frac{7}{2}}

ဒါကို ညီမျှခြင်းရဲ့ ဘယ်ဖက်မှာ ပြန်အစားသွင်းလိုက်ရင်

ဆိုပြီး ဘယ်ရောညာရော အဖြေအတူတူ (သုည) ရပါတယ် (ညီမျှခြင်းတွေ ရိုက်ဖို့ပျင်းလို့ လက်နဲ့ချရေးထားတာ။ စိတ်ဝင်စားရင် အတူတူလိုက်တွက်ကြပါ)။ ဒါကို ပေးထားတဲ့ အလိုက်ပြောင်းညီမျှခြင်းရဲ့ အဖြေ (solution) လို့ခေါ်ပါတယ်။ ဒီနေရာမှာ သတိထားစရာလေးတွေ ရှိတယ်။

  • အဖြေ ဖန်ရှင် y(x) ရဲ့ x ဟာ သုညနဲ့ ညီလို့ မရဘူး။ ဘာလို့လဲဆိုတော့ \displaystyle y\left( x \right) = {x^{ - \frac{3}{2}}} = \frac{1}{{\sqrt {{x^3}} }} မှာ x = 0 ဖြစ်ရင် ပိုင်းခြေသုညဖြစ်သွားမယ်။ ဒါကို အဖြေကို define လုပ်လို့မရတော့ဘူး။ ဒါကြောင့် သုညနဲ့ ညီတာကိုရှောင်ရမယ်။
  • နောက်တစ်ချက်က x က အနုတ်ကိန်းဖြစ်လို့ မရပြန်ဘူး။ ဘာလို့ဆို နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းထဲမှာ အနုတ်ပါလာရင် အဖြေမှာ imaginary (ကိန်းတု) တွေပါလာတော့မယ်။ ဖြစ်နိုင်ရင် အဲ့လိုမျိုး complex number တွေရတာကို ‌ရှောင်နိုင်သမျှရှောင်တာ အကောင်းဆုံး။

အထက်က နှစ်ချက်ကို ပြန်ပေါင်းလိုက်တော့ ဖန်ရှင် y(x) ရဲ့ အလွတ်ကိန်းရှင် x မှာ ကန့်သတ်ချက်ကြီး သွားဖြစ်ပါတယ်။ အဲ့ဒါကတော့ x > 0 ပါ။ ဆိုလိုတာ x ဟာ သုညထက်ကြီးသော ကိန်းစစ်တစ်လုံးဖြစ်ရပါတယ်။ ဒါကို interval of the solution ဆိုပြီးခေါ်ပါတယ်။ ”အဖြေက ဘယ်ကနေဘယ်အထိကတော့ဖြင့် မှန်တယ်။ အဲ့ဒါကို ကျော်လို့တော့ မရဘူး” အဲ့သလိုဆိုလိုတာပါ။

ဥပမာ ၁ ကိုပဲ ကောင်းကောင်းကြီးကို ဆက်ပြီး ဝေဖန်ဆန်းစစ်ပါဦးမယ်။ အခုဆက်ပြီး ဆွေးနွေးမှာက uniqueness of the solution အကြောင်းပါ။ အဖြေက တစ်ခုတည်း (unique) မှဖြစ်ရဲ့လား။ ဆိုတော့ ဟုတ်ကဲ့ မဖြစ်ပါဘူး။ ပြောရရင် ပေးထားတဲ့ \displaystyle 4x^2 y''+12xy'+3y = 0   ဆိုတဲ့ ညီမျှခြင်းကို ပြေလည်စေနိုင်တဲ့ နောက်ထပ်ဖန်ရှင်တွေ ရှိနေသေးလို့ပါ။ ဥပမာ အောက်ပါ ဖန်ရှင်တွေကို ကြည့်ပါ။

\displaystyle y\left( x \right) = {x^{ - \frac{1}{2}}}

\displaystyle y\left( x \right) = - 9{x^{ - \frac{3}{2}}}

\displaystyle y\left( x \right) = 7{x^{ - \frac{1}{2}}}

\displaystyle y\left( x \right) = - 9{x^{ - \frac{3}{2}}} + 7{x^{ - \frac{1}{2}}}

အဲ့ဒီ ဖန်ရှင်တွေကို ပေးထားတဲ့ အလိုက်ပြောင်းညီမျှခြင်းလေးထဲမှာ အ‌ပေါ်မှာတွက်ပြထားသလိုမျိုး အစားသွင်းပြီးရှင်းရင် ဘယ်ရော ညာရော အဖြေ သုညရရပါမယ်။ ပြောရရင် သူတို့ကလည်း အဖြေတွေပဲ။ ဒါတင်ပဲလား။ ဘယ်ဟုတ်မှာတုန်း။ တကယ်တော့ ဖြစ်နိုင်တဲ့အဖြေက အနန္တ (infinity) အထိတောင် ရှိတယ်ဆိုပဲ။ ဟာ ဒါမှပြဿနာပဲ။ ဘယ်ဟာက အဖြေတုန်း။ အနန္တရဲ့ သဘောက ဖြစ်ချင်ရာ ဖြစ်နိုင်တယ်ဆိုတဲ့သဘော။ လက်တွေ့မှာ ဟုတ်လို့လား ။ ဥပမာ ဘောလုံးတစ်လုံးကို ကန်ထုတ်ကြည့်လိုက်။ သင်ကန်လိုက်တဲ့ အား၊ direction တို့အပေါ်မူတည်ပြီး ဘောလုံးက သတ်မှတ်လမ်းကြောင်းတစ်ခုတည်းမှာ ရွေ့သွားတယ်။ လေတိုက်တာတွေ ၊ ဘာတွေကို neglect လုပ်လို့ရရင် ဘောလုံးဘယ်နေရာကို ကျမလဲဆိုတာတောင် အတိအကျခန့်မှန်းပြလို့ရပါတယ်။ ဒါဆို အဖြေက infinity ဖြစ်ပုံမရပါ။ တကယ်လည်း infinity မဟုတ်ပါ။ တိတိကျကျကို ထွက်ပါတယ်။ အဲ့ဒီလို အဖြေတိတိကျကျထွက်ဖို့ လိုအပ်တဲ့ အခြေအနေတစ်ခုကို စဦးအခြေအနေ (initial condition) လို့ ခေါ်ပါတယ်။ ဘောလုံးဥပမာမှာဆိုရင် သင်ကန်လိုက်တဲ့ အားနဲ့ ဦးတည်ရာလမ်းကြောင်းတို့က စဦးအခြေအနေတွေပါ။ ဒီလိုစဦးအခြေအနေတွေရှိနေလို့သာ ဘယ်အဖြေက လိုချင်တဲ့အဖြေလည်း ဆိုတာကို တိတိကျကျ ရွေးထုတ်နိုင်လာတာ။ ပြောရရင် အလိုက်ပြောင်းညီမျှခြင်းရဲ့ အဖြေလည်း unique ဖြစ်သွားတယ်လို့ ဆိုရပါမယ်။

စဦးအခြေအနေလည်း သတ်မှတ်လိုက်ရော စောနက တွေ့ကရာ ဖန်ရှင်တွေအကုန်ဟာ solution တွေ မဟုတ်တော့ဘူး။ ဘာလို့လဲဆိုတော့ အဖြေဖန်ရှင်ဆိုတာ စဦးအခြေအနေရော ပေးထားတဲ့ညီမျှခြင်းကိုရော ပြေလည်စေမှသာ အဖြေလို့ခေါ်ပါတယ်။

အဖြေဖန်ရှင်ဆိုတာ စဦးအခြေအနေရော ပေးထားတဲ့ညီမျှခြင်းကိုရော ပြေလည်စေမှသာ အဖြေလို့ခေါ်ပါတယ်။

ဥပမာလေးနဲ့ ပြပါမယ်။

ဆိုပါတော့ ခုနက ပုစ္ဆာမှာ \displaystyle y(x) = x^{-\frac{3}{2}} က \displaystyle 4x^2 y''+12xy'+3y = 0 ညီမျှခြင်းလေးရဲ့ အဖြေဖြစ်တယ်။ စဦးအခြေအနေကတော့

\displaystyle y(4) = \frac{1}{8} နဲ့

\displaystyle y'(4) = -\frac{3}{64}

တို့ဖြစ်ကြတယ်။ ဟုတ်ပြီနော်။ ဘာပိုလာပြီလဲ။ initial condition ပိုလာပြီနော့။ ခုနက တွက်ကြည့်တုန်းက အဆိုပါဖန်ရှင်လေးဟာ အလိုက်ပြောင်းညီမျှခြင်းကို ပြေလည်စေတယ်ဆိုတာကတော့ သိထားတယ်။ စဦးအခြေအနေကို ပြေလည်သလား သိချင်ရင် ပေးထားတဲ့ ဂဏန်းတွေကို ဖန်ရှင်ထဲမှာ အစားသွင်းပြီး တွက်ကြည့်ရမယ်။ တွက်လိုက်တော့

\displaystyle y\left( 4 \right) = {4^{ - \frac{3}{2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 4 }  \right)}^3}}} = \frac{1}{8} 

\displaystyle y'\left( 4 \right) = - \frac{3}{2}{4^{ - \frac{5}{2}}} = - \frac{3}{2}\frac{1}{{{{\left( {\sqrt 4 } \right)}^5}}} = - \frac{3}{{64}}

ဆိုပြီးရပါတယ်။ ပေးထားတဲ့ စဦးအခြေအနေနဲ့ အတူတူပြန်မရဘူးလား။ ဒါကြောင့် \displaystyle y(x) = x^{-\frac{3}{2}} ဟာ ပေးထားတဲ့အလိုက်ပြောင်းညီမျှခြင်းလေးရဲ့ အဖြေဖန်ရှင်ပဲ ဖြစ်ပါတယ်။ ဒီနေရာမှာ တခြားညီမျှခြင်းတွေကျတော့ရော ဘယ်လိုလဲဆိုပြီး သင်တွေးကောင်းတွေးနေနိုင်ပါတယ်။ ချတွက်ကြည့်ပါ။ မပြေလည်တာကို တွေ့ရပါမယ်။ ဟုတ်ပြီနော်။ ဒါက initial condition တွေက အလိုက်ပြောင်းညီမျှခြင်းရဲ့ အဖြေကို ဘယ်လိုလမ်းပြပေးနေသလဲဆိုတာကို ပြောပြတာပါ။ Initial condition ပေးထားတဲ့ အလိုက်ပြောင်းညီမျှခြင်းပုစ္ဆာကို စဦးတန်ဖိုးပုစ္ဆာ (initial value problem) လို့လည်း ခေါ်ပါတယ်။ စဦးအခြေအနေကို ယေဘုယျသဘောအနေနဲ့ အောက်ပါအတိုင်း ပြန်ရေးလို့ရပါတယ်။

\displaystyle y\left( {{x_0}} \right) = {y_0}\hspace{0.25in}{\mbox{and/or }}{y^{\left( k \right)}}\left( {{x_0}} \right) = {y_k}

အထက်ပါညီမျှခြင်းလေးထဲက x0 ဆိုတာ ခုနကပြောတဲ့ ကန့်သတ်ချက်ဘောင်အတွင်းထဲက စဦး x တန်ဖိုးဖြစ်ရပါမယ်။ y0 ဆိုတာက x0 ထည့်ရင် ရမယ့်တန်ဖိုးပါ။ y(k) လေးရဲ့ လက်သည်းကွင်းလေးနဲ့ k လေးက ဘယ်နှစ်ခါရှိတ်ထားသလဲဆိုတာ ပြတာပါ။ သူက ညီမျှခြင်းရဲ့ order (အဆင့်) ပေါ်မူတည်ပါတယ်။ ဥပမာ second order differential equation ဆိုရင် k တန်ဖိုးက ၁ ပါ။ တစ်ခါရှိတ်ပေါ့။ First order ညီမျှခြင်းမှာတော့ အဲ့ဒီညီမျှခြင်းတောင်မလိုပါ။ ဒါ့ကြောင့် (and / or) ဆိုပြီး ရေးထားတာပါ။ ပါချင်လည်း ပါမယ်။ မပါရင်လည်း မပါဘူးလို့ ပြောချင်တာပါ။ အောက်ပါညီမျှခြင်းတွေကို ဥပမာအနေနဲ့ ပေးထားပါတယ်။

\displaystyle 4{x^2}y'' + 12xy' + 3y = 0\hspace{0.25in}y\left( 4 \right) = \frac{1}{8},\,\,\,\,y'\left( 4 \right) = - \frac{3}{{64}}

\displaystyle 2x\,y' + 4y = 3\hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\,y\left( 1 \right) = - 4

ပထမတစ်ကြောင်းက ဒုတိယအဆင့် အလိုက်ပြောင်းညီမျှခြင်း ဖြစ်လို့ စဦးအခြေအနေ နှစ်ခုလိုတယ်။ နောက်တစ်ကြောင်းကတော့ ပထမအဆင့်ညီမျှခြင်းလေးပဲမို့ စဦးအခြေအနေ တစ်ကြောင်းတည်းပဲလိုတာပါ။

ကဲကဲ ဒီလောက်ဆို အတော်လေး သဘောပေါက်သွားလောက်ပြီ ထင်ပါတယ်။ စဦးအခြေအနေအကြောင်းလေး သဘောပေါက်သွားပြီဆိုရင် ပြီးခဲ့တဲ့လက စာရေးသူရဲ့ အလွတ်ပြုတ်ကျခြင်း (free fall) မှာ တွက်ထုတ်ပြထားတာလေးနဲ့ ဆက်စပ်ကြည့်ပါ။ ပိုလို့တောင် သဘောပေါက်လာပါလိမ့်မယ်။ ဘာလို့ဆို သူကညီမျှခြင်းချည်းရှင်းတာထက် လက်တွေ့သဘောတရားလေးတွေပါ တွဲပါနေတာကိုး။ မျက်စိထဲမြင်ယောင်ကြည့်ရတာလည်း သိပ်မခက်ဘူးဆိုတော့ try ကြည့်ကြည့်ပါ။ မရရင် လာမေးပါ။ စာ‌မေးချင်တယ်ဆို insight က အချိန်မရွေး welcome ပါလို့။ အဲ့တစ်ခုတော့ ရှိတာပေါ့။ ဒီ page က စာရေးသူတွေ ကိုယ်တိုင်လေ့လာနေတဲ့ နယ်ပယ်တွေမှာဆိုရင် ပြောတာပါ။ မသိတဲ့ဟာဆိုလည်း စိတ်ဝင်စားဖို့ကောင်းရင် အတူတူပြန်လေ့လာကြတာပေါ့နော့။ OK. စာရေးသူရဲ့ အလိုက်ပြောင်းညီမျှခြင်း (မိတ်ဆက်) ဆောင်းပါးကို ဒီမှာတင်ပဲ နိဂုံးချုပ်ပါတယ်။ ဒါပေါ့ ဆက်ရေးမယ် ပြောမယ်ဆိုရင် အများကြီးရေးလို့ရပါသေးတယ်။ ဒီဆောင်းပါးလေးကလည်း introduction အမြည်းပေးလိုက်တဲ့ သဘောလောက်ပဲ ရည်ရွယ်ပါတယ်။ တကယ်ရေးမယ်ဆို course တစ်ခုအထိ သေသေချာချာဆွဲထားမှ ရမှာပါ။ တခြားဆွေးနွေးကြည့်ချင်တဲ့ ခေါင်းစဥ်လေးတွေလည်း ရှိနေပြန်တော့ နောင်ကြုံကြိုက်တော့မှပဲ ODE တွေ PDE တွေ အကြောင်း ပြန်ခရီးဆက်ပါတော့မယ်။

အားလုံးပဲ fighting ပါ။ See you next time!!

#yp

REF. [1] http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/Definitions.aspx