အရှေ့ကဆောင်းပါးတွေမှာ ရှိတ်တဲ့အကြောင်း (differentiate) ၊ ရိတ်တဲ့အကြောင်း (integrate)  အတော်များများ ပြောဖြစ်ခဲ့တယ်။ နောက်တစ်ခါ အလွတ်ပြုတ်ကျခြင်း (free fall) ဆိုတဲ့ဆောင်းပါးမှာလည်း နယူတန်ရဲ့ F = ma ညီမျှခြင်းကနေတဆင့် ‘ရှိတ်’တာ ‘ရိတ်’တာတွေလုပ်ပြီး 1D motion အတွက် (၉တန်းမှာသင်ခဲ့ဖူးတဲ့) ညီမျှခြင်းတွေကို တွက်ထုတ်ပြခဲ့ပါတယ်။ လက်တွေ့နဲ့ချိတ်ဆက်ပြီး မြင်ကြည့်လို့ရအောင် နမူနာပုစ္ဆာနှစ်ပုဒ်လောက်ကိုလည်း စဥ်းစားပြထားပါတယ်။ အဓိကပြောပြချင်တာကတော့ ဒီလိုမျိုးသင်္ချာနည်းစနစ်တွေကိုသုံးပြီး လက်တွေ့ (reality) ကို ပုံဖော်နိုင်တယ်ဆိုတာကိုပါ။ ဒါကို သင်္ချာရဲ့ အသုံး ၊ အတွေးအခေါ်နှင့် သိပ္ပံပညာ ဆိုတဲ့ ဆောင်းပါးနှစ်ပုဒ်မှာလည်း တစေ့တစောင်း တင်ပြပေးခဲ့ပြီး ဖြစ်ပါတယ်။

မှတ်ချက်။ ပြန်သွားဖတ်ချင် ဖတ်လို့ရအောင် link ကလေးတွေ လုပ်ပေးထားပါတယ်။ လိုအပ်တဲ့အခါတိုင်းလည်း www.mminsight.com မှာ အချိန်မရွေး သွားပြန်ဖတ်ကြည့်နိုင်ပါတယ်။

အခုဆောင်းပါးလေးမှာတော့ အလိုက်ပြောင်းညီမျှခြင်း (အင်္ဂလိပ်လို Differential equation) အကြောင်းကို မိတ်ဆက်သဘောလောက် တင်ပြပါမယ်။ သူ့နာမည်လေးအတိုင်းပဲ တစ်ခုနဲ့တစ်ခု လိုက်ပြောင်းတာတွေကို ဆက်စပ်ပြတဲ့ ညီမျှခြင်းတွေကို ခေါ်တာပါ။ တစ်ခုနဲ့တစ်ခုဆိုတာ ဆက်သွယ်ချက် (function) တွေကို ဆိုလိုတာပါ။ အဲ့ဒီ functions တွေ တစ်ခုနဲ့တစ်ခု ဆက်စပ်ပြောင်းလဲနေပုံကို ဖော်ပြတဲ့ညီမျှခြင်းကို အလိုက်ပြောင်းညီမျှခြင်း ဆိုပြီးခေါ်ကြတာပါ။

ဒါနဲ့ function ဆိုတာ ဘာလဲ အားလုံးလည်း သိပြီးသား ဖြစ်လောက်မှာပါ။ မသိသေးမှာ စိုးလို့ အနည်းငယ်ပြန်ရှင်းပြပါမယ်။ လက်တွေ့မှာရှိတဲ့ ဖြစ်ပျက်သဘောတရားတွေ၊ ဆိုပါတော့ အရွေ့တို့၊ အပူတို့၊ စွမ်းအင်တို့၊ အချိန်တို့ စတဲ့ ရူပဗေဒမတ္တာတွေကို သင်္ချာမှာ ဆက်သွယ်ချက် (function) နဲ့ပြပါတယ်။ တစ်နည်းပြောရရင် လက်တွေ့လောကကြီးကို သင်္ချာနည်းနဲ့ ရှုမြင်လိုက်တဲ့သဘောပါ။ သင်္ချာနဲ့ ကြည့်လိုက်တဲ့အခါ စာရေးသူတို့ မြင်နိုင်တွေးနိုင်တာထက်တောင် ကျော်လွန်ပြီး လောကကြီးအကြောင်း စဥ်းစားလာနိုင်တယ်။ ဥပမာ အိုင်းစတိုင်းရဲ့ General relativity ညီမျှခြင်းကို ကြည့်မလား၊ ဒါမှမဟုတ် အာဝင်ရှော်ဒင်းဂျားရဲ့ လှိုင်းဖော်ပြချက် (Wave function) ညီမျှခြင်းကိုပဲ ကြည့်မလား။ ဒါတွေဟာ အင်မတန်မှနက်ရှိုင်းပြီး အခုထက်ထိကို interpretation အမျိုးမျိုးထုတ်ပြီး တွေးဆလို့ကောင်းတုန်း။

ဆက်စပ်ဆောင်းပါး – Space-time နဲ့ Tensor (မိတ်ဆက်)

အဲ့ဒီညီမျှခြင်းတွေကို ကြည့်လိုက်တော့ ဘာသွားတွေ့သလဲဆို functions ဆက်သွယ်ချက်တွေကို တွေ့ရတယ်။ တစ်ခါ function ဆက်သွယ်ချက်တွေထဲမှာ ကိန်းရှင် (variable) တွေပါနေတာကို ထပ်တွေ့ရမယ်။ ဥပမာ အချိန် (t) နဲ့ တည်နေရာ (x, y, z) စတာတွေကို ကိန်းရှင်လို့ခေါ်တယ်။ အချိန်ပြဆက်သွယ်ချက်ကို ဘာသာရပ်ဆိုင်ရာမှာ temporal function လို့ခေါ်ပြီး နေရာပြဆက်သွယ်ချက်ကိုကျ spatial function ခေါ်ပါတယ်။ သူတို့တွေ တစ်ခုနဲ့တစ်ခု ဆက်စပ်ပြီးပြောင်းလဲနေကြတာကို ဖော်ပြတဲ့ညီမျှခြင်းကို ဘာသာရပ်ဆိုင်ရာအလိုက် အရွေ့ညီမျှခြင်း (Equation of motion) ၊ ထိန်းချုပ်ညီမျှခြင်း (Governing equation) စသည်ဖြင့် အမျိုးမျိုးခေါ်ကြပါတယ်။ အရင်းစစ်ကြည့်လိုက်တော့ အားလုံးဟာ အလိုက်ပြောင်းညီမျှခြင်း (Differential equations) တွေချည်းပါပဲ။

လက်တွေ့နယ်ပယ်မှအသုံးများ

ဒါဆိုဟုတ်ပြီ။ ဒီညီမျှခြင်းတွေကို ဘယ်နားသွားသုံးသလဲပေါ့။ ဆိုတော့ လက်တွေ့အနေနဲ့ ပြန်အသုံးချတဲ့နေရာတွေကတော့ အများကြီးပဲ။ နယ်ပယ်ကဏ္ဍတွေအနေနဲ့ ခွဲပြောရရင် အင်ဂျင်နီယာ၊ စီးပွားရေး၊ ဇီဝ‌ဗေဒ၊ physics လိုမျိုးနယ်ပယ်တွေမှာ အဓိကသုံးကြတယ်။ သဘောတရားရေး (theory) ဆိုင်ရာဘာသာရပ်တွေမှာလည်း သုံးကြတယ်။ ခုနကပြောခဲ့သလို အသေးငယ်ဆုံးကွမ်တမ်လောက (အာဝင်ရှော်ဒင်းဂျားရဲ့ ညီမျှခြင်း) ကနေစလို့ ကြီးမားလှတဲ့ ကြယ်တွေ၊ ဂြိုဟ်တွေ၊ ဂလက်ဆီတွေ (နယူတန် ညီမျှခြင်း၊ အိုင်းစတိုင်းရဲ့ နှိုင်းရညီမျှခြင်းများ) အထိ အင်မတန်မှ ကျယ်ကျယ်ပြန့်ပြန့် အသုံးပြုကြပါတယ်။ အကယ်၍ သင်က သိပ္ပံပညာရှင်တစ်ယောက် ဖြစ်ချင်တယ်ဆိုရင် ဒီ Calculus ဆိုတဲ့ ဘာသာရပ်ကို အသေအချာနားလည်အောင် သင်ယူထားသင့်ပါတယ်။ စာရေးသူကတော့ structure (အဆောက်အဦပိုင်း) အင်ဂျင်နီယာတစ်ယောက်ဖြစ်တာကြောင့် ဆောက်လုပ်ရေးပိုင်းတွေမှာ သုံးလေ့ရှိတဲ့ computer simulations တွေနဲ့ ထိတွေ့နေရတယ် (ဥပမာအနေနဲ့ အောက်က ဗီဒီယိုကို ကြည့်ပါ)။

ဗီဒီယို။ ခါးပတ်ပတ်ထားသော လူပုံတူရုပ်တစ်ခု အလျင်တစ်ခုဖြင့် အရှေ့သို့ ရွေ့နေရာမှ ရုတ်တရက်အရှိန်လျော့သွားပြီး ရပ်သွားပုံကို computer simulation သုံး၍ ခန့်မှန်းပြထားခြင်း

ရှင်းလင်းချက်။ ဗီဒီယိုလေးထဲမှာ ခါးပတ်နဲ့ လူတစ်ယောက် (ထိုင်ခုံအပါအဝင်) အရှေ့ကို စဦးအလျင်တစ်ခုနဲ့ ရွေ့နေတယ်။ ရုတ်ချည်းဆိုသလို အရှိန်ကိုလျော့ချပစ်လိုက်တဲ့အခါ ဘာဖြစ်မလဲဆိုတာကို ခန့်မှန်းပြထားတဲ့ simulation လေးပါ။ လက်တွေ့မှာဆို ကားတွေဘာတွေပေါ် ထိုင်နေတုန်း ရုတ်တရက် ဘရိတ်အုပ်လိုက်တာမျိုး ကြုံဖူးကြမယ်ထင်တယ်။ အဲ့ဒီအခါ ခန္ဓာကိုယ်က inertia သဘောအရ အရှေ့ကို ဆက်ရွေ့နေတယ်။ ဘရိတ်အုပ်လိုက်တော့ အရှိန်လျော့သွားမယ် (ဆုတ်ရှိန် ဆိုပါတော့)။ ဟုတ်တယ်ဟုတ်။ ဆုတ်ရှိန်နဲ့ အရှေ့ကို ဆက်သွားနေချင်တဲ့ inertia တို့ တွေ့ကြတဲ့သဘော။ အဲ့ဒီအခါမှာ ပတ်ထားတဲ့ ခါးပတ်က လူကို အနောက်ကို ပြန်ဆွဲပါတယ်။ နောက်ဆုံးမှာတော့ အရှေ့ကို ရွေ့နေတဲ့ လူရုပ်လည်း လုံးဝရပ်သွားရမယ်။ မရပ်ခင်လေးမှာ ဆတ်ခနဲ ဆောင့်ဆွဲလိုက်သလို ဖြစ်သွားတာကိုတောင် မြင်ရမယ်။ အဲ့ဒါကတော့ အချိန်နဲ့အမျှလျော့ကျနေတဲ့ အရှိန်ဟာ သုညကိုရောက်သွားတယ်။ ဒါနဲ့မပြီးသေးပဲ အရှိန်အပေါင်းဖက်ကိုတောင် ရောက်သွားတယ်ဆိုရမှာ။ အပေါင်းဆိုတော့ အရှေ့ကို ရွေ့စေတာပေါ့။ ဒီလို အပေါင်းတန်ဖိုးနဲ့ အနုတ်တန်ဖိုးကြား ရုတ်ချည်းပြောင်းလဲသွားတဲ့အကျိုးဆက်အနေနဲ့ လူရုပ်ဟာ ဆတ်ခနဲ အရှေ့ကို ငိုက်သွားတာလို့ စာရေးသူကတော့ သုံးသပ်ပါတယ်။ နောက်ဆုံးမှာတော့ လူရုပ်ဟာ အောက်ဖက်ကိုလည်း အနည်းငယ်လျောကျသွားပါတော့တယ် (gravity ရဲ့ သဘောကြောင့်ပါ)။

ဒါလေးကတော့ computer simulation သုံးပြီး အပြင်မှာဆိုရင်ရော ဘယ်လိုဖြစ်နိုင်မလဲဆိုတာကို ခန့်မှန်းသုံးသပ်ပြထားတဲ့ သင်္ချာမော်ဒယ်လေးပါ။ ဒီလို သုံးသပ်ချက်တွေကို မှန်မှန်ကန်ကန် လုပ်နိုင်ဖို့အတွက် နောက်ကွယ်မှာ အလိုက်ပြောင်းညီမျှခြင်းတွေကို ဖြေရှင်းတွက်ချက်ရပါတယ်။ Animation ပြတယ်ဆိုတာက မြင်သာထင်သာရှိရုံလောက်ပါ (အဖြေမှားနေရင်တောင် animation ကတော့ ပြနေမှာပဲကိုး)။ တကယ့်တကယ်မှာ simulation တစ်ခုဟာ animation တစ်ခုထက်ကို အများကြီးပိုပါတယ်။ အရှိန်တွေ၊ အလျင်တွေ၊ အရွေ့စွမ်းအင်တွေ၊ စတာတွေကိုပါ တွက်ထုတ်ပေးပါတယ်။ တစ်ခါ လူ‌ပေါ်မှာသက်ရောက်ခံရမယ့်အားတွေ၊ ဒါဏ်တွေ စတာတွေအထိပါ ကြည့်ချင်ကြည့်လို့ရတယ်။ သူက လက်တွေ့ကို အတိုင်းအတာတစ်ခုအထိ တိတိကျကျ ခန့်မှန်းပြနိုင်တယ်။ ဒီတော့ အပင်ပန်းခံ၊ ငွေကုန်ကြေးကျခံပြီး လက်တွေ့စမ်းသပ်ချက် (experiment) တွေလုပ်ဖို့ မလိုတော့ဘူး။ တစ်ခုတော့ ရှိတာပေါ့၊ ကိုယ်လုပ်ထားတဲ့ simulation ဟာ လက်တွေ့ကို ကိုယ်စားပြုနေရမယ် (တစ်နည်း) realistic ဖြစ်နေရမယ်။ အဲ့ဒီမှာ ကျောင်းတုန်းက သင်ယူခဲ့ရတဲ့ အခြေခံသင်္ချာနည်းနာတွေ (အထူးသဖြင့် calculus) နဲ့ ရူပဗေဒဆိုင်ရာ အခြေခံ concept တွေကို ပိုင်နိုင်နေဖို့က အရမ်းအရေးကြီးပါတယ်။ ဒါမှသာ ဒီလို simulation တွေက ပေးတဲ့ရလဒ်တွေကို မှန်မှန်ကန်ကန် သုံးသပ်နိုင်မှာဖြစ်သလို အကယ်၍ မှားနေခဲ့လို့ရှိရင်လည်း ဘာလို့မှားနေလဲ ဆိုတာကို အဖြေပြန်ရှာနိုင်မှာလည်း ဖြစ်ပါတယ်။

Differential Equations အမျိုးအစားများ

ဟုတ်ပြီ။ အခု Differential equations တွေကို အမျိုးအစား ခွဲကြည့်ရအောင်။ အဓိကအားဖြင့်တော့ အောက်က ၂ မျိုးကို သိထားဖို့လိုပါတယ်။

(၁) ODE (Ordinary Differential Equation) (ခေါ်) ပုံမှန်အလိုက်ပြောင်းညီမျှခြင်း

(၂) PDE (Partial Differential Equation) (ခေါ်) တစ်စိတ်တပိုင်း အလိုက်ပြောင်းညီမျှခြင်း

ဆိုပြီး နှစ်မျိုးရှိပါတယ်။

ODE (Ordinary Differential Equation) (ခေါ်) ပုံမှန်အလိုက်ပြောင်းညီမျှခြင်း

နံပါတ်(၁) ဖြစ်တဲ့ ODE အကြောင်းအရင် ရှင်းပြပါမယ်။ ရိုးရိုးအလိုက်ပြောင်း ဆိုတဲ့ နာမည်လေးအတိုင်းပဲ သူက PDE ထက်ကို ပိုပြီး ရိုးရှင်းတယ် ပြောရမယ်။ ဘာလို့ဆို ညီမျှခြင်းထဲမှာပါတဲ့ ရှိတ်ဖန်ရှင်တွေမှာ ကိန်းရှင်တစ်လုံးပဲရှိတယ်။ ဥပမာ နယူတန်ရဲ့ F = ma ညီမျှခြင်းက ODE ပါ။ ရှိတ်ပုံစံနဲ့ ရေးရင် အောက်ပါအတိုင်း တွေ့ရမယ်။ (mass က ဘယ်ညာကြေသွားလို့ ထည့်မရေးထားပါ)

\displaystyle \frac{d^2}{dt^2}s(t) = -g

အဲ့ဒီညီမျှခြင်းထဲက s(t) ဆိုတာ အချိန်ပြဆက်သွယ်ချက် (temporal function) ပါ။ t ကတော့ အလွတ်ကိန်းရှင်ပါ။ အချိန်ကို ကိုယ်စားပြုပါတယ်။ အရှေ့က \displaystyle \frac{d^2}{dt^2}  က အချိန် t နဲ့ လိုက်ပြီး နှစ်ခါရှိတ်ထားတာကို ပြတာပါ။ ဒီညီမျှခြင်းလေးဟာ ODE ညီမျှခြင်းတွေထဲက အရိုးရှင်းဆုံးလို့ပြောလို့ရတဲ့ ညီမျှခြင်းလေးပါ။ ဘာလို့ဆို လေထုခုခံအား၊ ပွတ်အား စတဲ့ ပြင်ပသက်ရောက်မှုအားတွေကိုမှ ထည့်မစဥ်းထားတာ။ ဒီ့ထက်ပိုပြီး နည်းနည်းပိုတိကျချင်ရင် လေထုခုခံအားကို ထည့်စဥ်းစားကြည့်လို့ရတယ်။ လေထုခုခံအားဟာ ပြုတ်ကျတဲ့ဝတ္ထုရဲ့ အလျင်ပေါ်မှာ မူတည်တယ်။ ဒါကြောင့် အလျင် ds(t)/dt (တစ်နည်း velocity) ကို ထည့်စဥ်းစားရင် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သွားမယ်။

\displaystyle \frac{d^2}{dt^2}s(t) = -g + C \frac{d}{dt}s(t)

မှတ်ချက်။ လေထုခုခံမှုဟာ motion ကို ဆန့်ကျင်တဲ့သဘောရှိတယ်။ အောက်ကိုပြုတ်ကျတဲ့ ဖြစ်စဥ်မှာ လေထုခုခံအားကအပေါ်ကို သက်ရောက်ပါတယ်။ ဒါ့ကြောင့် ညာဖက်မှာ ထည့်ပေါင်းရတာပါ။ ပြောရရင် အသားတင် အရှိန် (net acceleration) ဟာ လေထုခုခံမှုနဲ့ g တို့ရဲ့ ခြားနားခြင်းဖြစ်ပါတယ်။ အားလုံးကို ဘယ်ဖက်ကို ပို့လိုက်ရင်တော့ အောက်ပါအတိုင်း ရပါတယ်။

\displaystyle \frac{d^2}{dt^2}s(t) - C \frac{d}{dt}s(t) + g = 0

သူ့ထဲက C ကတော့ တခြား အလေးချိန်၊ drag coefficient ဘာညာ စတာတွေကို ကိုယ်စားပြုတဲ့သင်္ကေတလို့ မှတ်ပါလေ။ လောလောဆယ် အရေးမကြီးပါ။ ဟော အခုဆို ညီမျှခြင်းက နည်းနည်းပိုရှုပ်မသွားဘူးလား။ ဒါကိုလည်း ordinary differential equation (ODE) လို့ ခေါ်ဆဲပါ။ ဘာလို့ဆို ညီမျှခြင်းတစ်ကြောင်းလုံးကို ခြုံငုံကြည့်တဲ့အခါ ကိန်းရှင်က t တစ်လုံးတည်းပါနေတာကြောင့်ပါ။ ဒီအထိ ရှင်းမယ်ထင်ပါတယ်။

ဟုတ်ပြီ။ နည်းနည်းလေး ပိုရှုပ်ကြည့်ရအောင်။ ODE ထဲမှာကိုပဲ Linear (တသမတ်ညီမျှခြင်း) နဲ့ non-linear (တသမတ်တည်းမဟုတ်တဲ့ ညီမျှခြင်း) ဆိုပြီး ထပ်ခွဲလို့ရပါတယ်။ အပေါ်မှာ ပြောခဲ့တဲ့ ညီမျှခြင်း နှစ်ကြောင်းလုံးက linear ညီမျှခြင်းတွေပါ။ ဖြေရှင်းရတာလည်း ပိုလွယ်ပါတယ်။ အကယ်၍များ ရှိတ်ထားတဲ့ function တစ်ခုခုမှာ ထပ်ကိန်းတွေ ပါလာရင်တော့ non-linear equation လို့ခေါ်ရမှာပါ။ ဥပမာ

\displaystyle \frac{d^2}{dt^2}s(t) - C \left( \frac{d}{dt}s(t) \right)^2 + g = 0

ဒါဆိုရင် non-linear (တသမတ်တည်း မဟုတ်သော) ညီမျှခြင်း ဖြစ်သွားပါတယ်။ သိပ်မရှင်းသေးဘူးဆို ဒီလို ထပ်မြင်ကြည့်ပါ။

s(t) ကို y

\displaystyle \frac{d}{dt}s(t) ကို y’

\displaystyle \frac{d^2}{dt^2}s(t) ကို y’’ လို့ရေးမယ်ဆိုရင် အပေါ်ကညီမျှခြင်းလေးမှာ ပြန်အစားသွင်းရင်

y’’ – Cy’ + g = 0 ဆိုပြီးရရင် linear ခေါ်ပါတယ်။

y’’ – C(y’)2 + g = 0 ဆိုရင်တော့ non-linear ခေါ်ပါတယ်။

သဘောကတော့ function နဲ့ သူ့ရဲ့ derivative တို့ဟာ တခြား function ရဲ့ အစိတ်အပိုင်း ထပ်ဖြစ်မနေမှသာ linear  ခေါ်တာပါ။ မဟုတ်ရင် non-linear လို့ခေါ်ရပါမယ်။ အိုင်းစတိုင်းရဲ့ general relativity မှာ သုံးထားတဲ့ ညီမျှခြင်းက non-linear ပါ။ ဒီလောက်ဆို linear ၊ non-linear ခွဲခြားတတ်မယ် ထင်ပါတယ်။

PDE (Partial Differential Equation) (ခေါ်) တစ်စိတ်တပိုင်း အလိုက်ပြောင်းညီမျှခြင်း

ကဲ ODE အကြောင်း ပြီးတော့ PDE ကို ရှင်းပါမယ်။ partial တစ်စိတ်တပိုင်း ဆိုတဲ့ နာမည်လေးအတိုင်း သူ့ထဲမှာပါတဲ့ function တွေဟာ ခုနကလို ကိန်းရှင်တစ်လုံးတည်းမဟုတ်တော့ဘဲ ကိန်းရှင်သုံးလေးလုံးပါလာပါတယ်။ Multivariable function (ကိန်းရှင်စုံပါသော ဖန်ရှင်) လို့ခေါ်ပါတယ်။ ခုနက ကိန်းရှင်က t တစ်လုံးတည်းဆိုပေမယ့် partial ညီမျှခြင်းတွေမှာတော့ t အပြင်နောက်ထပ်ကိန်းရှင်တွေပါလာတယ်။ ဥပမာပြဖို့ အောက်ပါညီမျှခြင်းလေးကို ကြည့်ပါ။ လွယ်အောင် အရွေ့ကို အရှေ့မှာပြခဲ့တဲ့အတိုင်း s နဲ့ ကိုယ်စားပြုပြီး ရေးပါမယ်။

\displaystyle \frac{\partial^2}{\partial{x}^2}s(x,t) = \frac{1}{c_s} \frac{\partial^2}{\partial{t}^2}s(x,t)

အထက်ပါညီမျှခြင်းလေးက ကြိုးတစ်ချောင်းတုန်ခါမှုကို ပြတဲ့ညီမျှခြင်းပါ။ Cs ကတော့ ကြိုးထဲမှာသွားမယ့် လှိုင်းရဲ့ အမြန်ပါ။ ဆိုပါတော့ သားရေကွင်းကို ဗီဒီယိုမှာပြထားသလို လက်မနဲ့ လက်ညှိုးကြားမှာ ဆွဲဆန့်ပြီး နောက်လက်တဖက်နဲ့ ဆတ်ကနဲ တောက်လိုက်ရင် တုန်ခါတာကို မတွေ့ရဘူးလား။ အင်း အဲ့ဒီ တုန်ခါသွားမယ့် သားရေပင်လေးရဲ့ အရွေ့ကို အထက်မှာပြထားတဲ့ ညီမျှခြင်းလေးနဲ့ အတိအကျတွက်ပြလို့ရပါသတဲ့ ခင်ဗျား။ သားရေပင်ဆိုတာ ဥပမာပေးတာပါ။ တကယ်က ဂစ်တာကြိုးတို့၊ တယောကြိုးတို့အတွက်လည်း မှန်ပါတယ်။ ရေထဲကို ခဲလုံးလေးပစ်ချလိုက်လို့ wave လေးတွေ အနည်းငယ် လှုပ်ရှားသွားတာမှာလည်း သုံးလို့ရပါတယ်။ ချိန်သီးလေးလွှဲတာအတွက်လည်း သုံးလို့ရပြန်ရော။ ဆက်စပ်နေတာတွေပြောပြတာနော့။ နောက်မှ တစ်ခုချင်း ဖြည်းဖြည်းချင်းပြောပြီး ပြန်ဆက်စပ်ပြမယ်။ သင်္ချာက ဘယ်လောက်တောင် အံ့သြဖို့ကောင်းသလဲဆိုတာ။

သတိပြုရန်။ ဖော်ပြပါ wave ညီမျှခြင်းလေးဟာ သေးငယ်တဲ့တုန်ခါမှု (small amplitude) တွေအတွက်ပဲ မှန်ပါတယ်။

တစ်ခါညီမျှခြင်းထဲက သင်္ကေတတွေကို ကြည့်လိုက်တော့ s က x နဲ့ t တို့ရဲ့ function ဖြစ်နေတယ်။ ဒါကို multivariable ခေါ်တာပါ။ derivative ကို ရိုးရိုး d/dt ပဲ သိရာကနေ အကွေး ∂ ကလေး ပြောင်းသွားတယ်။ ဒါကို partial (ပါရှယ်) ဆိုပြီးခေါ်ပါတယ်။ ∂/∂x ဆိုရင် function ကို x နဲ့ပဲရှိတ်ရမယ်။ t တွေအကုန်လုံးကို constant လို့ရှုမြင်ရမယ်။ အဲ့လိုပဲ ∂/∂t ဆိုရင်လည်း t နဲ့သာရှိတ်ရမယ်။ x တွေအကုန်လုံးကို ကိန်းသေလို့ ရှုမြင်ရမယ်။ ဒီလို တစ်စိတ်တပိုင်းပဲ ‘ရှိတ်’ရတာကြောင့်လည်း သူ့ကို partial (တစ်စိတ်တပိုင်း) ဆိုပြီး ခေါ်တာပါ။ idea ကတော့ အတူတူပဲ ဆိုပေမယ့် သင်္ချာအဆင့်သတ်မှတ်ချက်တွေအရ ကြည့်လိုက်မယ်ဆို partial က ရိုးရိုးရှိတ်တာထက် မဆိုစလောက်ကလေး ပိုရှုပ်တယ် ထင်ရပါတယ်။ နောက်မှ လေ့ကျင့်ခန်းလေးတွေ စီစဥ်ပေးဦးမယ်။

OK. ဒီလောက်ဆို intro အနေနဲ့ PDE ကို သဘောပေါက်လောက်မယ်ထင်ပါတယ်။ အလိုက်ပြောင်းညီမျှခြင်းတွေကို တခြား homogeneous တို့ heterogeneous တို့ဆိုပြီး ခွဲခြားတဲ့ပုံစံလည်း ရှိပါသေးတယ်။ ရှုပ်ကုန်မစိုးလို့ အခုလောလောဆယ်တော့ ODE ၊ PDE လောက်ပဲ မှတ်ထားပေးရင် ရပါပြီ။

ညီမျှခြင်း အဆင့် (Order)

ညီမျှခြင်းလေးတွေမှာ အဆင့်သတ်မှတ်ချက်ရှိတယ်။ တစ်နည်း level ပေါ့ဗျာ။ အဆင့်ကို ညီမျှခြင်းထဲမှာ ဘယ်နှစ်ခါအများဆုံးရှိတ်ထားသလဲဆိုတာကို ကြည့်ပြီးခွဲရတယ်။ နယူတန်ညီမျှခြင်းမှာဆို \displaystyle \frac{d^2s}{dt^2} ဆိုတော့ s ကို t နဲ့နှစ်ခါရှိတ်ထားတာ။ ဒါ့ကြောင့် ဒုတိယအဆင့် ညီမျှခြင်း (second order) ဆိုပြီးခေါ်ပါတယ်။ အကယ်၍ velocity အတွက် ညီမျှခြင်းဖြစ်တဲ့ \displaystyle \frac{dv}{dt} နဲ့သာ ရေးခဲ့မယ်ဆိုရင် ပထမအဆင့် ညီမျှခြင်း (first order) ဆိုပြီးခေါ်ပါတယ်။ ရှိတ်ခံထားရတာ ဘယ်နှစ်ခါအများဆုံးလည်းဆိုတာကြည့်ပြီးတော့ ခေါ်ရတာပါ။ အင်ဂျင်နီယာတန်းတွေမှာ သင်ရတဲ့ အွိုင်လာ-ဘာနောလိ ယက်မညီမျှခြင်း (Euler-Bernoulli Beam Equation) မှာဆို စတုတ္ထအဆင့်အထိ ရှိတ်ထားတာကိုတောင် တွေ့ရပါမယ်။ ဥပမာ

\displaystyle EI \frac{\partial^4w}{\partial{x}^4} = -\mu \frac{\partial^2 w}{\partial{t}^2} + q

ဆိုပြီးတော့ပါ။ ဒါနဲ့ ဒါ ဗဟုသုတရအောင်ပြောပြရဦးမယ်။ ပဲရစ်က အီဖယ်မျှော်စင် ဒီဇိုင်းထုတ်တုန်းက ဒီညီမျှခြင်းလေးကိုလည်း ထည့်သုံးခဲ့တယ် ပြောပါတယ် (Ref. [1])။  အသေးစိတ်ကိုတော့ စိတ်ဝင်စားရင် wiki မှာ သွားဖတ်ကြည့်။ သူက အနည်းငယ်တော့ အဆင့်မြင့်ပိုင်းဖက်ကို ‌ရောက်လာပြီ ပြောလို့ရတယ်။ (စိတ်ဝင်စားတဲ့သူတွေများရင်တော့ တွက်ထုတ်ပုံကစလို့ ဖြေရှင်းပုံအဆုံးထိ ရေးတင်ပေးလို့ရပါတယ်။ မများရင်တော့ မရေးပေးတော့ဘူး 😁)

အဖြေရှာခြင်း

ဒါနဲ့ ညီမျှခြင်းတွေကတော့ ဟုတ်ပါပြီ။ ဘယ်လိုဖြေရှင်းမတုန်း။ ညီမျှခြင်းတွေ ကြည့်ရတာတော့ အယ်ဂျီဘရာညီမျှခြင်းတွေ ရှင်းရသလို လွယ်ပုံမရဘူး။ အဲ လွယ်လည်းမလွယ်ပါ (ခက်တော့လည်း မခက်ပါ)။ သူ့တို့ကို ရှင်းတဲ့နည်း အမျိုးမျိုးရှိပါတယ်။ Exact method လို့ခေါ်တဲ့ အတိအကျနည်းလမ်းနဲ့ ဖြေရှင်းတွက်ထုတ်ချင်ရင်တော့ antiderivative (သို့) integration လုပ်ပြီး ရှင်းတာပါ (ဥပမာ – အလွတ်ပြုတ်ကျခြင်း ဆောင်းပါးမှာ တွက်ပြထားသလိုမျိုးပါ)။ အဲ့လိုမျိုးဖြေရှင်းလို့ အမြဲတမ်းကြီးတော့ မရဘူး။ တစ်ခါတလေ integrate လုပ်လို့မရလောက်အောင် ဖန်ရှင်က ရှုပ်ထွေးနေတတ်တယ်။ ဒါဆိုရင်တော့ ဆရာ့ဆရာကြီးတွေ ရှာဖွေတွေ့ရှိထားတဲ့နည်းလမ်းအချို့ကို သုံးရမှာပါ။ ဥပမာ  Variation of parameters ၊ Laplace transform ၊ Undetermined coefficient စသည်ဖြင့် နည်းလမ်းတွေရှိပါတယ်။ ဒီနည်းလမ်းတွေကို analytical (သရုပ်ခွဲ၍အဖြေရှာခြင်း) လို့ခေါ်ပါတယ်။ သူက closed-form (တစ်နည်း) လက်နဲ့ လွယ်လွယ် ပြန်တွက်နိုင်မယ့် ဖော်မြူလာကို ပေးတယ်။ တက္ကသိုလ်အဆင့်မှာ ဒါတွေကို သင်ယူရပါတယ်။ ရှိသမျှ တွက်နည်းတွေ အကုန်မှတ်မိနေတာမျိုးထက် ဘယ်နေရာမှာ ဘာသုံးရင်ပိုလွယ်မယ်၊ ဒီလိုမျိုး ဖြေရှင်းနည်း အမျိုးမျိုးရှိပါလား ဆိုတာလောက် သိထားရင် လုံလောက်ပါတယ်။ တစ်ချိန် ကိုယ်ကိုယ်တိုင်ညီမျှခြင်းတွေ ပြန်တွက်ထုတ်ရမယ့်အခါမျိုးကျရင်လည်း ဒီလို closed-form solution ပေးနိုင်တဲ့ နည်းလမ်းတွေကို သိနေတဲ့အခါ အင်မတန်မှအသုံးတည့်ပါတယ် (စာရေးသူကိုယ်တွေ့ပါ)။

နောက်ထပ်အသုံးများတဲ့ နည်းလမ်းလေးက ဂဏန်းသင်္ချာနည်း (numerical method) ပါ။ ဒါမှာလည်း နည်းနိဿရည်းတွေကတော့ အများကြီးပါပဲ။ သူက ခုနကလို closed-form တော့ မရပေမယ့် မတရားရှုပ်တဲ့ ညီမျှခြင်းတွေကို ဖော်မြူလာတောင် သိစရာမလိုပဲ ဖြေရှင်းနိုင်တဲ့နည်းလမ်းမျိုးပါ။ ဆိုပါတော့ ၊ အလိုအလျှောက် ပစ်မှတ်ကို သွားတဲ့ ဒုံးကျည်မျိုး ရုပ်ရှင်တွေထဲ မြင်ဖူးကြတယ်မလား။ အင်း numerical method ဆိုတာ အဲ့ဒါနဲ့ သဘောတရားချင်း ခပ်ဆင်ဆင်ရယ်။ အလိုအလျှောက်ကို အဖြေဆီကို trial-and-error သဘောမျိုးနဲ့ သွားတဲ့သဘောပါ။ စာ‌ရေးသူသိထားတဲ့ numerical method တချို့ကိုဥပမာပြရရင် Euler’s method (Explicit/implicit) ၊ Runge-Kutta ၊ Finite difference method စသည်ဖြင့် အမျိုးမျိုးရှိပါတယ်။ MATLAB မှာဆိုလည်း ode solver ဆိုပြီး သူများပြန်ရေးပေးပြီးသား အသင့်သုံးလို့တောင် ရပါတယ်။ မိမိဖြေရှင်းလိုတဲ့ ပုစ္ဆာအမျိုးအစားပေါ်လိုက်ပြီး သင့်တော်ရာကို ရွေးသုံးရပါတယ်။ တွက်နည်းတွေရဲ့ အားသာချက်၊ အားနည်းချက် စသည်ဖြင့် သိထားဖို့ လိုအပ်ပါတယ်။

မှတ်ချက်။ ဒီလို method အမျိုးမျိုးနဲ့ ညီမျှခြင်းတွေကို အဖြေရှာတဲ့အခါမှာ initial condition လို့ခေါ်တဲ့ စဦးအခြေအနေကို သတ်မှတ်ပေးရပါတယ်။ ဒါမှလည်း ညီမျှခြင်းဟာ unique ဖြစ်တဲ့ အဖြေတစ်ခုတည်းထွက်မှာပါ။ ဒီအကြောင်းကိုတော့ ဆောင်းပါးဒုတိယပိုင်းမှာဆက်ပါမယ်။ အခုဆောင်းပါးလေးမှာ ODE ၊ PDE ၊ Linear ၊ Non-linear စတဲ့ သဘောတရားတွေကိုသာ နားလည်အောင် အခါခါ ပြန်ဖတ်ကြပါလေ။

ကဲ ဆောင်းပါးလေးလည်း တော်တော်ရှည်သွားပြီ။ ဒါကြောင့် ဒီလောက်နဲ့ပဲ ရပ်ထားဦးစို့။ ခေါင်းထဲမရောက်မှာစိုးတာလည်း ပါပါတယ်။ တခြားသိချင်တာ ၊ ရှင်းပြစေချင်တာ ရှိရင်လည်း comment မှာ၊ CB မှာ မေးထားပြောထားပါ။ စာရေးသူဖြစ်စေ၊ insight ရဲ့ တခြားအဖွဲ့ဝင်တွေကဖြစ်စေ ရှင်းပေးပြောပြပေးနိုင်ပါလိမ့်မယ်။

See you next time!!!!

#yp

Ref.
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%E2%80%93Bernoulli_beam_theory
[2] Tegmark, M. Our Mathematical Universe.