မင်္ဂလာပါ။ အရင် အွိုင်လာရဲ့ အမှတ်အသား ညီမျှခြင်း အကြောင်း ‌ရေးတော့ Comment တွေမှာ ရှိတ်တာတို့ ၊ ရိတ်တာတို့နဲ့ ပတ်သက်ပြီး မေးထားကြပါတယ်။ တစ်ချို့ကလည်း သမိုင်းကြောင်းထက် ဘယ်လိုအသုံးဝင်သလဲ ဆိုတာကို စိတ်ဝင်စားကြတယ်။ ဒါကြောင့် အခု ဒီဆောင်းပါးလေးမှာတော့ အလိုက်ပြောင်း ညီမျှခြင်း (Differential equation) များနဲ့ပတ်သက်တဲ့ အခြေခံသဘောတရား‌လေးတွေ မျှဝေပေးချင်ပါတယ်။

ရှိတ်တယ် ဆိုတာ မြန်မာတွေ အလွယ်ခေါ်ကြတဲ့ အသုံးအနှုန်းပါ။ အင်္ဂလိပ်လို Differentiate လို့ခေါ်ပါတယ်။ ပြောင်းလဲခြင်းလို့ အဓိပ္ပာယ်ရပါတယ်။ ဥပမာ ‘မမသည် တစ်နေ့တစ်ခြား ပိုချောလာသည်’ ဆိုပါတော့။ အဆိုပါ ဝါကျကို သင်္ချာရှုထောင့်ကနေ ပြန်ဆန်းစစ်ကြည့်ပါမယ်။

(၁) မမ ပိုချောလာတယ် ဆိုတဲ့ သဘောမှာ တစ်ခုခု တိုးလာတဲ့ သဘောပါနေပါတယ်။ ဘယ်အရာက တိုးလာတာပါလဲ။

(၂) တစ်နေ့တစ်ခြားရဲ့ အဓိပ္ပာယ်ကရော ဘာလဲ။

နံပါတ် (၁) ရဲ့ အဖြေက မမရဲ့ အလှ ဖြစ်ပါတယ်။ နံပါတ် (၂) ရဲ့ အဖြေက အချိန်နဲ့ လိုက်ပြီး ပြောင်းလဲနေတဲ့ သဘောကို ပြနေပါတယ်။

ကဲ (၁) နဲ့ (၂) ကို ပေါင်းပြီး သေချာပြန်လေ့လာကြည့်မယ်ဆိုရင် မမရဲ့ အလှဟာ အချိန်နဲ့ အမျှ ပြောင်းလဲနေတယ် (တိုးနေတယ်) ဆိုပြီး အဓိပ္ပာယ်ထွက်ပါတယ်။ ညီမျှခြင်းတွေ၊ အတိုင်းအတာမျဥ်းတွေနဲ့ ပြမှလက်ခံချင်ကြတဲ့သူတွေအတွက် အောက်ပါအတိုင်း စဥ်းစားနိုင်ပါတယ်။

မမရဲ့ အလှကို အချိန်ပေါ်မူတည်တဲ့ ဆက်သွယ်ချက် f(t) ဟု သဘောထားလိုက်ပါ။ f ဆိုတာ function လို့ခေါ်တဲ့ ဆက်သွယ်ချက် (relation) တစ်ခုပါ။ t ဆိုတာက အချိန် (time) ကို ကိုယ်စားပြုပါတယ်။ ဟုတ်ပြီ။ ပြောင်းလဲခြင်းကို differentiation ‘d’ နဲ့ ရေးပါတယ်။ ‘အချိန်နဲ့ လိုက်၍’ ဆိုတဲ့သဘောကို ‘dt’ လို့ ရေးပါတယ်။ အလွန်သေးငယ်တဲ့ အချိန်အတိုင်းအတာ တစ်ယူနစ်ကို ဆိုလိုတာပါ။ ပေါင်းစပ်ပြီး ရေးလိုက်ရင် \frac{df(x)}{dt}  ဖြစ်သွားပါတယ်။ ဆိုလိုတာက အချိန်တစ်ယူနစ်မှာ ပြောင်းလဲမယ့် မမရဲ့ အလှပေါ့ဗျာ။ မိုက်တယ်နော်။ ဘာသာစကားတစ်ခုနဲ့တောင် ဆင်တူသေး။ သိပ္ပံမှာ သုံးကြတဲ့ ဘာသာစကားဆိုပါတော့။ (ဟုတ်ပါတယ်။ အင်္ဂလိပ်စာတတ်ရုံနဲ့ မရသေးဘူး ခင်ဗျ။ အင်ဂျင်နီယာ သို့မဟုတ် သိပ္ပံပညာရှင်တစ်ယောက် ဖြစ်ဖို့ဆိုတာ အခြားဘာသာစကားတွေကိုလည်း နားလည်အောင် လုပ်ထားရသေး 😅)။

အခု အချိန်နဲ့လိုက်ပြီးပြောင်းလဲတဲ့ မမရဲ့အလှ \frac{df(x)}{dt} မှာ နောက်ထပ် အဓိပ္ပာယ်တစ်ခုလည်း ထပ်တွေ့နိုင်ပါတယ်။ အဲဒါကတော့ ပြောင်းလဲတယ်လို့ ပြောလိုက်တာနဲ့ မပြည့်စုံသေးပါ။ ဘယ်လိုပြောင်းလဲတာလဲ။ တိုးလာတာလား၊ လျော့သွားတာလား။ တစ်ခါ တိုးခြင်းလျော့ခြင်းမှာတောင်မှ ဘယ်လောက်နှုန်းနဲ့ တိုးခြင်းလျော့ခြင်း ဖြစ်တာလဲ။ မြန်မြန်လား၊ နှေးနှေးလား၊ မြန်လိုက်နှေးလိုက်လား စသည်ဖြင့် ထပ်တွေးလို့ရပါတယ်။ ပိုပြီးသဘောပေါက်သွားအောင် အောက်ပါ ပုံလေးတွေနဲ့ တွဲပြီးတော့ လေ့လာကြည့်ပါ။

ပုံ ၁။ မမရဲ့ အလှကို ဖော်ပြသော ဆက်သွယ်ချက်များ
ပုံ ၁။ မမရဲ့ အလှကို ဖော်ပြသော ဆက်သွယ်ချက်များ

ပုံ ၁ (က) မှာ ပြထားတဲ့ ဆက်သွယ်ချက်အတိုင်း ပြောင်းလဲမယ်ဆိုရင် မမဟာ ပုံမှန်နှုန်းနဲ့ ပိုလှလာတယ်လို့ ဆိုနိုင်ပါတယ်။ ၁ ရက်မှာ အလှ ၁ ယူနစ်တိုးလာတာကိုး။ လက်နဲ့ ထောက်ထောက်ပြီး တိုးနှုန်းကို လိုက်ရေတွက်ကြည့်လို့ရပါတယ်။ မှတ်မိအောင် နောက်တစ်ခေါက် ထပ်ပြောပါမယ်။ “အချိန် ၁ ရက် တိုးတိုင်း မမ အလှ ၁ ယူနစ် တိုးသည်။” ၎င်း တိုင်းတာချက်ကို ပြောင်းလဲမှုနှုန်း (တစ်နည်း) ရှိတ်ခြင်း လို့ခေါ်ပါတယ်။ ရှိတ်ခြင်းကို ဘယ်သူတွေက ပုံဖော်ပေးသလဲဆိုတော့ အလှဖော်ပြချက် f(t) (function) လေးက ပုံဖော်ပေးပါတယ်။ ပုံ (က) အပေါ်မှာ သက်ဆိုင်ရာ ဆက်သွယ်ချက်ကို ဖော်ပြပေးထားပါတယ်။

ပုံ ၁ (ခ) မှာတော့ မြန်မြန်ပိုလှလာတဲ့ သဘောတရားကို ပြထားတာပါ။ လိုင်းအပြာလေးကို ကြည့်ပါ။ အပေါ်ကို တက်တဲ့ နှုန်းကို (မျက်စိအမြင်နဲ့ဘဲ ကြည့်မယ်ဆိုရင်တောင်) ပိုမြန်တယ်ဆိုတာ တွေ့ရမှာပါ။ မမ ဘာဆေးတွေ ဝယ်သောက်လိုက်တယ်တော့မသိ၊ ၄ ရက်လောက်အတွင်းမှာကို အလှဒီဂရီက ၁၆ ယူနစ် ဖြစ်သွားတယ်နော်။ မြန်ချက်။ ဒါကို မြန်မြန်တိုးနှုန်းလိုခေါ်ပါတယ်။ ပုံ ၁ (က) နဲ့ မတူတဲ့အချက်က ပုံ ၁ (ခ) ဟာ ကိန်းသေတိုးနှုန်းမဟုတ်ဘဲ နှစ်ဆပွားတိုးလှတာတယ်လို့ ဆိုနိုင်ပါတယ်။ (၂၊ ၄၊ ၆၊ ၈ စသဖြင့် တိုးလာခြင်း)

တတိယပုံ ဖြစ်တဲ့ ပုံ ၁ (ဂ) မှာတော့ ဖြေးဖြေးချင်းတိုးတဲ့ပုံကို ပြထားတာပါ။ ဖြေးဖြေးချင်းတိုးတဲ့အပြင် တိုးနှုန်းဟာလည်း ပိုပိုနှေးလာပါတယ်။ မမ ဆေးသောက်တာနဲ့ မလောက်တော့ပါ။ ဗြူးတီးစလွန်း (Beauty salon) သွားဖို့ လိုအပ်နေပါပြီ 😁 ။ ဘာလို့ဆို သူ့ရဲ့ အလှကတိုးတော့ တိုးပါနဲ့။ ဒါပေမယ့် တိုးနှုန်းရဲ့ တိုးနှုန်းက ပိုပိုပြီးတောင် နှေးနှေးလာတယ်။ ဘာလို့ဆို တစ်ရက်တစ်ရက် တိုးလာတိုင်း တိုးတဲ့နှုန်းက အစပိုင်းမှာ ၀.၅၊ နောက်ရက်တွေကြာလာတော့ ၀.၃၅၊ ၀.၂၉၊ ၀.၂၅ စသည်ဖြင့် လျော့လျော့လာပါတယ်။

မှတ်ချက်။ တိုးနှုန်းမှာလည်း တိုးနှုန်းလျော့နှုန်းဆိုပြီး ထပ်ရှိပါတယ်။ ၎င်းကို နှစ်ခါ ရှိတ်ခြင်း လို့ခေါ်ပါတယ်။ (second degree ဆိုပါတော့)

အထက်ပါ တိုးခြင်းလျော့ခြင်းများကို ပုံမှာ လက်နဲ့ လိုက်ထောက်ပြီး တိုင်းတာနိုင်ပါတယ်။ ဒါပေမယ့် သတိပြုရမှာက ပုံတိုင်းကို လက်နဲ့လိုက်ထောက်ပြီး သင် လိုက်တိုင်းနိုင်ပါ့မလား။ ပုံက ရှင်းရှင်းလေးဆိုတော်သေး။ အောက်ပါ ပုံလိုမျိုးဆို ဘယ်လိုလုပ်တိုင်းမလဲ။ (ပုံ ၂ ကို ကြည့်ပါ)

ပုံ ၂။ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုဖို့တောင် ခက်ခဲတဲ့ မမရဲ့ အလှ
ပုံ ၂။ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုဖို့တောင် ခက်ခဲတဲ့ မမရဲ့ အလှ

ကဲ ဒါမျိုးကျ ငယ်ငယ်က သိထားတဲ့ ရှိတ်ခြင်းဆိုင်ရာ ပုံသေနည်းလေးတွေက အသုံးဝင်လာရော။ တိုးသလား၊ လျော့သလား၊ တိုးနှုန်း၊ လျော့နှုန်း စတာတွေသိနိုင်ဖို့ စာရေးသူတို့ဟာ ပြောင်းလဲခြင်းဆိုရာ သင်္ချာပုံသေနည်းတွေကို သုံးပြီးတွက်ကြပါတယ်။ အခြေခံပုံသေနည်းလေးတစ်ခုလောက် ပြန်ယူသုံးကြည့်ရအောင်။ ဘာတဲ့ “ပါဝါရှေ့ချ၊ ဘေ့စ်ကို ပြန်ရေး၊ ပါဝါထဲက ၁ နုတ်” ဆိုတာလေးမှာ။ ပုံသေနည်းကို ပုံ ၃ မှာ ရှုပါ။

ပုံ ၃။ Differentiation ပုံသေနည်း
ပုံ ၃။ Differentiation ပုံသေနည်း

၎င်းပုံသေနည်းလေးကို အထက်ပါ ပုံ ၁ (က) – (ဂ) ထဲက ဆက်သွယ်ချက်လေးတွေမှာ ပြန်အသုံးချကြည့်ရအောင်။

ပုံ ၁ (က)
f(t) = t
\frac{df(t)}{dt} = (1) t^{1-1} = 1 (ကိန်းသေတိုးနှုန်း)

ပုံ ၁ (ခ)
f(t) = t^{2}
\frac{df(t)}{dt} = (2) t^{2-1} = 2t (နှစ်ဆပွားတိုးနှုန်း)

ပုံ ၁ (ဂ)
f(t) =\sqrt{t}
\frac{df(t)}{dt} = \left(\frac{1}{2}\right) t^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2} t^{ -\frac{1}{2} } = \frac{1}{2\sqrt{t}} (လျော့တိုးနှုန်း)

ဤနည်းဖြင့် တိုးနှုန်း၊ လျော့နှုန်းများကို တွက်ကြည့်နိုင်ပါသည်။

ခုလောက်ဆို စာဖတ်သူစဥ်းစားနေလောက်ပါပြီ။ ၎င်း ရှိတ်ခြင်းဆိုင်ရာ သင်္ချာကို လက်တွေ့ ဘယ်နေရာမှာ သုံးသလဲပေါ့။ အဆိုပါမေးခွန်းရဲ့ အဖြေကို စာရေးသူသိထားသ‌လောက် ပြောပြရရင်တော့ ရှိရှိသမျှ အရာရာတိုင်းနီးပါးမှာ သုံးပါတယ်လို့ ဖြေချင်ပါတယ်။ (ဟုတ်ကဲ့။ ခြွင်းချက်များရှိခဲ့ရင် ပြောပြပေးပါ။ စာရေးသူတော့ လောလောဆယ် ခြွင်းချက်ရှာမတွေ့ပါ။) ဒါကြောင့်လည်း လက်တွေ့လောကမှ ပုစ္ဆာအားလုံးကို ရှိတ်ခြင်းဆိုင်ရာ ညီမျှခြင်း (differential equations) များဖြင့် ရေးသားပြီး ဖြေရှင်းနိုင်ကြပါတယ်လို့ ဆိုရခြင်းပါ။ အသုံးချသင်္ချာပညာ၊ သိပ္ပံပညာ၊ အင်ဂျင်နီယာပညာ၊ ရူပဗေဒ၊ ဓာတုဗေဒ၊ ဇီဝဗေဒ၊ ဘောဂဗေဒ၊ လျှပ်စစ်အရွေ့၊ မက္ကင်းနစ်၊ အိုင်းစတိုင်းရဲ့ နှိုင်းရညီမျှခြင်း၊ ကွမ်တမ်မက္ကင်းနစ် စသည်စသည် (မဆုံးနိုင်သော စသည့်) နယ်ပယ်အသီးသီးမှာ အသုံးပြုကြပါတယ်။ စာရေးသူရဲ့ ဆောင်းပါးလေးကို ဒီမျှနဲ့ပဲ နိဂုံးချုပ်ပါရစေ။ Comment တွေမှာ ဝင်ရောက်ဆွေးနွေးပေးကြဖို့လည်း ဖိတ်ခေါ်ပါတယ်။ စာဖတ်သူတို့ရဲ့ စိတ်ဝင်စားမှုအပေါ်လိုက်ပြီး နောက်ထပ် Post တွေကို တင်ပေးမှာမို့လို့ပါ။ ကျေးဇူးအထူးတင်ပါသည်။

မေတ္တာဖြင့်

#yp