အရှေ့မှာ Differentiation နဲ့ ပတ်သက်ပြီး ဆောင်းပါးနှစ်ပုဒ် ရေးခဲ့ပြီးပါပြီ။ “ရှိတ်သလား ရိတ်သလား” လို့ အမည်ပေးထားတဲ့ ဆောင်းပါးလေးမှာ မမအလှတိုးလာတဲ့ ဥပမာလေးနဲ့ ပြောင်းလဲခြင်းအကြောင်းကို ရှင်းပြခဲ့ပါတယ်။ နောက်တစ်ခါ “Derivative ၏ နောက်ကွယ်” ဆိုတဲ့ ဆောင်းပါးလေးမှာတော့ ရှိတ်ခြင်းဆိုင်ရာ ပုံသေနည်းလေး ဖြစ်မြောက်လာစေဖို့ လိုအပ်တဲ့ သင်္ချာ Concepts တွေအကြောင်းကို အမြည်းသဘောမျှ ဖော်ပြပေးခဲ့ပါတယ်။
အခု ဒီဆောင်းပါးလေးမှာတော့ ပြောင်းလဲခြင်း (Differentiation) တွေအကြောင်း ပိုမိုနားလည်သွားအောင် ဥပမာလေးတစ်ခုလောက် ထပ်ပေးပြီး ရှင်းပြချင်ပါတယ်။ ဆိုပါတော့၊ သင်က ရန်ကုန်ကနေ မန္တလေးကို ကားမောင်းပြီးသွားမယ်။ ဒီမြို့နှစ်မြို့ကြား အကွာအဝေးက ပျှမ်းမျှအားဖြင့် ၆၃၀ ကီလိုမီတာ (၃၉၀ မိုင်) လောက်ရှိပါတယ်။ အကယ်၍ သင်ဟာ မနက် ၅ နာရီလောက် ရန်ကုန်ကထွက်ပြီး နေ့လည် ၁၂ နာရီတိတိမှာ မန္တလေးကို ရောက်တယ်ဆိုပါတော့။ သင့်ကားရဲ့ ပျှမ်းမျှအမြန်နှုန်း (average speed) ကို တွက်ချင်ရင် သွားခဲ့တဲ့ ခရီးမိုင် စုစုပေါင်းကိုတည်ပြီး ကြာချိန်နဲ့ စားရပါတယ်။ မနက် ၅ နာရီကနေ နေ့လည် ၁၂ နာရီဆိုတော့ ကြာချိန်က ၇ နာရီပေါ့နော်။ ဒီတော့
ခရီးမိုင်ပေါင်း / ကြာချိန် = ၆၃၀ / ၇ = တစ်နာရီ ကီလိုမီတာ ၉၀ ( ၃၉၀ / ၇ = တစ်နာရီ ၅၆ မိုင်နှုန်း)
အပေါ်မှာပြထားတဲ့အတိုင်း တွက်လိုက်တဲ့အခါ သင့်ကားရဲ့ မြန်နှုန်းဟာ တစ်နာရီ ၉၀ ကီလိုမီတာ (သို့မဟုတ်) ၅၆ မိုင်နှုန်းနဲ့ သွားနေတာကို တွေ့ရပါမယ်။ ၎င်းကို ကားရဲ့ ပျှမ်းမျှမြန်နှုန်း (average speed) လို့ ခေါ်ပါတယ်။ ပျှမ်းမျှရဲ့ သဘောအရ သင့်ရဲ့ကားဟာ ခရီးစဥ်တစ်လျှောက်လုံး ပြောင်းလဲခြင်းမရှိတဲ့ အမြန်နှုန်းတစ်ခုနဲ့သာ ရွေ့နေမှာပါ။ တစ်နေရာကနေ တစ်နေရာရောက်ဖို့ အကွာအဝေးတန်ဖိုးတွေ ပြောင်းနေပေမယ့်လည်း အမြန်နှုန်းကတော့ ကိန်းသေနဲ့သာ ရွေ့နေတာမို့ သင့်ကားဟာ အရှိန်မရှိဘူးလို့ ပြောလို့ရပါတယ်။ အဆိုပါ သဘောတရားကို အောက်ပါအတိုင်း အလွယ်နားလည်ကြည့်လို့ရပါတယ်။
- အကွာအဝေး (distance)
- အမြန်နှုန်း (speed) – အချိန်နဲ့လိုက်၍ အကွာအဝေးရဲ့ ပြောင်းလဲခြင်း
- အရှိန် (acceleration) – အချိန်နဲ့လိုက်၍ အမြန်နှုန်းရဲ့ ပြောင်းလဲခြင်း
Level အဆင့်လေးတွေ ပြောင်းသွားသလိုပဲလို့ အလွယ်မြင်ကြည့်နိုင်ပါတယ်။ အကွာအဝေးကို အချိန်နဲ့ ရှိတ်လိုက်ရင် အမြန်နှုန်းကိုရပါတယ်။ တစ်ခါ အမြန်နှုန်းကို အချိန်နဲ့ ထပ်ရှိတ်လိုက်တဲ့အခါ အရှိန်ကို ရပါတယ်။ ဒီနေရာမှာ မှားယွင်းနိုင်တာ တစ်ခုက ရှိတ်လိုက်ရင် ကိန်းဂဏန်းတန်ဖိုး လျော့သွားတယ်ဆိုပြီး မှတ်ထားတာမျိုးပါ။ ကိန်းဂဏန်းတန်ဖိုးဟာ ဖန်ရှင်ဆက်သွယ်ချက်ပေါ် မူတည်ပြီး လျော့ခြင်း၊ တိုးခြင်း၊ အတူတူဖြစ်နေခြင်း စသဖြင့်ကြိုက်ရာ ဖြစ်နိုင်ပါတယ်။ ထပ်ကိန်းတန်ဖိုး တစ်ဆင့်လျော့သွားခြင်းသာ ဖြစ်ပါတယ်။ ဥပမာ 
အထက်မှာဖော်ပြခဲ့တဲ့ ရန်ကုန်-မန္တလေး ဥပမာထဲမှာတော့ သင့်ရဲ့ ကားဟာ အမြန်နှုန်းပြောင်းလဲခြင်း မရှိတဲ့အတွက် အရှိန်မရှိနိုင်ပါ။ အရှိန်ဆိုတာ အမြန်နှုန်းပြောင်းမှသာ ရှိနိုင်ပါတယ်။ အကယ်၍များ သင်က လမ်းမှာ မီးပွိုင့်မိလို့ပဲ ဖြစ်ဖြစ်၊ လမ်းအနည်းငယ်ပိတ်လို့ပဲဖြစ်ဖြစ် အရှိန်လျော့မောင်းခဲ့ရတယ် ဆိုပါစို့။ ဒါဆိုရင် သင်ဟာ မန္တလေးကို နေ့လည် ၁၂ နာရီထက်နောက်ကျပြီးမှ ရောက်တော့မှာပါ။ အရှိန်လျော့မောင်းခဲ့ရတာကိုး။ အကယ်၍ မူလက ရည်ရွယ်ထားတဲ့အတိုင်း မန္တလေးကို နေ့လည် ၁၂ နာရီတိတိ ရောက်ချင်တယ်ဆိုရင်တော့ လမ်းရှင်းတဲ့ နေရာတစ်ချို့မှာ အရှိန်တင်ပြီး မောင်းသင့်ရင် မောင်းရပါမယ်။ ဒါမှလည်း အရှေ့တုန်းက လမ်းပိတ်လို့ အရှိန်လျော့ထားရတာတွေနဲ့ ပြန်ကာမိမှာပါ။
လမ်းပိတ်တဲ့အခါ အရှိန်လျော့မောင်းရပြီး လမ်းရှင်းတဲ့အခါ အရှိန်တင်မောင်းနေမယ့် သင့်ရဲ့ ကားလေးကို မျက်စိထဲမှာ မြင်ယောင်ကြည့်လိုက်ပါ။ ဘယ်လိုဖြစ်နေမလဲ။ မြန်လိုက်၊ နှေးလိုက် ဖြစ်နေမှာပေါ့နော်။ မြန်တာ၊ နှေးတာ စသဖြင့် ပြောင်းလဲခြင်း ရှိပြီဆိုတာနဲ့ ရှိတ်ခြင်းကိုသာ ပြေးသတိရလိုက်ပါ။ ဒီနေရာမှာ အပေါ်က တင်ပြခဲ့တဲ့ distance တို့၊ speed တို့ acceleration တို့နဲ့ ချိန်ထိုးကြည့်လိုက်ရင် Distance ဟာ သွားနေ ရွေ့နေတာဖြစ်လို့ အမြဲပြောင်းနေပါမယ်။ ဒါကြောင့် အမြန်နှုန်း (speed) ဆိုတာရှိပါတယ်။ အခုတော့ ကားဟာ မြန်လိုက်နှေးလိုက် ဖြစ်နေမှာမို့ အမြန်နှုန်းမှာလည်း အပြောင်းအလဲရှိသွားပါပြီ။ ဤသို့ အမြန်နှုန်းရဲ့ ပြောင်းလဲခြင်းကို acceleration (တိုးရှိန်) နဲ့ deceleration (ဆုတ်ရှိန်) ဆိုပြီး ဘာသာရပ်ဆိုင်ရာမှာ သုံးနှုန်းလေ့ရှိကြပါတယ်။ နားလည်သဘောပေါက်လိမ့်မယ်လို့ ထင်မြင်မိပါတယ်။
မှတ်ချက်။ စဥ်းစားရတာ လွယ်ကူအောင်လို့ ဦးတည်ချက် (direction) နဲ့ ကားလုံးဝရပ်သွားတဲ့ ဖြစ်ရပ် (ဥပမာ မီးပွိုင့်လိုနေရာမျိုး) တွေကို ထည့်မစဥ်းထားပါ။ ဤသို့ ပုစ္ဆာကို ပိုမိုရှင်းလင်းသွားအောင် ပြုလုပ်ပြီး လေ့လာခြင်းက စာရေးသူတို့ကို ပိုမိုနက်နဲတဲ့ နားလည်မှုကို ပေးစွမ်းနိုင်သလို ထိုနားလည်မှုမှတစ်ဆင့် ပိုမို ခက်ခဲတဲ့ ပုစ္ဆာတွေကိုလည်း ဖြေရှင်းနိုင်စေမှာ ဖြစ်ပါတယ်။
ကဲ ဟုတ်ပြီ။ အခု ဒါတွေကို သိထားပြီး ဘာလုပ်လို့ရပါသလဲ။ ဒီမေးခွန်းရဲ့ အဖြေကိုသိဖို့ နောက်ထပ်ဥပမာလေးတစ်ခုကို ဆက်ကြည့်ကြရအောင်။ ဖော်ပြခဲ့ပြီးဖြစ်တဲ့အတိုင်း သင်ဟာ မနက် ၅ နာရီတိတိမှာ ရန်ကုန်ကထွက်ပါတယ်။ ၃ နာရီလောက် ကားမောင်းပြီးသွားရင် ဘယ်နားလောက်ရောက်နေမလဲ ဆိုတာကို သင်္ချာနည်းနဲ့ ခန့်မှန်းတွက်ချက်ကြည့်ချင်တယ် ဆိုပါတော့။ ဥပမာ ပဲခူးလား၊ ဖြူးလား၊ တောင်ငူလား၊ ဒါမှမဟုတ် ကြားထဲက လမ်းခုလတ်တစ်နေရာလား စသည်ဖြင့်ပေါ့။
အရင်ဆုံး တွက်ရပိုလွယ်တဲ့ ပျှမ်းမျှမြန်နှုန်း သဘောကို သုံးပြီးတွက်ကြည့်ရအောင်။ အထက်မှာ တွက်ပြခဲ့တဲ့အတိုင်း သင့်ရဲ့ကားဟာ ပျှမ်းမျှမြန်နှုန်း တစ်နာရီကို ၉၀ ကီလိုမီတာ (၅၆ မိုင်) ရှိပါတယ်။ ၁ နာရီကို ၉၀ ကီလိုမီတာနှုန်းနဲ့ ရွေ့တဲ့ကားဟာ ၃ နာရီလောက်ကြာတဲ့အခါ
ကြာချိန် x အမြန်နှုန်း = ၃ x ၉၀ = ၂၇၀ ကီလိုမီတာ (၃ x ၅၆ = ၁၆၈ မိုင်)
သွားရောက်ခဲ့ပြီးဖြစ်နေမှာပါ။
ဒါဟာ မှန်ပါသလား 🤔🤔။ ဟုတ်ကဲ့၊ သင်ဟာ အရှိန်လည်း မတင်ဘူး၊ အရှိန်လည်း မလျော့ဘူး၊ တစ်လမ်းလုံး စထွက်ကတည်းနေ ၃ နာရီကြာတဲ့အထိ အမြန်နှုန်းတစ်ခုတည်းနဲ့ပဲ မောင်းဖြစ်ခဲ့ရင်တော့ မှန်ပါတယ်။ အကယ်၍များ သင်ဟာ ရန်ကုန်ကအထွက်မှာ ကားပိတ်တာလေး နည်းနည်းဖြစ်လိုက်တယ်ဆိုရင်ပဲ သင့်ရဲ့ ကားဟာ ၂၇၀ ကီလိုမီတာကို ၃ နာရီအတွင်း မရောက်နိုင်တော့ပါ။ ဒါဆို သင့်ရဲ့ကား ၃နာရီအတွင်း ရောက်နေလောက်မယ့် နေရာကို ပျှမ်းမျှမြန်နှုန်း သဘောတရားသုံးပြီး တွက်ချက်ခြင်းက အဖြေမှန် ဖြစ်ချင်မှ ဖြစ်မှာပါ။။ ပညာရှင်တွေ (အထူးသဖြင့် သင်္ချာနဲ့ သိပ္ပံဘာသာရပ်တွေမှာ) ပုံသေနည်းတွေကို တွက်ထုတ်တဲ့အခါ တတ်နိုင်သမျှ အထွေထွေသုံး (generalized approach) ဖြစ်စေဖို့ အားထုတ်ကြပါတယ်။ ဒီတော့ အမြန်နှုန်းတို့၊ အရှိန်တို့ကိုလည်း ဘယ်လိုအခြေအနေမျိုးပဲရောက်ရောက် မှန်အောင်တွက်ချက်နိုင်မယ့် နည်းလမ်းရှာဖွေကြပါတယ်။ အဲဒီမှာ Derivative ရှိတ်ခြင်း ဆိုပြီးတော့ ပုံသေနည်းတွေ ပေါ်ပေါက်လာတာပါ။
ခုနက ဥပမာလေးနဲ့ ဆက်ပြီးပြောရရင်တော့ သင့်ကားဘယ်ရောက်နေသလဲဆိုတာကို အတိအကျသိရဖို့ ရှိတ်ခြင်း (Differentiation) ပုံသေနည်းတွေကို သုံးပြီးတွက်လို့ရပါတယ်။ ဤသို့ တွက်ချက်ခြင်းမှ ရရှိလာတဲ့ အမြန်နှုန်းကို ဘာသာရပ်ဆိုင်ရာမှာ Instantaneous speed (ဆက်တိုက်ဖြစ်သော အမြန်နှုန်း) လို့ ခေါ်ပါတယ်။ ဒီပုံသေနည်းလေးက သင်မြန်မြန်ပဲမောင်းမောင်း၊ နှေးနှေးပဲ မောင်းမောင်း၊ ကိန်းသေမြန်နှုန်းနဲ့ပဲ မောင်းမောင်း၊ ဘယ်လိုမောင်းမောင်း မှန်ကန်တဲ့အဖြေကို ပေးစွမ်းနိုင်ပါတယ်။
မှတ်ချက်။ Relativistic နဲ့ ပတ်သက်တဲ့ အမြင်များကိုလည်း မလိုအပ်ဘူးဟု ယူဆမိပါသဖြင့် ချန်လှပ်ထားခဲ့ပါသည်။ ဒါကြောင့် အချိန်ကို ပကတိအတိုင်းအတာ တန်ဖိုးတစ်ခုအဖြစ်နဲ့သာ ရှုမြင်ပါမည်။
အချုပ်အနေနဲ့ပြောလိုတာက စာရေးသူတို့ဟာ ဒီဆောင်းပါးလေးမှာ ရှိတ်ခြင်းနဲ့ သက်ဆိုင်တဲ့ အခြေခံသဘောတရားလေးကို လက်တွေ့နည်းနဲ့ ရှုမြင်နေကြတာပဲ ဖြစ်ပါတယ်။ ဘာသာရပ်ဆိုင်ရာမှာ ဒီနည်းလမ်းကို physical interpretation လို့ ခေါ်ဆိုပါတယ်။ ရှိတ်ခြင်းကို ဂျီသြမေတြီနည်း (geometric interpretation) နဲ့လည်း ရှုမြင်ကြည့်နိုင်ပါသေးတယ်။ ဒါကိုတော့ နောက်လာမယ့် ဆောင်းပါးမှာ ထပ်မံရှင်းပြပါမယ်။
ဖတ်ရှုအားပေးတဲ့အတွက် ကျေးဇူးအထူးတင်ပါတယ်။
မေတ္တာဖြင့်
#yp