Topic ကတော့နည်းနည်းကြီးကျယ်နေမလား မသိဘူး။ ဒါပေမယ့် တကယ်လည်းကစားကြည့်လိုက်တာပါ။
တစ်နေ့က သူငယ်ချင်းတစ်ယောက် ကျွန်တော့်ကို အကူအညီလာတောင်းတယ်။ သူကျွန်တော့်ကိုပုစ္ဆာလေးတစ်ပုဒ်တွက်ခိုင်းတယ်။ Problem က ဒီလို ….

A ball is moving on the ground. The distance function of the ball is given
by s=8t-t2 (ft). Find the speed of the ball at t = 3 sec, and the time when the speed of the ball is zero.

(ပုစ္ဆာရဲ့ ဆိုလိုရင်းကတော့… ဘောလုံးတစ်လုံးဟာ မြေကြီးပေါ်မှာရွေ့လျားနေတယ်။ အဲလိုရွေ့လျားနေတဲ့အခါ ဘောလုံးရဲ့ distance ဖန်ရှင်က s=8t-t2 ဖြစ်တယ်။ ဆိုတော့ ကြာချိန် ၃ စက္ကန့်မှာရှိမယ့် ဘောလုံးရဲ့ အမြန်နှုန်း နှင့် ဘောလုံးရဲ့အမြန်နှုန်းသုညဖြစ်စေမယ့် ကြာချိန်ကိုရှာပေးပါတဲ့)။

စိတ်ဝင်စားစရာကောင်းတဲ့ပုစ္ဆာလေးပါပဲ။ ပြီးတော့ calculus ဆိုတာဆယ်တန်းအောင်ရုံအဆင့်ပါပဲလို့ တွေးထင်ထားတဲ့လူငယ်လေးတွေအတွက်လည်း အမြင်ပြောင်းသွားစေမယ်လို့ထင်ပါတယ်။ ကဲ….ရှင်းကြည့်ကြမယ်။

ပထမမေးထားတာက ဘောလုံးရဲ့အမြန်နှုန်း…။
ဟ…အမြန်နှုန်းဆိုတော့ လွယ်လွယ်လေးရယ်..။ distance ကို time နဲ့စားလိုက်ရင်ပြီးပြီပေါ့။ အဲလို တွေးရင်တော့ မှားပြီဗျ။ ဒါဆို မေးစရာရှိတာက ကိုးတန်းရူပဗေဒမှာ speed(v)=distance(d)/time(s) ဆိုပြီးသင်ခဲ့ရတယ်လေ…
အခု ဘောလုံးရဲ့ speed ကိုမေးထားတယ်ဆိုတော့ v=s/t နဲ့တွက်လိုက်ရင်ပြီးပြီပေါ့။ အဲဒါကိုမှမှားတယ်ဆိုတော့ ခင်ဗျားဂေါက်နေပြီလားပေါ့…
အဲလိုမေးစရာလေးတစ်ချက်ရှိပါတယ်။ အဲလိုလည်းမဟုတ်သေးဘူးဗျ။ အဲဒီ v=s/t ဆိုတာ s=vt ဆိုတဲ့ distance ဖန်ရှင်ကနေ တွက်ထုတ်ထားတာ။
ပြောချင်တာက s=vt ဆိုတာ ပါဝါကတစ်ထပ်ပဲဖြစ်တဲ့အတွက် Linear equation ဖြစ်တယ်။ ဖန်ရှင်ရှုထောင့်ကကြည့်ရင်လည်း linear function ဆိုတော့speed ကကိန်းသေပဲဖြစ်မှာ။
Linear function တိုင်းရဲ့ ပြောင်းလဲနှုန်း (Rate of change)ဟာ အမြဲတမ်းကိန်းသေဖြစ်တယ်။ အခု s=vt ဆိုတာ distance ဖန်ရှင်ဖြစ်တဲ့အတွက် v(speed) ဆိုတာ s = vt ဖန်ရှင်ရဲ့ ပြောင်းလဲနှုန်း (Rate of Change) ကိုဆိုလိုတာပေါ့ဗျာ … ဆိုလိုတာကတော့ v=s/t ဆိုတာ distance ဖန်ရှင်က linear equation ဖြစ်မှ၊ linear function ဖြစ်မှ သုံးလို့ရတာပါ။ အခု problem မှာပေးထားတဲ့ distance ဖန်ရှင်က ပါဝါနှစ်ထပ်ကိန်းဖြစ်တဲ့အတွက်
linear function မဟုတ်တော့ဘူး။ ဂရပ်ဆွဲကြည့်ရင်ပိုမိုသိသာတယ်။ အောက်ပုံမှာ ကျွန်တော် ဂရပ်ဆွဲပြထားတယ်။

ဒါ့ကြောင့် Speed ကိုလိုချင်ရင် v=s/t ဆိုပြီးသွားလုပ်လို့မရတော့ဘူး။ ဆိုတော့…. ဘယ်လိုတွက်မလဲလို့မတွေးမိဘူးလား။ ဘယ်လိုတွက်မလဲဆိုတော့ Differential Calculus နဲ့တွက်မယ်။ ဟုတ်ပါတယ်…Differential Calculus နဲ့ Linear function မဟုတ်တဲ့ Non-linear function တွေရဲ့ ပြောင်းလဲနှုန်း (Rate of change) ကိုတွက်ထုတ်လို့ရပါတယ်။ ဆိုတော့…
s=8t-t2 ဆိုတဲ့ဖန်ရှင်ဟာ Non-linear function ဖြစ်ပြီးတော့ ဒီဖန်ရှင်ရဲ့ပြောင်းလဲနှုန်းဆိုတာ ပုစ္ဆာကမေးထားတဲ့ speed ကိုပြောတာပါ။ ကဲ…ဒါဆို… s=8t-t2 ကို Derivative လုပ်လိုက်ရင် (Derivative လုပ်တယ်ဆိုတာ နန်းလီနီယာဖန်ရှင်တွေရဲ့ ပြောင်းလဲနှုန်းကိုရှာတာပါ) ds/dt=8-2t ဆိုပြီးဖြစ်သွားမယ်။ အဲဒီ ds/dt ဆိုတာ s=8t-t2 ရဲ့ ပြောင်းလဲနှုန်း (သို့) speed ပါပဲ။ ဒါ့ကြောင့်

\displaystyle \text{speed of the ball } = \frac{ds}{dt} = 8 - 2t

ဆိုပြီးဖြစ်သွားမယ်။ ပြီးတော့ အခုက t=3 sec အကြာ မှာဖြစ်ပေါ်မယ့် ဘောလုံးရဲ့ speed ကိုမေးထားတယ်ဆိုတော့ ds/dt = 8-2t မှာ 3 sec ကိုအစားသွင်းရုံပါပဲ။ ဒါ့ကြောင့်

\displaystyle \text{speed of the ball at } t = 3 \text{ sec,}
\displaystyle \frac{ds}{dt} = 8 - (2 \times 3) = 8 - 6 = 2 \text{ft/sec}

ဆိုပြီးဖြစ်သွားလိမ့်မယ်။

အဓိပ္ပါယ်ကတော့ ဘောလုံးဟာ 3 sec အရောက်မှာ တစ်စက္ကန့်မှာ ၂ပေနှုန်းနဲ့ ရွေ့သွားတယ်ဆိုတာပါပဲ။ ဒါဆို 2sec မှာဆိုရင်ကော တစ်စက္ကန့်မှာ ၄ ပေနှုန်း နဲ့ပဲပေါ့။ speed ကကိန်းသေမဖြစ်တော့ဘူး။

အချိန်နဲ့လိုက်ပြောင်းနေတဲ့သဘော။ ဒါ့ကြောင့် v=s/t ကိုမသုံးဘဲ derivative လုပ်လိုက်ရတာပေါ့။ ကဲ…ဒုတိယတစ်ပိုင်းပဲကျန်တော့တယ်။

ဘောလုံးရဲ့အမြန်နှုန်း သုည ဖြစ်စေမယ့် ကြာချိန်ကိုရှာရမယ်ဆိုတော့ ds/dt=0 ဖြစ်သွားတာကိုပြောတာပေါ့။ ဆိုတော့…

\displaystyle \frac{ds}{dt} = 0   အရ…

\displaystyle 8-2t=0 \text{ (where } \frac{ds}{dt} = 8 - 2t\text{)}

\displaystyle 8-2t=0

\displaystyle 2t=8

\displaystyle \therefore t=4 \text{ sec}

အဓိပ္ပါယ်က အချိန် ၄ စက္ကန့်အရောက် မှာတော့ ဘောလုံးရဲ့ speed ဟာသုည ဖြစ်နေခဲ့တယ်။ တနည်းအားဖြင့် ဘောလုံးဟာရပ်တန့်နေတယ်။ ဂရပ် နဲ့တွဲကြည့်လိုက်ရင် ပိုရှင်းသွားပါလိမ့်မယ်။ ဒါပေမယ့် ဒီပုစ္ဆာဟာ အသုံးချကဲကုလပုစ္ဆာဖြစ်တဲ့အတွက် Derivative ရဲ့အခြေခံကိုသိမထားရင်တော့ ပုစ္ဆာရဲ့အလှတရားကိုမြင်တွေ့နိုင်မှာမဟုတ်ပါဘူး။

အမှန်က ကျနော်တို့ရဲ့လောကကြီးဟာမတည်တဲ့မြဲတဲ့လောကကြီးပါ။ တစ်နည်းအားဖြင့် အမြဲတမ်းပြောင်းလဲနေတဲ့လောကကြီးပါ။ အဲလိုပြောင်းလဲနေတဲ့အရာတွေထဲမှာမှ တစ်ချို့ကပုံမှန်ပြောင်းလဲတယ်။ တစ်ချို့က မူမမှန်ပြောင်းလဲတယ်။ ဒါပေမယ့်… ဘယ်လိုပြောင်းပြောင်း၊ ပြောင်းလဲခြင်းအတွက် အဖြေပေးထားတဲ့ Calculus ထဲကတော့ သွေဖယ်လို့မရနိုင်ပါဘူး။ ဒါ့ကြောင့် Calculus

ကိုဘာ့ကြောင့်သင်ယူနေရသလဲလို့ ကျွန်တော့်ကို လာမေးရင်တော့…

“ကျွန်တော်လောကကြီးအကြောင်းကိုယုတ္တိကျကျနားလည်ချင်လို့ပဲ”

ဆိုပြီး ပြန်ဖြေမိလိမ့်မယ်။

ဒါ့ကြောင့် ခင်ဗျားအနေနဲ့ လောကကြီးကိုသင်္ချာနဲ့ သရုပ်ဖော်ချင်ရင် Calculus ကိုတော့ ရဲရဲကြီးရင်ဆိုင်ရဲရမယ်။ Calculus ကိုတွေ့ရှိခဲ့တဲ့ နယူတန် နှင့် လစ်ဗနစ် တို့ကိုတော့ တကယ်ကိုမလေးစားဘဲမနေနိုင်တော့ဘူး။ သူတို့မို့လို့ Calculus ကိုတွေ့နိုင်ရက်တယ်။ ဒါပေမယ့် ကျွန်တော်တို့နိုင်ငံမှာ ဖြစ်ပျက်နေတာက ဝမ်းနည်းစရာကောင်းတယ်။ Calculus ကိုသင်ယူဖူးတဲ့ဆယ်တန်း အဆင့်ကျောင်းသားတွေအစ၊ တက္ကသိုလ်ကျောင်းသားတွေအထိ Calculus problem တွေကိုတွက်ချက်နိုင်ကြတယ်။ ဒါပေမယ့် ဘာ့ကြောင့် derivative လုပ်ရတယ်၊ ဘာ့ကြောင့် integral လုပ်ရသလဲလို့မေးရင်
အကြောင်းစုံဖြေနိုင်တဲ့သူခပ်ရှားရှားပဲရှိပါလိမ့်မယ်။ ဘာနဲ့တူသလဲဆိုတော့”စားလို့သာကုန်သွားတယ်၊ ပြောင်းမှန်း၊ ဆန်မှန်းမသိလိုက်ဘူး” ဆိုတဲ့စကားပုံနဲ့သွားတူတယ်။ အနှစ်သာရကင်းမဲ့ကုန်တယ်။ ရှက်စရာလဲကောင်းပါတယ်။ ကျွန်‌တော်နားလည်သလောက်တော့ အဖွဲ့အစည်းတစ်ခုဟာရာခိုင်နှုန်းပြည့်နီးပါး အောင်မြင်ရင် အဲဒါဖွဲ့စည်းပုံစနစ်ကောင်းလို့၊ ရာနှုန်းတစ်ဝက်ထိအောင်မြင်ရင် ဖွဲ့စည်းပုံနှင့်အဖွဲ့အစည်းထဲကသူတွေရဲ့လုပ်ဆောင်ပုံတွေ နည်းနည်းလိုအပ်နေသေးလို့၊ ဒါပေမယ့်ရာနှုန်းတစ်ဝက်ထိတောင်ရောက်ဖို့ခက်ခဲတယ်ဆိုရင်တော့ အဲဒီဖွဲ့စည်းပုံဟာ အလွန်ညံ့ဖျင်းလို့ပါ။ တိုင်းပြည်အပေါ်မှာ၊ တိုင်းရင်းသားတွေအပေါ်မှာ ချစ်ခင်တဲ့စိတ်မရှိတဲ့အုပ်ချုပ်သူတွေရှိနေသရွေ့ လူငယ်တွေခမျာလည်း ပြောင်းမှန်း၊ ဆန်မှန်း မသိဘဲ ဆက်စားနေရမှာပဲ။ လူငယ်တွေဘက်ကနေ ရင်နာလို့ feel မိပါတယ်။ ဘယ်သူ့မှမရည်ရွယ်ပါဘူး။

ဆရာသောင်း