Simple harmonic oscillator ဆိုတဲ့ ဒီခေါင်းစဉ်လေးက အင်မတန်အခြေခံကျပြီး နက်နဲတဲ့ သဘောတရား (concept) တွေအများကြီးပါတယ်။ နက်နဲတယ်ပဲ ပြောတာနော်။ ခက်ခဲတယ်လို့ မဆိုလိုဘူး။ သေချာတစ်ဆင့်ချင်း တစ်ကွက်ခြင်း လေ့လာသွားရင် သဘာဝတရားကြီးအကြောင်း နားလည်မှု တစ်စုံတစ်ရာကို ရရှိမှာပါ။ ရူပဗေဒ၊ သင်္ချာနဲ့ အင်ဂျင်နီယာသင်ကြားဖူးသူများကတော့ ဒီခေါင်းစဉ်ကို ရင်းရင်းနှီးနှီး သိကောင်းသိနေကြပါလိမ့်မယ်။ ဘာလို့ဆို သူ့ကနေတဆင့် ပိုပြီး အဆင့်မြင့်တဲ့ ပညာရပ်တွေကိုတောင် ဆက်လက်လေ့လာချင်လေ့လာနိုင်ဦးမှာမို့ပါ။ ဟာ ‘သဘာဝတရားကြီးတွေ၊ အဆင့်မြင့်ပညာရပ်တွေ နဲ့ ခင်ဗျား တယ်ဆိုတဲ့စာပါကလား’ လို့တောင် တချို့တွေးကောင်းတွေးထင်နေပါမယ်။ ဘာမှမဟုတ်ဘူး။ ခေါင်းစဉ်ရဲ့ အကြောင်းအရာ၊ သီအိုရီအတိမ်အနက်ကို သတိထားမိစေချင်လို့ အခုလို နိဒါန်းချီးရေးသားလိုက်ရတာပဲ ဖြစ်ပါတယ်။ ဟုတ်ပြီဗျာ။ သင်္ချာသဘောတရား၊ ရူပဗေဒသဘောတရားနဲ့ အခြားသော သက်ဆိုင်ရာ ပညာရပ်အသုံးအနှုန်းလေးတွေကို စာရေးသူနဲ့အတူ ဆွေးနွေးကြည့်ကြရအောင်လား။
မှတ်ချက်။ ။ ခဲတံ သို့ ဘောပင်ကိုင်ပြီး အသေအချာမှတ်သားဖတ်ရှုနိုင်မယ်ဆိုရင်တော့ အကောင်းဆုံးပေါ့ဗျာ။ အနည်းဆုံး မိမိဘာတွေထပ်ပြီး လေ့လာဖတ်မှတ်ဖို့လိုမလဲဆိုတာကို သိနိုင်ပါလိမ့်မယ်။ ပြောမယ့်သာပြောတာ၊ ဘယ်နှယောက်လောက် ဒီဆောင်းပါးကို အသေအချာဖတ်ဖြစ်ကြမလဲ မသိဘူး။ သိတဲ့အတိုင်း entertainment များတဲ့ ဖေ့ဘုတ်လိုမျိုးမှာ လာရှယ်ရတာဆိုတော့လည်း 😅။ ဒီတော့ သိချင်တဲ့သူတွေဖတ်ကြပေါ့ကွယ်။ အဲ အဲ မသိချင်လည်း မဖတ်နဲ့ပေါ့ 😂။ တစ်ခုတော့ ရှိတယ်။ ဒီဆောင်းပါးက ကျောင်းစာသင်ခန်းထဲမှာ ရှင်းသလိုမျိုးတော့ ရှင်းထားမှာ မဟုတ်ဘူး။ စာရေးသူနားလည်တဲ့အတိုင်း (တစ်နည်း ခေါင်းထဲပေါ်သလို) ရေးထားမှာဆိုတော့ စာသံပေသံ နည်းကောင်းနည်းနေနိုင်တယ်။ ဒီတော့ လိုအပ်ချက်တွေ တွေ့ရင်လည်း comment မှာဖြစ်ဖြစ်၊ စာရေးသူကို တိုက်ရိုက်ဆက်သွယ်ပြီးတော့ဖြစ်ဖြစ် ထောက်ပြနိုင်ပါတယ်။ အဓိကရည်ရွယ်ချက်ကတော့ စာဖတ်သူကို နားလည်မှုအဆင့်တစ်ခု ပေးစွမ်းဖို့ပါ။ ဒါ့ကြောင့်လည်း ‘မိတ်ဆက်’ ဆိုပြီးတော့ပဲ ပြောထားရတာပါ။ အသေးစိတ်နားလည်လိုသူတွေအတွက် ဆက်လက်လေ့လာနိုင်မယ့် reference pdf နဲ့ video အချို့ကို ဆောင်းပါးအဆုံးမှာ ဖော်ပြပေးထားပါတယ်။
Simple harmonic oscillator ဆိုတာ ဘာလဲ
ထုံးစံအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက်ကလေးကနေ စကြတာပေါ့။ Simple harmonic oscillator ၊ မြန်မာလိုတိုက်ရိုက်ပြန်မယ်ဆို ‘ရိုးရှင်းတဲ့ စည်းချက်ကျ တုန်ခါကိရိယာ’ လို့အဓိပ္ပာယ်ထွက်တယ်။ (ထောင့်တောင့်တောင့်ကြီးနော်။ စာရေးသူရဲ့ ဘာသာပြန်စကေး ညံ့လို့ပါကွယ်) ဒါကြောင့် အထာကျကျ တုန်ခါတဲ့ကောင် လို့သာ ခပ်လွယ်လွယ်ပဲ မှတ်ကြချေ 😁။ တခြား simple မဟုတ်တဲ့ကောင်တွေလည်း အများကြီးရှိပါသေးတယ်။ ဒါတွေက နောက်မှပဲဖြည်းဖြည်းချင်း ပြောကြတာပေါ့ကွယ်။ အခုလောလောဆယ်တော့ simple harmonic oscillator ကိုပဲ focus ထားကြည့်ပါမယ်။ သူ့က ဘယ်လိုအလုပ်လုပ်သလဲဆိုရင် မူလနေရာ (မျှခြေ) ကနေ ရွေ့လိုက်၊ ပြီးရင် လွှတ်လိုက်တဲ့အခါ မျှခြေအမှတ်ကို ဗဟိုထားပြီး စည်းချက်ဝါးချက်ကျကျ (periodic ကျကျ) တုန်ခါတယ်။ အခြားသော သက်ရောက်အားတွေ မရှိတဲ့အခြေအနေတစ်ခုမှာ အဲ့ကောင်က တုန်ခါနေတာ မရပ်တော့ဘူး။ အမြဲတမ်း သူ့ရဲ့ လမ်းကြောင်းလေးမှာ အရှေ့သွားလိုက်၊ အနောက်သွားလိုက်ရွေ့နေတော့မှာ။ (နောက်ပိုင်း ဥပမာတွေ၊ ဗီဒီယိုတွေပြပြီးရှင်းတဲ့အခါ ပိုမြင်သာသွားပါလိမ့်မယ်)
ဟုတ်ပြီ။ သူ့ကို ဘယ်နေရာမျိုးတွေမှာ အသုံးပြုတာလဲဆိုတော့ လှိုင်းတွေ၊ တုန်ခါခြင်းတွေအကြောင်းကို လေ့လာတဲ့နေရာမှာပါ။ အင်္ဂလိပ်လို Wave and vibration study ပေါ့ဗျာ။ ဆိုတော့ သေချာစဉ်းစားကြည့်နော်။ လှိုင်းဆိုတာမျိုးက နေရာတကာမှာ ရှိမနေဘူးလား။ ဥပမာပေးရရင် စာရေးသူရဲ့ ဒီဆောင်းပါးကို ဖတ်ဖို့ မျက်စိကမြင်ရတယ်။ ဒါဟာ လျှပ်စစ်သံလိုက်လှိုင်းပဲ။ ဟော အခုဖတ်လိုက်တဲ့စာကို နားလည်ဖို့ ဦးနှောက်ထဲမှာရှိတဲ့ နျူရွန်လေးတွေအချင်းချင်း ဆက်သွယ်တော့လည်း လှိုင်းလေးတွေ ဖြစ်ပေါ်လာပြန်တယ်။ ဒါကတော့ brainwave လို့ခေါ်တယ်။ နောက်တစ်မျိုး ထပ်ကြည့်ပါဦး။ ဂစ်တာတီးလိုက်ရင် ဂစ်တာကြိုးရဲ့ တုန်ခါမှုရှိမယ်။ ဒါကလည်း wave ပဲ။ အဲ့ဒီကနေ ပတ်ဝန်းကျင် လေထုထဲကို sound wave ေတွ ပျံ့နှံ့မယ်။ အဲ့ဒီ wave လေးတွေက နားစည်ကို ရောက်မယ်။ ထပ်တုန်ခါမယ်။ ဒီကနေ ဦးနှောက်ကနေတဆင့် အသံဆိုပြီး ကြားလာရတာမဟုတ်ဘူးလား။ ရေလှိုင်း၊ လေလှိုင်းတွေ၊ တစ်ခါ တိုက်မိခြင်းတွေကြောင့် ဖြစ်ပေါ်တတ်တဲ့ shock wave တို့ဆိုတာကလည်း လှိုင်းတွေချည်း။ ဒါနဲ့ ဆရာသောင်းရဲ့ ဆောင်းပါးတစ်ပုဒ်တောင် သတိရမိသေး။ Electron ရဲ့အရွေ့၊ ကွမ်တမ်ရဲ့ အဖြေ ဆိုတဲ့ဆောင်းပါးလေးမှာပါ။ ဘာတဲ့၊ electron လိုအမှုန်လေးတွေကလည်း လှိုင်းသဘာဝရှိပါသတဲ့။ ထားပါတော့၊ ဒါကတော့ quantum အကြောင်းတွေပါလာပြီမို့။ အခုပြောမှာကတော့ classical mechanics အပိုင်းသက်သက်ဖြစ်ပါတယ်။
Mathematical model
ဟုတ်ပြီဗျာ။ ဒါတွေ နားလည်ဖို့ အရိုးရှင်းဆုံး အခြေခံ သင်္ချာပုံစံ (mathematical model) ကို နားလည်ထားဖို့ လိုပါမယ်။ အဲ့ဒီမှာ simple harmonics motion အကြောင်းကနေ စရတာပဲ။ တချို့ကလည်း free vibration လို့လည်း ခေါ်ပါတယ်။ ကြိုက်သလိုသာခေါ်ပါ။ သူ့ထဲမှာပါတဲ့ သင်္ချာရဲ့ အနှစ်ကို သိထားဖို့သာ အဓိကပါ။
ဒီတော့ အရင်ဆုံး သင်္ချာပုံစံ တည်ဆောက်တဲ့အကြောင်းလေးကို ရှင်းပြရမယ်။ သင်္ချာပုံစံဆောက်တယ်ဆိုတာ တကယ်တော့ လက်တွေ့မှာ ဖြစ်တဲ့ဖြစ်စဉ်တွေကို ရူပဗေဒနိယာမတွေအသုံးပြုပြီး သင်္ချာနည်းနဲ့ ပြန်လည်ရေးသားတာပါ။ ဆိုတော့ function တွေပါလာမယ် ၊ ရှိတ်တာတွေ ရိတ်တာတွေ ပါလာမယ်။ အလိုက်ပြောင်းညီမျှခြင်းတွေ ပါလာမယ်။ သူတို့ရဲ့ အဖြေရှာပုံ (ဖြေရှင်းပုံ) တွေပါလာမယ်။ တစ်ခါ အဖြေရရင်လည်း မပြီးသေးဘူး။ အဲ့ဒီအဖြေကနေ useful information ဘာတွေရနိုင်သလဲ၊ ဒါကို ဘယ်လို နားလည်မလဲ (interpret လုပ်မလဲ) ၊ လက်တွေ့နဲ့ ဘယ်လိုချိတ်မလဲ စသည်ဖြင့် လုပ်ရမယ့် အဆင့်တွေပါလာမယ်။ ဂရပ်တွေဆွဲတာ ၊ ဖတ်တာတွေလုပ်ရတော့မယ်။ ဆိုတော့ လုပ်ရမယ့်အဆင့်တွေကတော့ အများသား။ ဒါပေမယ့် စာရေးသူပြောခဲ့သလိုပေါ့နော်။ ဒါတွေကို တစ်ဆင့်ချင်းတစ်ကွက်ချင်းသာ လေ့လာသွားကြည့်။ အင်မတန်ကျေနပ်စရာကောင်းတယ်ဗျာ။ ဒီဖီလင်လေးကို တကယ်ရစေချင်တယ်။ နားလည်လာရင် သိချင်စိတ်ကြောင့် မေးခွန်းတွေ အလိုလိုထွက်လာမယ်။ ကိုယ်တိုင် တွက်ထုတ်ကြည့်မယ်။ ဒါတွေကတော့ စာရေးသူဖြစ်စေချင်တဲ့ ဒီဆောင်းပါးလေးရဲ့ ရည်ရွယ်ချက်ပဲ ဖြစ်ပါတယ်။
function အကြောင်း ပြန်ဖတ်ကြည့်ရန် – ရှိတ်သလား၊ ရိတ်သလား (Differentiation သဘောတရား မိတ်ဆက်)
အလိုက်ပြောင်းညီမျှခြင်းအကြောင်း ပြန်ဖတ်ကြည့်ရန် – အလိုက်ပြောင်းညီမျှခြင်းများ မိတ်ဆက် (အပိုင်း ၁)
Mass-spring system
လက်တွေ့ဖြစ်စဉ်အနေနဲ့ အရင်ဆုံး စပရင်လေးနဲ့ တွဲထားတဲ့ ဒြပ်ထုတုံးလေး (ပုံ ၁) ကို မြင်ယောင်ကြည့်ပါ။ နားလည်ဖို့သာအဓိကမို့ ညီမျှခြင်းဖော်ပြချက်ကို ပိုမိုရှုပ်ထွေးစေမယ့် gravity တွေ၊ အောက်က ကြမ်းပြင်က ပွတ်အားတွေ၊ လေထုခုခံအား အဲ့ဒါလေးတွေကို ခဏမေ့ထားရအောင်။ လက်တွေ့စမ်းသပ်ချက် (experiment) ပြန်လုပ်ရင်လည်း ဒီ effect တွေကို နည်းနိုင်သမျှ အနည်းဆုံးဖြစ်အောင် control လုပ်ပြီး ပြန်စမ်းလေ့ရှိကြပါတယ်။ ပုံမှာပြထားတာက စပရင်လေးကို ညာဖက်မှာ လုံးဝ fix (အသေတပ်ဆင်) ထားတယ်။ ဘယ်ဖက်မှာ mass အတုံးလေးနဲ့ တွဲထားတယ်။ mass ကို ‘m’ နဲ့ ဖော်ပြပါမယ်။ ‘K‘ လေးက စပရင်ရဲ့ တင်းမာမှု (stiffness) ကို ဖော်ပြတယ်။ ‘L’ ဆိုတာက အဲ့ဒီ spring ရဲ့ အလျားပေါ့။ mass အတုံးလေးက ဘယ်ညာရွေ့နိုင်တယ်။ သူ့ရွေ့မယ့် အရွေ့တစ်လျှောက်ကို မျဉ်းလေးဆွဲလိုက်ရင် မျဉ်းဖြောင့်ရတယ်။ ဒါက ဘာကို ပြောတာလည်းဆိုရင် သူ့ရဲ့ motion (အရွေ့) ဟာ တစ်ဖက်မြင်အရွေ့ (one-dimensional motion) ဆိုတာကိုပြောတယ်။ ဆိုတော့ သူ့မှာ degree of freedom (1 DOF) တစ်ခုသာပါတယ်။ generalized coordinate အရပြောရင်လည်း တစ်ခုပေါ့။ ဒါနဲ့နေပါဦး။ degree of freedom တို့ ၊ generalized coordinate တို့က ဘာတွေလည်း ဆိုရင်တော့ အရင်အပတ်တွေတုန်းက စာရေးသူရှင်းပြခဲ့တဲ့ video လေးတွေမှာ ပြန်ကြည့်လို့ရပါတယ် (insight page မှာတင်ထားပါတယ်)။ ဒီပုစ္ဆာမှာတော့ coordinate သတ်မှတ်ချက်က x ပါ။ ဘာလို့ သတ်မှတ်ရတာလဲ ဆိုတော့ ဒီသတ်မှတ်ချက်သာ မရှိရင် ဒီဝတ္ထုလေး ဘယ်ရောက်နေလည်း ဘယ်လိုမှ ပြောလို့ရမှာမဟုတ်ဘူးလေ။ အဲ့တော့ နဂို မူလ စမှတ်ကို x = 0 ပေါ့။ သူကတော့ equilibrium position (မျှခြေအမှတ်) လေးပါ။ မျှခြေအမှတ်မှာ စပရင်ရဲ့ အလျားက L နဲ့တူမယ်။ မျှခြေရဲ့ ညာဖက်ကို ရွေ့ရင် x သည် အပေါင်း ၊ ဘယ်ဖက်ကို ရွေ့ရင် အနုတ်။ ဒါဆို စပရင်ရဲ့ အလျားက x တန်ဖိုးပေါ်လိုက်ပြီး ပြောင်းသွားမှာပေါ့နော်။ ဟုတ်ပြီဗျာ၊ ဒါတွေကတော့ အခုပြောပြမယ့် simple harmonic motion အတွက် ၊ တစ်နည်း physical ဖြစ်စဉ်လိုအပ်ချက်အရ သတ်မှတ်လိုက်တဲ့ variable တွေပဲ ဖြစ်ပါတယ်။
Coordinate system ယူဆချက်တွေ၊ ဖြစ်စဉ်ဖော်ပြချက်တွေ သတ်မှတ်ပြီးပြီဆိုရင် မေးခွန်းလေးလာပါပြီ။ မေးခွန်းဆိုတာ ဒီပုစ္ဆာမှာ စာရေးသူတို့ဟာ ဘယ်ဟာကို အဖြေရှာချင်တာလဲပေါ့။
မေးခွန်း – အကယ်၍ system ထဲက mass အတုံးလေးကို ညာဖက်ကို ဖိလိုက်မယ်။ တစ်နည်း x တန်ဖိုး တစ်ခု ရှိစေမယ်။ ပြီးတာနဲ့ လက်ကနေ လွှတ်လိုက်မယ်။ အချိန်တစ်ချိန်ခဏစောင့်လိုက်မယ် (ဥပမာ ၅ စက္ကန့် ဆိုပါတော့)။ အဲ့လို အချိန် t ကြာသွားတဲ့အချိန်မှာ အတုံးလေး ဘယ်ကို ရောက်နေမှာလဲ ??
မေးခွန်းလေးက စိတ်ဝင်စားစရာနော့။ လက်တွေ့နဲ့လည်း ဆက်စပ်နေတယ်။ ဒါနဲ့ စာရေးသူတို့ဟာ ခန့်မှန်းနေတာနော်။ ဒါကို ပရမ်းပတာတွေ လျှောက်မပြောဘဲ ရှိပြီးသား၊ သက်သေပြပြီးသား နိယာမတွေ သုံးပြီး ခန့်မှန်းမှာ။ အချိန်ပါလာပြီဆိုတော့ time = t ပေါ့။ position ကို ပြတာက x (စာသံပေသံနဲ့ပြောရင် displacement လို့ခေါ်ရပါမယ်။ ဦးတည်ချက်ပါလာတာကြောင့်ပါ။) ဒါနဲ့ variable ကို ကြိုက်ရာသတ်မှတ်လို့ရတယ်နော်။ x ထားထား၊ s ထားထား။ ဒါအရေးမကြီးဘူး။ ဆိုတော့ ပြောချင်တာက အချိန်နဲ့ အရွေ့တို့ရဲ့ ဆက်သွယ်ချက်ဖြစ်မနေဘူးလား။ အဲ့ဒီဆက်သွယ်ချက်သည် function ပါပဲ။ တစ်နည်းပြောရရင် ဒီပုစ္ဆာမှာ x(t) ဆိုတဲ့ function လေးကိုသာ ရရင် ပွဲသိမ်းပြီပေါ့။ ကဲ လိုချင်တာတော့သိပြီ။ သူ့ကို ဘယ်လိုရှာကြမတုန်း ဆိုတာလေးဆက်ဆွေးနွေးရမယ်။ ဒီနေရာမှာ နယူတန်ရဲ့ နိယာမလေးကို အသုံးပြုရမှာပါ။
မှတ်ချက် ။ စာရေးသူရှင်းပြခဲ့ဖူးတဲ့ Euler-Lagrange ပုံသေနည်းကို သုံးပြီးလည်း တွက်ထုတ်လို့ရတယ်နော်။ အဖြေက အတူတူပဲ ရရပါမယ်။ (စာရေးသူ နမူနာတွက်ထုတ်ပြထားပုံ – ဒေါင်းလုပ်ဆွဲရန်)
နယူတန်ရဲ့ ဒုတိယနိယာမ
နယူတန်ရဲ့ ဒုတိယနိယာမက ဘာပြောသလဲဆိုတော့
စနစ်ထဲမှာပါတဲ့ စုစုပေါင်းသက်ရောက်အား (force) ဟာ ဒြပ်ထု (mass) နဲ့ အရှိန် (acceleration) တို့ရဲ့ မြှောက်လဒ်နဲ့ တူညီတယ်။
ဆိုတာပါပဲ။ အားလုံးလည်း သိပြီးသားပါ။ F = ma ပေါ့။ ဟုတ်တယ်ဟုတ်။ F ဆိုတာ စနစ်ထဲမှာပါတဲ့ စုစုပေါင်း သက်ရောက်အားလို့ နားလည်ရမယ်။ နောက်တစ်ခုက F နဲ့ a တို့က vector quantity ဆိုတော့ direction ကို ထည့်စဉ်းစားရမယ်။ အခုပုစ္ဆာကတော့ 1D motion မို့ ရှင်းပါတယ်။ ဘယ်ဖက်ကို သွားရင် အနုတ်၊ ညာဖက်ဆိုအပေါင်းပေါ့ (ဒါက သတ်မှတ်ချက်နော်)။
အရေးကြီးတဲ့ အချက်တစ်ခု မပြောရသေးဘူး။ အဲ့ဒါကတော့ စပရင်ပါ (ဒါလေးကို နားလည်ဖို့ ပုံလေးနဲ့ တွဲကြည့်ရမယ်။ ပုံ ၂ ကို ကြည့်ပါ)
စိတ်ဝင်စားဖို့ကောင်းသထက်ကောင်းလာသဗျာ။ ဘာလို့ဆို အရင်တုန်းက သိထားတဲ့ Hooke’s law ပါ ပါလာပြီ။ ရှင်းပြဖို့က အရင်ဆုံး ဖြစ်စဉ် (က) ကို ကြည့်ပါ။ မူလနေရာမှာ အတုံးလေးမရှိတော့ဘူး။ ညာဖက်ကိုရောက်သွားတယ်။ ဆိုလိုတာက ညာဖက်ကို ရွေ့သွားတယ်ပေါ့။ vector သဘောအရ x(t) သည် အပေါင်း။ စပရင်က ပြန်တွန်းထားမှာပေါ့။ ဟုတ်တယ်နော်။ ဒါ common sense ။ အိမ်မှာ စပရင် ရှိရင် စမ်းကြည့်လို့ရတယ်။ Insight page မှာ အရင်တုန်းက ကိုရန်အောင်မိုး စမ်းပြထားတဲ့ video လေးလည်း ရှိတယ်။ သူကတော့ vector အကြောင်းပြောထားတာပါ။ ဒါပေမယ့် စပရင်လည်းပါတယ်။ (ပြန်သွားကြည့်ရန် ဗီဒီယိုလင့်ခ်)
ဖြစ်စဉ် (က) အရ စပရင်ရဲ့ တွန်းကန်အားဟာ သွားတဲ့ displacement ရဲ့ direction နဲ့ ဆန့်ကျင်ဖက်ပါ။
ဟုတ်ပြီ။ ဖြစ်စဉ် (ခ) ကို ထပ်ကြည့်ရအောင်။ ဒီတစ်ခါ ဆွဲဆန့်လိုက်မယ်။ အဲ့ဒီအခါကျ စပရင်က ညာဖက်ကို ပြန်ဆွဲနေမယ်။ x(t) က မူလနေရာရဲ့ ဘယ်ဖက်ကို ရောက်သွားပြီဆိုတော့ အနုတ်တန်ဖိုးရှိပါတယ်။ စပရင်ရဲ့ force ကတော့ ဒီတစ်ခါ ညာဖက်ကို ဦးလှည့်နေတာဆိုတော့ အပေါင်းတန်ဖိုးရှိပါတယ်။
ဖြစ်စဉ် (က) နဲ့ ဖြစ်စဉ် (ခ) အရ spring ကြောင့် ဖြစ်ပေါ်လာတဲ့အားသည် displacement နဲ့ direction ဆန့်ကျင်ဖက် အမြဲတမ်းရှိနေတဲ့ သဘောရှိတယ်။ ဟုတ်ပြီနော်။ ကဲ အခု Hooke’s law ကို ဆွေးနွေးမယ်။
Hooke’s law
Hooke’s law က ဘာပြောသလဲဆိုတော့ spring ရဲ့အား (သို့မဟုတ် stress = force/area) ဟာ elastic limit အတွင်းမှာဆိုရင် ရှည်ထွက်ခြင်း သို့မဟုတ် ကျုံ့ဝင်ခြင်း (ဘာသာရပ်ဆိုင်ရာမှာတော့ ဒါဏ် strain လို့ခေါ်ပါတယ်) တို့နဲ့ တိုက်ရိုက်အချိုးကျတယ်။ တစ်ခုသတိပြုရမှာက elastic limit ကို ကျော်သွားရင်တော့ မမှန်တော့ဘူးပေါ့။ နောက်တစ်ခုက ဒါဏ် strain ဆိုတဲ့ကောင်က တကယ့်ငရှုပ်ဗျ (လောလောဆယ် စာရေးသူကို ကောင်းကောင်းဒုက္ခပေးနေတာ အဲ့ကောင် 😠)။ သူ့မှာ displacement နဲ့ geometry နည်းအရ ဆက်သွယ်ချက်ရှိတယ်။ လောလောဆယ်ပုစ္ဆာအရ linear (မျဉ်းဖြောင့်) ဆက်သွယ်ချက်လို့သာ ယူဆပါမယ်။ စပရင်ကို တအားဆွဲပြီး displacement အကြီးကြီး ရွေ့စေမယ်ဆိုရင်တော့ အဲ့ဒီ Hooke’s law က မမှန်တော့ဘူးဗျ။ ဒါကြောင့်လည်း တချို့ကပြောကြတာ။ Hooke’s law ဆိုတာ တကယ်မရှိဘူးတဲ့ (Sorry ပါ Mr. Hooke ရေ 😞)
ကဲကဲ စာရေးသူ လျှောက်ပြောနေတာနဲ့ ပိုရှုပ်ကုန်ပြီ။ ကဲ Hooke’s law မှန်တယ်ပဲ သဘောထားလိုက်ဗျာ။ အဲ့ဒါဆိုရင် ခုနက restoring force သည် displacement x နဲ့ တိုက်ရိုက်အချိုးကျတယ်။ အခုက mass ရယ် spring ရယ်ပဲ ပါလို့ strain တွေ material သဘောတရားတွေ ဘာညာ ထည့်စဉ်းစားစရာမလိုဘူး (ဟူး တော်သေး 😪)။ ဆိုတော့ ပုံသေနည်းက ဒီလို
\large F \propto x
ဆိုလိုတာက အားသည် displacement နဲ့ တိုက်ရိုက်အချိုးကျနေတယ်ပေါ့။ ဒါကို ညီမျှခြင်း ပုံစံနဲ့ရေးရင် အောက်ပါအတိုင်း ရပါတယ်။ (မှတ်ချက်။ အနုတ်က F နဲ့ x တို့ရဲ့ ဦးတည်ချက်မတူတာကို ပြပါတယ်)
\large F = -Kx
where K = stiffness of the spring, and x = displacement.
Equation of motion
Newton ရဲ့ နိယာမအရ စုစုပေါင်း force သည် m a နဲ့ ညီတယ်။ ဒီတော့
\large F = ma = -Kx
အဲ့ဒီမှာ a ဆိုတာ acceleration ။ သူ့ကို စာရေးသူက ရှိတ် ပုံစံနဲ့ ရေးပါမယ် ( a = \frac{d^2x}{dt^2} = \ddot{x} ) ။ ဘာလို့ဆို စာရေးသူက အစက်ကလေးနဲ့ ရေးရတာကို သိပ်ကြိုက်တာ။ အမြင်ရှင်းလို့။ တစ်ခါရှိတ်ရင် အပေါ်မှာ အစက်တစ်စက်၊ နှစ်ခါရှိတ်ရင် နှစ်စက် စသည်ဖြင့်ပေါ့။ အစားသွင်းလိုက်တော့
\large m \ddot{x} = -Kx
\large \therefore m \ddot{x} + Kx = 0
ဘာသာရပ်ဆိုင်ရာမှာတော့ ဒါကို ပိုပြီးကောင်းတဲ့ ပုံစံနဲ့ ပြတယ်။ အဲ့ဒါကတော့ omega လို့ခေါ်တဲ့ \omega = \sqrt{\frac{K}{m}} လေးကို သတ်မှတ်လိုက်တယ်။ အဆိုပါ omega သည် angular frequency (သို့မဟုတ်) angular velocity ကိုရည်ညွှန်းပါတယ်။ ယူနစ်ကတော့ radian per second ပါ။ ထားပါတော့၊ နောက်ဆောင်းပါးမှာ အသေးစိတ်ပြန်ရှင်းပြမယ်။
အခု အပေါ်ကညီမျှခြင်းကို omega လေးရဲ့ ပြန်ပြောင်းရေးချင်တယ်ဆိုရင် (၁) m နဲ့ ညီမျှခြင်း တစ်ခုလုံးကို စား၊ (၂) K/m နေရာမှာ omega နှစ်ထပ်အစားသွင်းလိုက်ရင်
\large \ddot{x} + \frac{K}{m} x = 0
\large \ddot{x} + \omega^2 x = 0
ဆိုပြီးရပါတယ်။
နောက်ဆုံးမှာ ပြထားတဲ့ ညီမျှခြင်းလေးကတော့ mass-spring system (တစ်နည်း simple harmonic oscillator) လေးရဲ့ equation of motion (အရွေ့ညီမျှခြင်း) လေးပဲ ဖြစ်ပါတယ်။ သူ့ကို ရှင်းရင် x(t) ကို ရပါမယ်။ အဲ့ဒီ x(t) ကို time ဆိုတဲ့ coordinate မှာ ဂရပ်ဆွဲကြည့်ရင် အပေါ်အောက် sinusoidally ရွေ့နေတာကို တွေ့ရပါလိမ့်မယ်။ အဲ့ဒီ x(t) နဲ့ \ddot{x}(t) (x(t) ကို အချိန်နဲ့နှစ်ခါရှိတ်ထား) တို့ပါတဲ့ ညီမျှခြင်းလေးကို Second order linear Ordinary differential equation (ODE) လို့ခေါ်ပါတယ်။ စဦးအခြေအနေ (initial condition) သိထားရပါမယ်။ ဖြေရှင်းပုံ ဖြေရှင်းနည်းတွေကတော့ အမျိုးပေါင်းသောင်းခြောက်ထောင် လောက်တောင် ရှိမယ်ထင်ရတယ်။ ကဲကုလပ်သင်္ချာကနေ လာပါတယ်။ Numerical နည်းနဲ့ ရှင်းမလား၊ analytical နည်းနဲ့ ရှင်းမလား စသဖြင့်ပေါ့။ ဟော မကျေနပ်သေးလို့ exact နဲ့ numerical ပေါင်းထားတဲ့ exact-numerical လိုမျိုး nonstandard method ေတွနဲ့ ရှင်းဦးမလား စသဖြင့် အမျိုးမျိုးရှင်းလို့ရပါတယ်။ စာရေးသူကတော့ အလွယ်ဆုံးအရှင်းဆုံးနည်းလမ်းလေးနဲ့ ဖြေရှင်းပြပါ့မယ်။ အရင်ဆုံး နားလည်သွားဖို့က အရေးကြီးတာကိုး။ ပြီးတော့ result တွေကို ဘယ်လိုပြန်ချိန်ကိုက်မလဲ၊ ဒီအသိကို ဘယ်နေရာမှာ အသုံးချမလဲ ၊ စသည်ဖြင့် (အသုံးဝင်ချက်ကတော့ မယုံမရှိနဲ့၊ စာရေးသူကိုယ်တွေ့ပါ)။ ကဲကဲ လောလောဆယ်တော့ အတော်လေးများသွားပြီ။ ဒီအထိရောက်အောင် အာရုံစိုက်ဖတ်လာမှတ်လာသူတွေကိုလည်း ကျေးဇူးအထူးပါ။ လိုတာရှိရင်လည်းပြောနော်။ အားမနာပါနဲ့။ ဆောင်းပါး အပိုင်း ၂ မှာ ကျန်တာလေးဆက်ရှင်းပါမယ်။
ဆက်လက်လေ့လာလိုသူတွေအတွက် အောက်က links ေလးတွေကို တစ်ချက်သွားကြည့်ကြည့်ပါ။ အရမ်းအသုံးဝင်ပါတယ်ဗျ။ စိတ်ဝင်စားဖို့လည်း ကောင်းပါတယ်။
https://www.youtube.com/watch?v=KgLYi2acPDI (Walter Lewin ရဲ့ lecture တွေထဲက တစ်ခုပါ။ သူ့ lecture တွေအများကြီးပဲ youtube မှာ ရှိတယ်။ လေ့လာကြည့်ပါ။ စာရေးသူရှင်းပြနိုင်တာထက် ပိုပြီးပြည့်စုံတာကို တွေ့ရပါမယ်။ လက်တွေ့စမ်းပြတာတွေကိုလည်း မြင်ရပါမယ်။)
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/Vibrations.aspx
#yp