Simple harmonic oscillator (မိတ်ဆက် ၂)

ပြီးခဲ့တဲ့ တစ်ပတ်က Simple harmonic oscillator အကြောင်း မိတ်ဆက်သဘောလေး ရေးဖြစ်ခဲ့တယ်။ အဲ့တုန်းက ဒီ harmonic oscillator ရဲ့အရွေ့ညီမျှခြင်း (equation of motion) ကို Newton ရဲ့ ဒုတိယနိယာမအသုံးပြုပြီး တွက်ထုတ်ပြခဲ့ပါတယ်။ တစ်ခုစိုးရိမ်မိတာက အသုံးအနှုန်းတွေများ ရှုပ်သွားသလားပေါ့။ တစ်ခါတလေ English အသုံးကနေ မြန်မာလို ဘယ်လိုပြန်ရမှန်းမသိတာလေးတွေ ရှိတယ်။ ဘာသာရပ်ဆိုင်ရာ စကားလုံးတွေပါလာရင် ပိုဆိုးသေး။ တစ်ခါတလေ စာရေးသူကိုယ်တိုင်က သတိမထားမိပဲ အသုံးအနှုန်းအမျိုးမျိုး သုံးမိသွားတာလေးတွေလည်း ရှိပါတယ်။ ဒီတော့ အခုဆောင်းပါးလေးမှာ အဲ့ဒီ ရှုပ်နိုင်ခြေရှိတဲ့ technical terms လေးတွေကိုလည်း တစ်ချက်လောက် ပြန်ရှင်းပြပေးချင်ပါတယ်။ ပြီးသွားတော့မှပဲ equation of motion အတွက် အဖြေအတူတူစဉ်းစားကြတာပေါ့။

သက်ဆိုင်ရာ technical အသုံးအနှုန်းများ

ပထဆုံးသတိထားသင့်တဲ့ စကားလုံးကတော့ oscillation ပါ။ မြန်မာလို လွှဲတယ်ပေါ့။ ဥပမာ – ဒန်းစီးတာမျိုးကို မြင်ယောင်ကြည့်လို့ရပါတယ်။ မျှခြေအမှတ်ကို ခေါက်ပြန်လွှဲနေတာမျိုးပေါ့။ စာရေးသူရဲ့ ဥပမာပုံထဲမှာကျတော့ mass အတုံးလေး အရှေ့နဲ့ အနောက် (ဒါမှမဟုတ်လည်း အပေါ်နဲ့အောက်ပေါ့နော်) အဲ့လို ခေါက်တုံ့ခေါက်ပြန်လွှဲနေတာကို ခေါ်ပါတယ်။ ဥပမာအနေနဲ့ အောက်က animation ပုံလေးကို ကြည့်ပေးပါ။

ပုံ ၁။ Simple harmonic oscillator (Image courtesy: Wikimedia Commons)

ပုံ ၁ ထဲမှာ mass အတုံးလေးဟာ အပေါ်တက်လိုက်၊ အောက်ဆင်းလိုက် ရွေ့နေတာကို တွေ့ရမယ်။ သူ့မှာ မျှခြေလို့ခေါ်တဲ့ မူလအမှတ် (မူလအမှတ်ဆိုတာ လွှဲတာမစခင် spring ရဲ့ potential energy အနိမ့်ဆုံးရှိမယ့်အမှတ်ကို ခေါ်တာပါ။) အဲ့ဒီ မူလမျှခြေကို အပေါ်တက်အောက်ဆင်းရွေ့တာကို oscillation လို့ခေါ်ပါတယ်။ သေချာကြည့်လိုက်ရင် ဒီ mass အတုံးလေးက အချိန်ရယ် space ရယ်ကို ဖြတ်ပြီးရွေ့နေတာကို တွေ့ရပါမယ်။ ဟုတ်ပြီနော်။

ပြီးခဲ့တဲ့ ဆောင်းပါးမှာတုန်းက vibration (တုန်ခါခြင်း) လို့လည်း အမှတ်တမဲ့ ရေးလိုက်မိတယ်။ (တူတော့ တူသလိုလိုရှိပေမယ့် စကားကပ်ပြောတတ်သူတွေကတော့ မတူဘူးလို့ ဆိုပါလိမ့်မယ်)။  အခုပေးထားတဲ့ ဥပမာက တစ်ဖက်မြင်အရွေ့ ။ နောက်ပြီး သူကအင်မတန်မှကို ရိုးစင်းတဲ့ သင်္ချာ model လေးပါ။ သူ့မှာ တုန်ခါတဲ့ကြိမ်နှုန်း (frequency) က တစ်ခုတည်းရှိပါတယ်။ ဒါ့ကြောင့်လည်း simple harmonic motion လို့ခေါ်ဆိုရခြင်းပါ။ vibration (တုန်ခါခြင်း) ဆိုတာက အဲ့လောက်ရိုးစင်းချင်မှ ရိုးစင်းပါမယ်။ ပထမအချက်က frequency က တစ်မျိုးထက်မက ပါနေနိုင်ပါတယ် (ဒီသဘောတရားက eigen values ဆိုတာနဲ့ ဆက်စပ်နေပါတယ်။ တချို့လည်း ကြားဖူးကြပါလိမ့်မယ်။ လောလောဆယ် ရှုပ်ကုန်မှာစိုးလို့ အဲ့ဒီအကြောင်းကို ခဏကျော်ထားလိုက်ပါမယ်)။ နောက်တစ်ချက်က vibration ရဲ့ သဘောမှာ temporal သဘောတရား (အချိန်ကိုလိုက်ပြီးပြောင်းလဲတာမျိုး) နဲ့ spatial သဘောတရား (နေရာကိုလိုက်ပြီး ပြောင်းတာမျိုး) တွေပါနေတယ်။ အခု mass-spring မှာတော့ ခပ်ရှင်းရှင်းပဲ။ temporal သဘောတရားပဲ ပါပါတယ်။ စာရေးသူပြောမှ ပိုရှုပ်ကုန်ပြီလားပဲ။ ဒီလိုပါ။ သူ့ရဲ့ ညီမျှခြင်းကို ဖြေရှင်းတဲ့အခါ ညီမျှခြင်းလေးက function of time ပဲ ဖြစ်နေတာကို ဆိုလိုတာပါ။ spatial သဘောတရားဆိုတာက ညီမျှခြင်းထဲမှာ time ရော coordinate (x, y, z) တွေရော ပါနေတာမျိုးပါ။ ထားပါတော့။ နောက်ပိုင်း သိထားတာလေးတွေ အဆင့်မြင့်လာပြီ၊ ပိုပြီးသဘောပေါက်လာပြီဆိုရင် string vibration တို့၊ beam vibration တို့အကြောင်း ရှင်းပြဖို့စိတ်ကူးရှိပါတယ်။ အဲ့ဒီအခါကျရင် ပိုပြီးထင်သာမြင်သာရှိသွားပါမယ်။

နောက်ထပ်သိရမယ့် term တစ်ခုက (ခုနလေးကတင် သုံးလိုက်တဲ့) frequency ဆိုတာပဲ ဖြစ်ပါတယ်။ မြန်မာလိုပြန်ရင် ကြိမ်နှုန်းပေါ့။ ကြိမ်နှုန်းကို ထပ်ကြော့တစ်လဲလဲဖြစ်တဲ့ လုပ်ဆောင်ချက်မျိုးတွေကို ဖော်ပြတဲ့နေရာမှာ သုံးပါတယ်။ ဥပမာ – COVID ကာလမှာ သင်တစ်နေ့ လက်ဘယ်နှစ်ခါဆေးသလဲပေါ့။ လက်ဆေးတယ်ဆိုတဲ့ action က တစ်ခါပြီးတစ်ခါ အတူတူပဲ ဖြစ်မှာပါ ။ (ဟာ ကျွန်တော်/ကျွန်မကတော့ဖြင့် ဆပ်ပြာနောက်တစ်မျိုးနဲ့ ဆေးတာ။ ဒါကြောင့် ဘယ်ကလာတူရမှာတုန်း ဆိုပြီးတော့ စကားမကပ်နဲ့ပေါ့ကွယ် 😅)။ စာရေးသူဆိုလိုချင်တာက လုပ်ဆောင်ချက်ရဲ့ သဘောတရားချင်းတူတာကို ပြောချင်တာပါ။ အဲ့ မတူတာတစ်ခုက physics မှာသုံးတဲ့ frequency ဆိုတာ တစ်စက္ကန့်အပေါ်မှာ အခြေပြုပြီး ခေါ်ဆိုတာပါ။ တစ်စက္ကန့်မှာ ဖြစ်တဲ့ အကြိမ်အရေအတွက်ပေါ့ ဒါကြောင့် physics မှာ frequency ရဲ့ ယူနစ်ကို per second ဆိုပြီးသုံးပါတယ် (လက်ဆေးတဲ့ ဥပမာနဲ့တော့ နှိုင်းယှဉ်ကြည့်ဖို့ ခက်သွားပြီ။ ဘာလို့ဆို လက်ကို တစ်ခါဆေးရင် စက္ကန့် ၂၀ ဆေးမှ စိတ်ချရမှာမဟုတ်လား )။ per second ဆိုတဲ့ ယူနစ်ကို Hz (Hertz) ဆိုပြီးတော့ ရေးလေ့ရှိပါတယ်။ သူကတော့ လျှပ်စစ်သံလိုက်လှိုင်းရှိတယ်ဆိုတာကို သက်သေပြခဲ့တဲ့ ဂျာမန်ဘိုးတော် Heinrich Rudolf Hertz ကို အစွဲပြုပြီး ခေါ်ဆိုထားတဲ့ယူနစ်ပါ။ ဆိုတော့ frequency ရဲ့ ယူနစ်က Hz (သို့) cycle per second ဖြစ်ပါတယ်။ သင်္ကေတလေးကတော့ f ပါ။

အကယ်၍ပေါ့နော်။ အပေါ်မှာ ပြထားတဲ့ mass အတုံးလေးရဲ့ တည်နေရာကို တောက်လျှောက်လိုက်တိုင်းကြည့်လို့ရတယ်လို့ သဘောထားလိုက်။ စထွက်တဲ့ အမှတ်ကလေးကို မှတ်ထား။ ပြီးရင် အပေါ်အောက် oscillate ဖြစ်ပါစေ။ သူ့ရဲ့ မူလစထွက်တဲ့ အမှတ်ကို ပြန်ရောက်ဖို့လိုအပ်တဲ့ ကြာချိန်ကို stop watch ကလေးနဲ့ တိုင်းထားတယ်ဆိုပါတော့။ ဥပမာ – stop watch ကလေးမှာ ပြနေတာက ၅ စက္ကန့် ထားလိုက်။  ဒါဆိုရင် အစမှ စ၍ မူလနေရာ ပြန်ရောက်ဖို့ ၅ စက္ကန့်ကြာတယ်။ ဒါကို period လို့ခေါ်ပါတယ်။ အဲ့ဒီ period လေးကို ခုနကပြောတဲ့ frequency နဲ့ ဆက်စပ်ကြည့်လို့ရတယ်။ formula ေလးက

period = 1/frequency (OR) frequency = 1/period

ပါတဲ့။ သေချာစဉ်းစားကြည့်နော်။ တစ်ပတ်ပြည့်ဖို့ လိုမယ့်အချိန်ဆိုတာ တကယ်တော့ တစ်စက္ကန့်မှာ ဘယ်နှကြိမ်လွှဲနိုင်သလဲဆိုတာရဲ့ ပြောင်းပြန်ပါ။ ခုနက ဥပမာအရဆို တစ်ပတ်ပြည့်ဖို့ ကြာချိန်က ၅ စက္ကန့်။ ဒါဆို တစ်စက္ကန့်မှာ ရှိမယ့် ကြိမ်နှုန်းက f = 1/5 = 0.2 Hz  ဖြစ်ပါတယ်။ အဲ့ဒီဥပမာလေးကို ထပ်ပြီး အတွေးထဲမှာ စမ်းကြည့်ရအောင် (နောက်မှ page မှာ demonstrate လုပ်ပြတာ တင်ပေးပါထားမယ်။ Insight page မှာ ရှာကြည့်ပါ)။ ဆိုပါတော့ လူနှစ်ယောက်ရှိတယ်။ သင်ရယ် သင့်သူငယ်ချင်းရယ်။ သင်လုပ်ရမှာက stop watch ေလးနဲ့ ပုံ ၁ က mass လေး စလွှဲတဲ့အချိန်ကို မှတ်ရမယ်။ သင့်သူငယ်ချင်းက ရပ်ခိုင်းလိုက်တဲ့အခါ တိခနဲ stop watch ကို ရပ်ရမယ်။ ဆိုတော့ စုစုပေါင်း ကြာချိန်ကို ရမှာပေါ့နော်။ သင့်သူငယ်ချင်းကကျ အဲ့ဒီ mass အတုံးလေးလွှဲနေတဲ့ အကြိမ်အရေအတွက်ကို ရေထားရမယ်။ ဟုတ်ပြီနော်။ လွှဲတာ စုစုပေါင်း ၅ ကြိမ်ရှိတဲ့ အချိန်မှာ သင့်သူငယ်ချင်းက ရပ် ဆိုပြီး အော်လိုက်မယ်။ သင်က တိခနဲ stop watch ကို ရပ်လိုက်ရမယ်။ ကဲ တိုင်းထားတဲ့ stop watch ကို ကြည့်လိုက်တော့ ၂၅ စက္ကန့် ရှိနေတာ တွေ့ရတယ်။ ဟုတ်ပြီ မေးခွန်းလေးက အခုတိုင်းထားတဲ့ လွှဲကြိမ်အရေအတွက်ရယ် (လွှဲကြိမ်ဆိုတာ တစ်ပတ်အပြည့်လွှဲတာကို ဆိုလိုပါတယ်)၊ စုစုပေါင်းကြာချိန်ရယ်ကနေ period နဲ့ frequency ကို ရှာချင်ပါတယ်။ ဘယ်လိုတွက်ကြမတုန်း????

တွက်ပုံတွက်နည်းလေးက ဒီလိုပါ။ ၅ ခါလွှဲဖို့ ၂၅ စက္ကန့်ကြာရင် ၁ ခါလွှဲချင်ရင် ဘယ်လောက်ကြာမလဲပေါ့။ ၁ ခါလွှဲဖို့ကြာချိန်ကို သိရင် ၁ စက္ကန့်လွှဲဖို့ ကြာချိန်ကို ထပ်တွက်လို့ရတယ်။ အောက်က ပုံမှာ ဥပမာအနေနဲ့ တွက်ပြထားပါတယ်။ ဘယ်ဖက်က box ထဲမှာပြထားတာက period ကို တွက်ပြထားတာပါ။ ညာဖက်ကတော့ frequency ပါ။ ဆိုတော့ သူတို့နှစ်ခုက ပြောင်းပြန်ဖြစ်နေတယ်မဟုတ်ဘူးလား။ frequency ကို ပြောင်းပြန်လှန်လိုက်ရင် period ရသလို period ကို ပြောင်းပြန်လုပ်လိုက်ရင်လည်း frequency ရမှာဖြစ်ပါတယ်။

Frequency တွေ period တွေကို နားလည်သွားပြီဆိုရင် periodic motion ဆိုတဲ့ အသုံးအနှုန်းလေးကိုလည်း သိထားသင့်ပါတယ်။ period ကို ဘာသာပြန်ကြည့်မယ်ဆို ကာလအပိုင်းအခြားလို့ အဓိပ္ပာယ်ထွက်တယ်။ periodic motion ဆိုတော့ အချိန်ပိုင်း အရွေ့ပေါ့။ အချိန်ပိုင်းတိုင်းအချိန်ပိုင်းတိုင်းမှာ အရွေ့ဟာ ပုံမှန် (regular) ဖြစ်နေမယ်၊ ထပ်ကြော့တလဲလဲ (repeated) ဖြစ်နေမယ် ၊ ဒါကို ဆိုလိုတာပါ။ အဲ့ဒီမှာ simple harmonic motion (SHM) ဆိုတာက periodic motion ရဲ့ special case ပါ။ အရှေ့မှာလည်း ပြောခဲ့ပြီးပါပြီ။ motion မှာပါတဲ့ frequency က တန်ဖိုးတစ်ခုတည်း ပါဝင်ပါတယ်။ ဒါကို မေးစရာရှိတာက frequency တန်ဖိုး ၂ ခု ၊ ၃ ခု စသဖြင့် ပါလို့ရသလားပေါ့။ ရပါတယ်။ ပုံ ၁ မှာပြထားတာက mass တစ်ခု၊ spring တစ်ခုတည်းဆိုတော့ Degree of freedom တစ်ခုပဲ ပါနေတာကိုး။ အကယ်၍ degree of freedom တစ်ခုထက်ကျော်သွားတဲ့ ပုစ္ဆာမျိုး (ဥပမာ mass နှစ်ခု ပါတဲ့ system မျိုး) ဆိုရင် အခုလို simple case မဟုတ်နိုင်တော့ပါဘူး။ eigen values ေတွ၊ eigen vectors တွေအကြောင်း၊ matrix သင်္ချာ စသဖြင့် အနည်းနဲ့အများသိထားမှသာ အဆင်ပြေပါမယ်။

သြော် ပြောဖို့ တစ်ခုကျန်နေသေးတယ်။ အဲ့ဒါကတော့ angular frequency (သို့) angular velocity \omega = 2 \pi f အကြောင်းပါ။ တကယ်တော့ simple harmonic motion ဆိုတာ စက်ဝိုင်းကို ပတ်ချာလည်ပတ်နေတာနဲ့ အလားသဏ္ဌာန်တူပါတယ်။ ဟာ ဘယ့်နှယ် အရှေ့အနောက်သွားနေရာကနေ ရုတ်တရက်ချည်း ဘယ်နားက စက်ဝိုင်းက ပါလာတာတုန်း။ ဆိုပြီးမေးလာရင်တော့ သူ့ motion လေးရဲ့ solution ကိုက အဲ့ဒီသဘောသဘာဝရှိတာပါ။ စက်ဝိုင်းအကြောင်းတွေပါလာမယ်။ sine တွေ cosine ေတွပါလာမယ်။ Euler formula ( e^{i \theta} = cos(\theta) + i sin(\theta) ) စတာတွေပါလာတော့မယ်။ Imaginary number ၊ complex number စတာတွေပါလာတော့မယ် ။ အင်မတန်မှ စိတ်ဝင်စားဖို့ကောင်းပါတယ်။

Initial condition (စဦးအခြေအနေ) အကြောင်းလေးလည်း သိထားသင့်ပါတယ်။ စဦးအခြေအနေဆိုတာ (အမှန်တော့ မိမိဘာသာ သတ်မှတ်လိုက်တာ) analysis မစမီ reference time မှာ ရှိမယ့် မူလအနေအထား (position) နဲ့ မူလအလျင် (velocity) တို့ကို ဆိုလိုတာပါ။ reference time ကို လွယ်အောင် သုညမှာထားပြီး တွက်လေ့ရှိပါတယ်။ အချိန်သုညမှာ ရှိမယ့် displacement နဲ့ velocity တို့ရဲ့ တန်ဖိုးကို initial conditions လို့ခေါ်ပါတယ်။ သူကနောက်ပိုင်း ညီမျှခြင်းကို ဖြေရှင်းတဲ့နေရာမှာ အသုံးဝင်လာမှာ တွေ့ရပါလိမ့်မယ်။ အခုတော့ ဒီလောက်နဲ့ပဲ ရပ်ထားပါမယ်။

ပိုပြီး ရှင်းသွားအောင် အထက်မှာ ဆွေးနွေးသွားခဲ့တဲ့ terms လေးတွေအကုန်လုံးကို အောက်ပါပုံ (ပုံ ၃) မှာ အနှစ်ချုပ်သဘော စုစည်းဖော်ပြပေးလိုက်ပါတယ်။ (Sample excel calculation ေလးလုပ်ထားတာ ဒီနေရာမှာ ဒေါင်းလုပ်ဆွဲပါ)

ဒါကတော့ ခုနက ပေးထားတဲ့ ဥပမာ motion လေးကို graph မျဥ်းပေါ်မှာ ရေးဆွဲတဲ့အခါမှာ ရမယ့် graph ပဲ ဖြစ်ပါတယ်။ အမှတ် (က) က စထွက်တဲ့အမှတ်ပါ။ အဲ့ဒါက စပရင်လေးကို လက်နဲ့ ဖိလိုက်တာဖြစ်ဖြစ်၊ ဆွဲဆန့်လိုက်တာဖြစ်ဖြစ်လုပ်လိုက်ရင် သိရပါတယ်။ အခုကတော့ ဥပမာအနေနဲ့ စထွက်တဲ့အမှတ်ကို 0.3 m ထားထားလိုက်ပါတယ်။ အမှတ် (ခ) ကတော့ မူလမျှခြေအနေအထားပါ။ displacement တန်ဖိုး သုညဖြစ်နေတာကိုတွေ့ရမှာပါ။ အမှတ် (ဂ) လည်းရောက်ရော အနုတ်ဖက်မှာ -0.3 m ဖြစ်တာတွေ့ရမှာပါ။ (ဃ) မှာ မူလမျှခြေကို ပြန်ရောက်ပါတယ်။ (င) ကိုရောက်ရင်တော့ တစ်ပတ်ပြည့်ပြီပြောလို့ရပါတယ်။ ဘာလို့ဆို စထွက်ခဲ့တဲ့ နေရာ 0.3 m ကို ပြန်ရောက်သွားတာမို့ပါ။ (demonstration ပြပြီး ရှင်းပြချက် ဗီဒီယိုလေး နောက် ထပ်တင်ပေးထားပါမယ်။ ဒါဆို ပိုပြီးထင်သာမြင်သာရှိသွားပါလိမ့်မယ်)။ အဲ့ဒီမှာ period ဆိုတာက အမှတ် (က) မှ (င) အထိအရောက်ဖို့ ကြာမယ့်အချိန် (သို့) အမှတ် (ခ) မှ (စ) စသဖြင့် ကြာချိန်ကို ဆိုလိုတာပါ။ period ရဲ့ သဘောက phase ရွှေ့ပြီးတိုင်းရင်လည်း တူတာကိုတွေ့ရပါမယ်။ ဥပမာ (က – င) ၊ (ခ – စ) ၊ (ဂ – ဆ) စသဖြင့် တိုင်းပါက ကြာချိန်မှာ ၅ စက္ကန့်ဖြစ်နေတာကို တွေ့ရမယ်။ အခြားအရေးကြီးတဲ့ time invariance တို့ stable equilibrium တို့ စတဲ့ သဘောတရားလေးတွေကိုလည်း အခုဒီ motion ေလးက ပါးပါးလေးညွှန်းဆိုပြနေပါသေးတယ်။ ဆိုတော့ သင်္ချာနယ်ပယ်၊ physics နယ်ပယ်၊ engineering နယ်ပယ် စတဲ့ နယ်ပယ်စုံမှာ အခု စာရေးသူတင်ပြသွားတဲ့ အကြောင်းအရာလေးက အင်မတန်မှအရေးကြီးလှပါတယ်လို့ ဆိုရင်း ဆောင်းပါးလေးကို နိဂုံးချုပ်ချင်ပါတယ်။

မရှင်းတာ၊ နားမလည်တာရှိရင် မေးကြပါ။ ဖတ်ရှုအားပေးတဲ့အတွက် ကျေးဇူးတင်ပါတယ်။

အပိုင်း ၃ ဆက်ပါဦးမည်။ (အပိုင်း ၃ မှာ သင်္ချာ model အကြောင်းကို ဇောင်းပေးဆွေးနွေးသွားပါမယ်။ အချိန်ရရင် ဒုတိယကမ္ဘာစစ်တုန်းက mass-spring system ကို လက်တွေ့မှာ ပါးပါးနပ်နပ်သုံးသွားခဲ့တဲ့ ဥပမာလေးပါ ပြောပြပါမယ် 😉)

အားရင် Walter Lewin ရဲ့ ဒီ Video ေလးကို youtube မှာ သွားကြည့်ကြည့်ကြပါ။ အဲ့မှာ သူ pendulum ကြီးကို ခိုစီးပြလိမ့်မယ်။ အားလုံးစိတ်ဝင်စားသွားကြလိမ့်မယ် 😁။

#yp