Simple harmonic oscillator နဲ့ ပတ်သက်ပြီး

(၁) mass-spring ညီမျှခြင်းတွက်ထုတ်ပုံ – Simple harmonic oscillator (မိတ်ဆက် ၁)

(၂) အရေးကြီးတဲ့ အခေါ်အဝေါ်အသုံးအနှုန်းများ – Simple harmonic oscillator (မိတ်ဆက် ၂)

ဆိုတဲ့ ဆောင်းပါးနှစ်ပုဒ်ကို ရေးသားတင်ပြခဲ့ပြီးဖြစ်ပါတယ်။ ပိုပြီးမြင်သာထင်သာရှိသွားအောင် physics classroom ဆိုတဲ့ website လေးမှာ demonstration ပြသခဲ့ပြီးလည်း ဖြစ်ပါတယ် (အောက်မှာ ဗီဒီယိုလေး ရှိပါတယ်။ မကြည့်ရသေးတဲ့သူတွေ ကြည့်လို့ရအောင်ပါ)။ အခုဆောင်းပါးမှာတော့ အဲ့ဒီ ဒြပ်ထု (mass) နဲ့ စပရင် (spring) ပါဝင်တဲ့ စနစ် (system) ညီမျှခြင်းလေးကို အဖြေရှာဆွေးနွေးကြည့်ချင်ပါတယ်။ အဲ့လိုဆွေးနွေးတဲ့နေရာမှာ အလွယ်တကူ လေ့လာလို့ရအောင် သင်္ချာရှုထောင့်နဲ့ ရူပဗေဒရှုထောင့်ဆိုပြီး ရှုထောင့်နှစ်မျိုးခွဲပြီး ဆွေးနွေးသွားပါမယ်။ သင်္ချာရှုထောင့်ဆိုတာ ညီမျှခြင်းကို သင်္ချာနည်းနဲ့ ဘယ်လိုအဖြေရှာသလဲ၊ အရေးတကြီးသိထားရမယ့် သင်္ချာသဘောတရားတွေက ဘာတွေလဲ စတာတွေကို ဆိုလိုပါတယ်။ သူက ညီမျှခြင်းရဲ့ အဖြေကိုရှာတွေ့ဖို့ပဲဖြစ်ပြီး လက်တွေ့သဘောတရား၊ အချိန် concept၊ စွမ်းအင် concept စတာတွေကို ဂရုမစိုက်ပါဘူး။ ရူပဗေဒရှုထောင့်ဆိုတာကျတော့ လက်တွေ့သဘောတရားနဲ့ ဆက်နွယ်ပြီး ရှုမြင်တာပါ။ အဖြေဘယ်လိုရသလဲဆိုတာထက် ရလာတဲ့အဖြေရဲ့ physical property (ဂုဏ်သတ္တိ) တွေကို လေ့လာခြင်းဖြစ်ပါတယ်။ ဥပမာ – ကြိမ်နှုန်း (frequency)၊ လွဲကျယ် (amplitude) ၊ ကာလအပိုင်းအခြား (period) ၊ အရွေ့ (displacement) ၊ အလျင် (velocity) စတာတွေကို လေ့လာတာပဲ ဖြစ်ပါတယ်။ ဒီအထိ နားလည်ကြမယ် ထင်ပါတယ်။

သရုပ်ပြရှင်းလင်းချက် ဗီဒီယို

သင်္ချာရှုထောင့်

ကဲ သင်္ချာရှုထောင့်ကနေ လေ့လာကြည့်ရအောင်။ ဒါနဲ့ သင်္ချာလို့ပြောလိုက်လို့ ခေါင်းကိုက်စရာဆိုပြီး မမြင်ကြပါနဲ့လို့ 😅။ တကယ်က အဲ့လောက်မခက်ပါဘူးဗျ။ စာရေးသူလည်း တတ်နိုင်သမျှတော့ အရှင်းဆုံးဖြစ်အောင် ရေးသားတင်ပြပေးပါ့မယ်။

ဟုတ်ပြီ။ ဖြေရှင်းရမယ့် ညီမျှခြင်းလေး (equation of motion) ကို တချက်ပြန်ကြည့်ကြရအောင်။ သူ့ကို အောက်ပါအတိုင်း ပုံစံနှစ်မျိုးနဲ့ ဖော်ပြလေ့ရှိပါတယ်။

\large m \ddot{x} + Kx = 0

\large \ddot{x} + \omega^{2}x = 0

where \omega = \sqrt{\frac{K}{m}}

ဖော်ပြထားတဲ့ ညီမျှခြင်း ၂ ကြောင်း ဘာကွာသလဲဆိုရင် \omega သုံးပြီးရေးထားတာနဲ့ \omega မသုံးပဲ ရေးထားတာပဲ ကွာပါတယ်။ အထက်မှာပြထားတဲ့ \omega ညီမျှခြင်းလေးကို အစားပြန်သွင်းလိုက်မယ်ဆိုရင် ပထမညီမျှခြင်းနဲ့ တူတဲ့ ညီမျှခြင်းကို ပြန်လည်ရရှိမှာဖြစ်ပါတယ်။ အပိုင်း ၁ မှာ ဒီအကြောင်းကို ရှင်းပြထားပါတယ်။ ပြန်သွားဖတ်ကြည့်လို့ရပါတယ်။

အဆိုပါ ညီမျှခြင်း \ddot{x} + \omega^{2}x = 0 ကို သင်္ချာမှာ second order homogeneous differential equation လို့ခေါ်ပါတယ် (အရမ်းရှည်သွားမှာစိုးလို့ linear နဲ့ ordinary ကို ထည့်မရေးထားပါ) ။ ဟော ဘာသာရပ်ဆိုင်ရာ အသုံးအနှုန်းတွေပါလာပြီ။ differential equation အကြောင်းကို အရင်တုန်းက insight မှာ ဆောင်းပါးနှစ်ပုဒ် (အပိုင်း ၁ နဲ့ အပိုင်း ၂) ဆိုပြီး မိတ်ဆက်သဘော ရေးသားခဲ့ဖူးပါတယ်။ တချို့လည်း အတော်အတန် တီးမိခေါက်မိရှိပြီးသား ဖြစ်မှာပါ။ ဒါပေမယ့် အခုထပ်ပြီး သုံးနှုန်းလိုက်တဲ့ homogeneous ဆိုတာကကျတော့ ဘာများပါလိမ့်ပေါ့။

Homogeneous ကို မြန်မာလိုတိုက်ရိုက်ဘာသာပြန်ကြည့်ရင် ‘ တသားတည်း ဖြစ်သော ‘ လို့အဓိပ္ပာယ်ရပါတယ်။ သူ့ကို အလွယ်မှတ်ချင်ရင် second order differential ညီမျှခြင်းရဲ့ ညာဖက်ခြမ်းမှာ သုညဖြစ်နေရင် homogeneous ဖြစ်တယ်လို့ပြောလို့ရပါတယ်။ သူ့ရဲ့ ထူးခြားတဲ့ ဂုဏ်သတ္တိတစ်ခုကတော့ ညီမျှခြင်းကို ပြေလည်စေတဲ့ အဖြေတွေရဲ့ ပေါင်းလဒ်ကလည်း အဖြေဖြစ်နေတာပါ။ ဒါကို နားလည်အောင် ဥပမာပေးရရင် –

g(t) သည် \ddot{x}(t) + \omega^{2}x(t) = 0 ရဲ့အဖြေဆိုပါတော့။ ဒါဆို g(t) ကို ညီမျှခြင်းထဲ အစားသွင်းတဲ့အခါ \ddot{g}(t) + \omega^{2}g(t) = 0 ဆိုပြီးတော့ရရပါမယ်။ ဒီနေရာမှာ ပြေလည်တယ်ဆိုတဲ့ အဓိပ္ပာယ်က g(t) ကို နှစ်ခါရှိတ်ထားတာရယ် ၊ ရိုးရိုးမရှိတ်ရသေးတဲ့ g(t) ရယ်ကို အစားသွင်းလိုက်တဲ့အခါ အဖြေက သုညပြန်ရတာကို ပြောတာပါ။ ပိုရှင်းတဲ့ ဥပမာပြပါမယ်။

g(t) = sin(\omega t) ဆိုပါတော့။

sine ကို နှစ်ခါရှိတ်လိုက်ရင် \ddot{g}(t) = -\omega^2 sin(\omega t) ဆိုပြီးရပါတယ်။

ဒါကို ညီမျှခြင်းထဲ ပြန်အစားသွင်းလိုက်ရင် \ddot{g}(t) + \omega^{2}g(t) = -\omega^2 sin(\omega t) + \omega^{2} sin(\omega t) = 0 ဆိုပြီး ရပါတယ် (မယုံရင် ကိုယ့်ဘာသာချတွက်ကြည့်ကြပါ)။

အဲ့ဒါဘာကိုပြနေတာလဲဆိုတော့ ရွေးချယ်ထားတဲ့ function g(t) = sin(\omega t) က ပေးထားတဲ့ differential equation ရဲ့ အဖြေဆိုတာကိုပဲ ဖြစ်တယ်။ ပြဿနာက g(t) မဟုတ်ပဲ h(t) ဆိုရင်ကော ။ ဥပမာ –

h(t) = cos(\omega t) ဆိုပြီး အစားသွင်းလိုက်ရင်လည်း ညီမျှခြင်းကို ပြေလည်စေတာ တွေ့ရမှာပါ (မယုံနဲ့။ ကိုယ်တိုင်ချတွက်ကြည့်ကြ 😁)

အဲ့ဒီမှာ ခုနကပြောလိုက်တဲ့ သဘောတရားလေးက အသုံးဝင်လာတာပါပဲ။ ရှိရှိသမျှသော အဖြေ function များ အားလုံးကို ပေါင်းလိုက်ပါ။ ဥပမာ – g(t) + h(t) ဆိုပါတော့။ အဲ့ဒီပေါင်းလဒ် function ကလည်း ညီမျှခြင်းကို ပြေလည်စေပါသတဲ့ဗျာ။ (ဘာကြောင့်များပါလိမ့် 🤔)။ ကဲ ဘာ့ကြောင့်ဆိုတာကို ခဏထားလို့ လောလောဆယ် အဖြေကတော့ ထွက်သွားပြီမဟုတ်ဘူးလား။ ခုနကပြောတဲ့ sine ရယ် cosine function ရယ်ပေါင်းခြင်းက ညီမျှခြင်းလေးရဲ့ အဖြေပါ။ တစ်ခုသတိပြုရမှာက ရိုးရိုးပေါင်းခြင်းမဟုတ်ဘဲ ဘာလာလာအဖြေရအောင် arbitrary constants လေးတွေကိုပါ ထည့်စဉ်းစားသင့်ပါတယ်။ arbitrary ဆိုတာ လွယ်လွယ်ပြောရရင် ‘ဖြစ်ချင်တာဖြစ်လို့ရတဲ့ ကိန်းသေ’ ဆိုပါတော့။

Arbitrary ကိန်းသေပါသော အဖြေ function : \large A sin(\omega t) + B cos(\omega t)

where A and B are arbitrary constants.

၎င်း arbitrary ကိန်းသေပါတဲ့ အဖြေ function ကို general solution (ယေဘုယျအဖြေ) လို့ခေါ်ပါတယ်။ Second order ordinary differential equation အတွက် arbitrary ကိန်းသေ နှစ်ခုလိုအပ်ပါတယ်။ သူတို့ကို initial conditions (စဦးအခြေအနေ) ကနေ ပြန်ရှာလို့ရပါတယ်။ အဲ့ဒီ စဦးအခြေအနေနှစ်ခုကတော့ t = t_0 မှာရှိမယ့် x_0 နဲ့ \dot{x}_0 တို့ပဲဖြစ်ပါတယ်။ လွယ်အောင် t_0 = 0 ဆိုပြီး ယူဆလိုက်ရအောင်။ ဒါနဲ့ လောလောဆယ် သင်္ချာရှုထောင့်ဖြစ်လေတော့ လက်တွေ့သဘော ဘာညာဆက်စပ်တွေးစရာမလိုဘူးပေါ့။ လက်တွေ့မှာဆိုရင်တော့ ခုနကပြောလိုက်တဲ့ x_0 နဲ့ \dot{x}_0 တို့ဆိုတာ စဦးအရွေ့ နဲ့ စဦးအလျင်တို့ပဲ ဖြစ်ပါတယ်။ အဲ့လို initial conditions ကိုအသုံးပြုပြီး ရလာမယ့် အဖြေကတော့ ‌particular solution (တစ်နည်း specific solution) ပေါ့။ ဟုတ်ပြီ။ ဒီအထိ အားလုံးနားလည်ကြလိမ့်မယ်လို့ မျှော်လင့်မိပါတယ်။ (မှတ်ချက်။ တချို့က exponential function အသုံးပြုပြီးအဖြေရှာကြတယ်။ အဲ့ဒါက နောက်တစ်နည်းပါ။ သိထားသင့်တာက exponential function နဲ့ sine , cosine တို့ဟာ တကယ်တော့ ဆက်စပ်နေသဗျာ။ ဒါကို ဟိုးအရင်တုန်းက လှပတဲ့သင်္ချာညီမျှခြင်းလေး ဆောင်းပါး (တတိယပိုင်း) မှာ အရိပ်အမြွက်လောက် ပြောပြခဲ့ဖူးပါတယ်။ လင့်ခ်ကိုနှိပ်ပြီး ပြန်သွားဖတ်ကြည့်နိုင်ပါတယ်)

ကဲ ညီမျှခြင်းလေးကို စပြီးဖြေရှင်းကြည့်ရအောင်။ sine ကိုရှိတ်ရင် cosine ၊ တစ်ခါ cosine ကိုရှိတ်ရင် – sine စတဲ့အခြေခံ (ဆယ်တန်းအဆင့်) single variable calculus တော့ အနည်းအကျဉ်း ပြန်မှတ်မိဖို့ လိုအပ်ပါမယ်။ ဒီအကြောင်းက ဆောင်းပါးကောင်းတစ်ပုဒ်ဖြစ်လာနိုင်လို့ နောက်မှပဲ အပြည့်အစုံပြန်ရှင်းပြပါတော့မယ်။ လောလောဆယ် သိပြီးသားလို့ သဘောထားပြီး ဆက်ရေးလိုက်ပါပြီ။ ဖြေရှင်းနည်း အပြည့်အစုံမှာ –

အထက်မှာ ပြထားတဲ့အတိုင်း တွက်ပါက constants တွေရဲ့ တန်ဖိုးကို ရပါမယ်။ x_0 နဲ့ v_0 ကိုတော့ ကိုယ့်ဘာသာ (သို့မဟုတ်) ဖြေရှင်းချင်တဲ့ လက်တွေ့သဘောတရားပေါ်မူတည်ပြီး တန်ဖိုး သတ်မှတ်ပေးရပါမယ်။ (မှတ်ချက် ။ v_0 = \dot{x}_0 )

ဆိုတော့ A နဲ့ B ကိုသာ မူရင်းဖြစ်တဲ့ general solution မှာ ပြန်အစားသွင်းလိုက်မယ်ဆိုရင် mass-spring system အတွက် particular solution ကို ရရှိမှာဖြစ်ပါတယ်။

When A = \frac{v_0}{\omega} and B = x_0 

x(t) = A sin(\omega t) + B cos(\omega t)

\therefore x(t) = \frac{v_0}{\omega} sin(\omega t) + x_0 cos(\omega t)

ဒါကတော့ သင်္ချာရှုထောင့်ကနေ ဖြေရှင်းလို့ ရလာမယ့် solution function ပဲ ဖြစ်ပါတယ်။ (မှတ်ချက်။ သင်္ချာသဘောအရ t နေရာမှာ တခြား alphabet နဲ့ ကိုယ်စားပြုရေးလို့လည်း ရပါတယ်။ x နေရာမှာ y လို့ရေးလည်းရပါတယ်။ ဒါတွေက အရေးမကြီးပါ)

ရူပဗေဒရှုထောင့်

ရူပဗေဒရှုထောင့်ကျတော့ လက်တွေ့သဘောတရားတွေပါလာပြီ။ အချိန်တို့ စွမ်းအင်တို့ အရွေ့တို့ စတဲ့ သဘောတရားတွေ စဉ်းစားရတော့မယ်။ ဒါကြောင့် အထက်ပါ ညီမျှခြင်းလေးကို အဆင်ပြေအောင် တခါတည်း function of time အနေနဲ့ တွက်ထုတ်ပြခဲ့တာပါ။ ဆိုတော့ x(t) သည် function of time ပါ။ တစ်နည်းပြောရရင် သူက mass တုံးလေးရဲ့ အရွေ့ကို အချိန်နဲ့ ဖော်ပြနေတဲ့ ညီမျှခြင်းဆက်သွယ်ချက်ကလေးပဲ ဖြစ်ပါတယ်။

အထက်မှာ ပြထားခဲ့တဲ့ ဗီဒီယိုလေးထဲကအတိုင်း mass နဲ့ spring stiffness တန်ဖိုးရယ်၊ initial displacement နဲ့ initial velocity တန်ဖိုးရယ်ကို သိရင် mass-spring ညီမျှခြင်းကို အဖြေရှာလို့ရပြီ။ ထုံးစံအတိုင်း အဖြေကို graph ဆွဲပြီး ကိန်းမျဉ်းပုံစံလေ့လာပါမယ်။ ဆိုပါတော့ mass M = 1 kg, stiffness K = 1.58 N/m ရှိတယ်။ စပရင်လေးကို စစချင်းမှာ 0.3 m ဆွဲဆန့်လိုက်မယ်။ ၂ စက္ကန့်အကြာမှာရှိမယ့် mass တုံးလေးရဲ့ location ကို ရှာချင်တယ် ဆိုပါတော့။ အဲ့ဒါကို အပေါ်မှာ တွက်ထုတ်ခဲ့တဲ့ ညီမျှခြင်းတွေအရ ဖြေရှင်းလို့ရတယ်။

မှတ်ချက် ။ ဖြေရှင်းလို့ရယုံမက လက်တွေ့မှာ ပြန်စမ်းကြည့်လည်း မှန်နေတာကို တွေ့ရပါတယ် (Why??? ==> ကြည့်ရတာတော့ သင်္ချာဆိုတာ လက်တွေ့ဘဝရဲ့ ဘာသာစကားဖြစ်နေလို့များလား?? )

ကဲ ဒါတွေ အသာထားလိုက်ပါဦး။ ‌လောလောဆယ် ပေးထားတဲ့ input အချက်အလက်များကို သုံးပြီး အဖြေရှာကြည့်ပါမယ်။ စာရေးသူ excel သုံးပြီး ဥပမာအနေနဲ့ တွက်ပြထားတယ်။ (ဤလင့်ခ်မှာ ရယူပါ။)

ဒီနေရာမှာ အဲ့ဒီ ရလာတဲ့ graph တွေကို ဘယ်လိုနားလည်ရမလဲဆိုတာက အင်မတန်မှ အရေးကြီးပါတယ်။ ဒါမှသာ အရေးကြီးတဲ့ physics concept တွေကို ရှုမြင်နိုင်မှာဖြစ်ပါတယ်။

မျက်စိထဲမှာ အထက်အောက် ရွေ့နေမယ့် စပရင်လေးကို မြင်ထားရမယ်။ တချိန်တည်းမှာ အထက်မှာပြထားတဲ့ ပုံ (အပေါ်) က displacement ဆိုတာ အဲ့ဒီ အရွေ့ကို ပြနေတာပါလား နားလည်ရပါမယ်။ ဆိုပါတော့ အချိန် သုညစက္ကန့်မှာ velocity က သုညရှိနေတာကို တွေ့ရမယ်။ displacement ကတော့ 0.3 m ပါ။ ဒါက စဦးအခြေအနေကဖော်ပြခဲ့တဲ့အတိုင်း ဖြစ်ပါတယ်။ အချိန် ၂ စက္ကန့်ကို ရောက်သွားရင် graph ေလးကို လက်နဲ့ ထောက်ကြည့်တဲ့အခါ displacement = -0.24 m, velocity = – 0.22 m/s ရှိတာကို တွေ့ရပါမယ်။ ဒါကို သင်္ချာ model တည်ဆောက်ပြီး ဖြစ်လာမယ့်ရလဒ်ကို prediction လုပ်တယ်လို့ခေါ်ပါတယ်။

ဇယားကို အသေအချာကြည့်ရှုတဲ့အခါ အောက်ပါ ထူးခြားချက်လေးတွေကို ထပ်ပြီးတွေ့ရပြန်တယ်။

• motion သည် ထပ်ကြော့တလဲလဲ ဖြစ်နေခြင်း (periodic)
• လွှဲကျယ် (amplitude) အများဆုံးဖြစ်တဲ့အချိန်တိုင်း အချိန်တိုင်းမှာ velocity က သုည ဖြစ်နေခြင်း
• velocity အများဆုံးဖြစ်ချိန်တိုင်းမှာ displacement (သို့မဟုတ်) amplitude သုညဖြစ်နေခြင်း

စတာတွေကို တွေ့မြင်ရမှာပါ။ တစ်ခါ သူတို့ရဲ့ ထပ်ကြော့တလဲလဲ ဖြစ်နေပုံကို period (T) ၊ frequency (f) တို့နဲ့ ဆက်စပ်လို့ရနေပြန်တယ်။ ပေးထားတဲ့ ဥပမာထဲမှာတော့ period T = 5 sec ရှိပြီး ကြိမ်နှုန်း f = 0.2 Hz ရှိပါတယ်။ ဟော omega နဲ့လည်း အောက်ပါအတိုင်း ပြန်ဆက်စပ်ကြည့်လို့ရပါတယ်။

\large \omega = 2 \pi f

Since \large \omega = \sqrt{\frac{K}{m}} and \large f = \frac{1}{T}

\large \sqrt{\frac{K}{m}} = 2 \pi \frac{1}{T}

\large \therefore T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{K}}

နောက်ဆုံးရလာတဲ့ ညီမျှခြင်းအရ period (ကြာချိန် သို့ ကာလအပိုင်းအခြား) တန်ဖိုးဟာ mass နဲ့ တိုက်ရိုက်အချိုးကျပြီး stiffness နဲ့ ပြောင်းပြန်အချိုးကျနေတာကို တွေ့ရပါတယ်။ ဆိုလိုတာက ဒြပ်ထုတိုးရင် period တန်ဖိုး တိုး (ဖြည်းဖြည်းပဲရွေ့) မှာဖြစ်ပြီး ဒြပ်ထုနည်းရင်တော့ period တန်ဖိုးလျော့ (မြန်မြန်ရွေ့)မှာ ဖြစ်ပါတယ် ။ တစ်ခါ stiffness တိုးရင် period တန်ဖိုးလျော့ (မြန်မြန်ရွေ့) မှာ ဖြစ်ပြီး stiffness နည်းရင်တော့ period တန်ဖိုးတိုးမယ် (မြန်မြန်ရွေ့) မယ်ပေါ့ဗျာ၊ စသဖြင့် နားလည်နိုင်ပါတယ်။

တော်တော်တောင်များနေပြီလားပဲ။ ပြောစရာတွေက ကျန်သေးတယ် 😅။ ဒါနော် result ေတွကို ဘယ်လို interpret လုပ်ကြည့်လို့ရသလဲဆိုတာ တခါတည်း ပြောပြပေးသွားတာလည်း ဖြစ်ပါတယ်။ ကဲ စွမ်းအင်အမြင်လေးနဲ့ ကြည့်ကြဦးစို့။

အများဆုံးရှိမယ့် အရွေ့စွမ်းအင် (Maximum kinetic energy) = \frac{1}{2} m v_{max}^2

အများဆုံးရှိမယ့် စပရင်စွမ်းအင် (Maximum potential energy) = \frac{1}{2} K x_{max}^2

v_{max} = 0.38 m/s, x_{max} = 0.3 m စတာတွေကို Graph ကနေဖတ်လို့ရမယ်။ ဒီတော့ တန်ဖိုးအစားသွင်းတွက်လိုက်ရင်

အများဆုံးရှိမယ့် အရွေ့စွမ်းအင် (Maximum kinetic energy) = 0.071 joule

အများဆုံးရှိမယ့် စပရင်စွမ်းအင် (Maximum potential energy) = 0.071 joule

မှတ်ချက်။ joule (J) ဆိုတာ စွမ်းအင်ရဲ့ ယူနစ်ပါ။

အများဆုံးရှိမယ့် kinetic energy (KE) နဲ့ potential energy (PE) တို့ တူနေတာကို တွေ့ရပါမယ်။ အဲ့လို system ကို ရူပဗေဒမှာ conservative system လို့ခေါ်ပါတယ်။ တစ်နည်း စုစုပေါင်း စွမ်းအင်သည် conserved ဖြစ်တယ်၊ ကိန်းသေဖြစ်တယ်၊ စတာကို ဆိုလိုပါတယ်။

ဒါကို ဟုတ်မဟုတ် အောက်ပါအတိုင်း ညီမျှခြင်းလေးနဲ့ တွက်ပြလို့ ရသေးသဗျာ။ (စာအကုန်ပြန်ရိုက်ရမှာ ပျင်းလို့ အဆင့်အချို့ကျော်ပါမယ် 😁)

Total energy E(t) = KE(t) + PE(t)

E(t) = \frac{1}{2} m \dot{x}(t)^2 + \frac{1}{2} K x(t)^2

Since x(t) = \frac{v_0}{\omega} sin(\omega t) + x_0 cos(\omega t) and \dot{x}(t) = v_0 cos(\omega t) - x_0 \omega sin(\omega t) , အစားသွင်းပြီး ရှင်းလိုက်တဲ့အခါ

E(t) = \frac{1}{2} \left( mv_{0}^2 + Kx_{0}^2 \right)

ဆိုပြီးရတာကို တွေ့ရပါမယ် (ဒါနဲ့ အဆင့်တွေကျော်ထားပါတယ်။ ဟုတ်မဟုတ် ကိုယ်တိုင်ပြန်တွက်ကြည့်ကြဖို့ တိုက်တွန်းပါတယ်)

ဒီညီမျှခြင်းလေးက ဘာကိုပြနေသလဲ?? – သတိထားမိကြမလားတော့မသိဘူး။ စစချင်းမှာ total energy ကို function of time နဲ့ စပြီး တွက်ခဲ့ပေမယ့် နောက်ဆုံးရလာတဲ့ ညီမျှခြင်းကျတော့ (ညာဖက်မှာ) function of time မဟုတ်တာကို တွေ့ရမယ်။ ဆိုတော့ စုစုပေါင်းစွမ်းအင်တန်ဖိုးသည် အချိန်ပေါ်မမှီခိုပါ။ ၎င်းသည် mass (m), stiffness (K) နဲ့ initial conditions ( x_0 နဲ့ v_0 ) တို့ပေါ်မှာသာ မူတည်ပါတယ်။ ဒီတော့ စုစုပေါင်းစွမ်းအင်ဟာ အချိန်တိုင်းအချိန်တိုင်းအတွက် constant ဖြစ်နေပါတယ်။ အခုဥပမာလေးမှာတော့ သူရဲ့တန်ဖိုးက 0.071 J ပဲ ဖြစ်ပါတယ်။ ဒါကို conservative system လို့ခေါ်ပါတယ်။

ကဲ အတော်လေးနားလည်သွားကြလိမ့်မယ် ထင်မှတ်မိပါတယ်။ အော် ဒါနဲ့ ဒီဆောင်းပါးလေးကို နောက်ထပ်စိတ်ဝင်စားစရာကလေးနဲ့ အဆုံးသတ်ချင်ပါတယ်။ အဆိုပါ displacement x(t) နဲ့ velocity \dot{x}(t) တို့ကို ကိန်းမျဉ်းပေါ်မှာဆွဲလိုက်တဲ့အခါ woww ၊ ဘဲဥပုံကြီးထွက်လာတာကို တွေ့ရသဗျ။ အောက်ပုံမှာကြည့်ပါ။ ဘာကြောင့်များပါလိမ့်။ (ဒါကိုတော့ အားလုံး ဆွေးနွေးအဖြေရှာဖို့ ထားခဲ့လိုက်ပါပြီ)

လိုအပ်ချက်တွေ တွေ့ရင်လည်း ထောက်ပြပေးကြပါ။ See you all

#yp