ဟင်းလင်းပြင် – အချိန် (space-time) နဲ့ ပတ်သက်ပြီးတော့ သိချင်လို့ comment မှာ မေးထားတာလေးတွေ တွေ့ရတယ်။ ဒီရက်ပိုင်း စာရေးသူလည်း continuum mechanics ဘာသာရပ်ကို လေ့လာနေရတော့ Tensor ရေးသားနည်းတွေနဲ့ ထိတွေ့နေရပါတယ်။ အဲ့ဒီမှာ တစ်ခုတွေ့မိတာက အိုင်းစတိုင်းရဲ့ ယေဘုယျနှိုင်းရသီအိုရီ (General relativity) ထဲမှာပါတဲ့ စက်ကွင်းညီမျှခြင်းတွေ (Einstein Field Equations) ဆိုတာဟာလည်း Tensor တွေနဲ့ချည်း ရေးထားတာကို တွေ့ရပြန်တယ် (အသုံးပြုထားတဲ့ tensor ချင်းတော့ မတူပါ)။ ဆိုတော့ကာ ကြည့်ရတာတော့ အိုင်းစတိုင်းညီမျှခြင်းတွေကို နားလည်ချင်တယ်ဆိုရင် Tensor အကြောင်းကိုလည်း သိထားမှဖြစ်တော့မယ်။ ဥပမာပေးရရင် ရှိတ်စပီးယား ပြဇာတ်တွေကို ဖတ်ဖို့ အင်္ဂလိပ်စာအရင်သင်ရသလိုမျိုးပဲ Space-time အကြောင်းနားလည်ချင်ရင်လည်း Tensor အကြောင်း အရင်သိထားသင့်ပါတယ်။ ဒီတော့ အခုဆောင်းပါးလေးမှာ Space-time နဲ့ Tensor ညီမျှခြင်းတွေအကြောင်း စာဖတ်သူတို့အတွက် အမြည်းသဘောမျှ တင်ပြပေးချင်ပါတယ်။

Tensor အကြောင်းမပြောခင် အရင်ဆုံး ဟင်းလင်းပြင် – အချိန် ဆိုတာဘာလဲ အရင်ကြည့်ရအောင်။ ဟင်းလင်းပြင်ဆိုတာ စာရေးသူတို့ သွားလာလှုပ်ရှားနေကြတဲ့နေရာ၊ Cartesian coordinate နဲ့ ပြောရင် (X, Y, Z) ဆိုပြီး ဒိုင်မန်းရှင်းသုံးခု ရှိတယ်။ Time ဆိုတာကတော့ အချိန်ပါ။ Space နဲ့ Time ကို ခွဲခြားပြီးထားလို့ မရတာကတော့ အမှန်ပဲ။ ဥပမာ – မောင်မောင်ဟာ မမနဲ့ ချိန်းထားတယ်ဆိုပါစို့။ မမကို message ပို့တဲ့အခါ ဘယ်နေရာမှာ တွေ့မှာလဲ (position) ကို ပို့ပေးရတယ်။ ဆိုပါတော့ ဗိုလ်ချုပ်လမ်းမပေါ်က Junction City ဒုတိယထပ် စသည်ဖြင့် နေရာ (coordinate information) ကို ပေးရတယ်။ အဲဒါနဲ့လည်း မလုံလောက်သေးဘူး။ ဘယ်အချိန်တွေ့ချင်တာလဲ၊ မနက်ပိုင်းလား၊ ညနေပိုင်းလား၊ ဘယ်နှနာရီမှာ တွေ့မှာလဲ စသဖြင့် တိတိကျကျထပ်ပြောမှ စောင့်ရတဲ့လူလည်း အကြာကြီးမစောင့်ရတော့မှာ။ ဒါကတော့ ကျွန်တော်တို့ရဲ့ နေ့စဥ်ဘဝက ဟင်းလင်းပြင် (space) နဲ့ အချိန် (time) အကြောင်းပါ။

နယူတန်ရဲ့ သီအိုရီတွေမှာ space-time ကို absolute (ပကတိ) အနေနဲ့ ရှုမြင်ခဲ့ပါတယ်။ ဆိုလိုတာက space-time ဆိုတဲ့ နောက်ခံပိတ်ကားကြီးပေါ်မှာ အဖြစ်အပျက် (events) တွေ ဖြစ်ကြပျက်ကြတယ်။ ဒါပေမယ့် အဲ့ဒီအဖြစ်အပျက်တွေကြောင့် ပိတ်ကားကြီးမှာ ဘာသက်ရောက်မှုမှ မရှိဘူး။ space ကလည်း အမြဲတမ်း မပြောင်းလဲဘဲရှိနေမှာ ဖြစ်သလို time ကလည်း မပြောင်းလဲတဲ့နှုန်းထားနဲ့သာ ရှေ့ကို ဆက်လက်ရွေ့မြဲရွေ့နေမှာ ဖြစ်တယ်။ ဒါက အရင်က သိထားခဲ့ကြတဲ့ space-time ရဲ့ အယူအဆပါ။ စာရေးသူတို့ သိထားတဲ့ နေ့စဥ်ဘဝထိတွေ့မှုတွေအရလည်း ဒီ absolute space-time ဆိုတဲ့ အယူအဆဟာ မှန်နေသလို ထင်ရပြန်ပါတယ်။

၂၀ ရာစုရဲ့ အစောပိုင်း ခုနှစ်တွေမှာ ဒီအယူအဆတွေ မြေလှန်ခံခဲ့ရတယ်။ ၁၉၀၅ ခုနှစ်မှာ သိပ္ပံပညာရှင် အယ်လ်ဘတ်အိုင်းစတိုင်းဟာ အထူးနှိုင်းရသီအိုရီ (Special relativity) ကို အဆိုပြုခဲ့တယ်။ အလင်းရဲ့အလျင်ဟာ ကိန်းသေတန်ဖိုးရှိပြီး စာရေးသူတို့ သိထားတဲ့ အချိန်ရဲ့ သတ်မှတ်ချက်ဟာ မမှန်ကန်တော့တာ တွေ့ခဲ့ရတယ်။ အထူးသဖြင့် ဝတ္ထုတစ်ခုဟာ အလင်းရဲ့ အလျင်တန်ဖိုး (3 x 108 ms-1) နဲ့ ပိုပြီးနီးနီးရွေ့နိုင်လေလေ အချိန်ရဲ့ သွားနေတဲ့ နှုန်းထားဟာလည်း လျော့ကျလာလေလေဆိုတာကို တွေ့ရှိခဲ့တယ်။ ဆိုလိုတာက ပိုပြီးမြန်မြန်ရွေ့လေလေ အချိန်ကနှေးလေလေပါ။ စာရေးသူအမြင်တော့ အရွေ့စွမ်းအင်အချို့ကို အချိန်ဆိုတဲ့ ဒိုင်မန်းရှင်းကို ခွဲဝေပေးလိုက်ရလို့ပါ။ ဒါကို ပညာရပ်ဆိုင်ရာမှာ အချိန် ပြန့်ကားခြင်း (ဝါ) အချိန်ဆွဲဆန့်ခြင်း (time dilation) လို့ခေါ်ပါတယ်။ ဆိုလိုရင်းကို ပြန်ကောက်ရရင်တော့ အစက နောက်ခံပိတ်ကားလို့သာ သိထားတဲ့ အချိန်ဆိုတဲ့အရာက အခု သရုပ်ဆောင်နေရာကို သူကိုယ်တိုင် ပါဝင်လာပါပြီ။ ‘ဘယ့်နှယ်တုန်းဟ’ လို့အတွေးမစောလိုက်လေနဲ့ဦး။ ဒီ့ထက်ပိုပြီး ‘mindblowing’ ဖြစ်စရာတွေ လာဦးမှာမို့ပါ။

၁၉၀၈ ခုနှစ်မှာ‌တော့ အိုင်းစတိုင်းရဲ့ ဆရာတစ်ဦးဖြစ်သူ ဟာမန်းမင်ကောစကီး က အိုင်းစတိုင်းရဲ့ အထူးနှိုင်းရသီအိုရီကို space-time ဆိုတဲ့ ဒိုင်မန်းရှင်း ၄ ခုပါဝင်တဲ့ ဂျီသြမေတြီနည်းအရလည်း နားလည်ကြည့်လို့ရတယ်ဆိုပြီး အဆိုပြုခဲ့ပါတယ်။ Space ရဲ့ (x,y,z) ဆိုတဲ့ ဒိုင်မန်းရှင်း ၃ ခုရယ်၊ time ဒိုင်မန်းရှင်းရယ် စုစုပေါင်း ၄ ခုပေါ့။ သူ့နာမည်အတိုင်းပဲ Minkowski space-time ဆိုပြီး ခေါ်ပါတယ်။ ဒီသီအိုရီလေးကနေ ဟင်းလင်းပြင်-အချိန် ဆိုတာ ဒင်္ဂါးပြားတစ်ခုရဲ့ ခေါင်းနဲ့ပန်းလို ဆက်စပ်နေတယ်ဆိုတာကို ပြသခဲ့တယ်။ ဒါပေမယ့် Minkowski space-time ဟာ ကိန်းသေအလျင်နဲ့ ရွေ့နေမှသာ တိကျပါတယ်။ အဲ့ဒါကို အိုင်းစတိုင်းက အရှိန်ရဲ့ သက်ရောက်မှုတွေကိုပါ ထည့်သွင်းပြီး Minkowski space-time အယူအဆကို generalize လုပ်ခဲ့ပါတယ်။ ပြောရရင် အိုင်းစတိုင်းက ‘ဒိုင်မန်းရှင်း ၄ ခု ရှိတဲ့ space-time ကြီးဟာ gravity ကြောင့် ကွေးညွတ်နေရတာပါ’ ဆိုပြီး ပိုပြီး ယေဘုယျကျတဲ့ သီအိုရီကို တင်ပြခဲ့တာမို့ General Relativity ဆိုပြီးတော့ ခေါ်ရတာပါ။ အနှစ်ချုပ်ပြီး ဖော်ပြရရင် —

  • General relativity မှာ ဟင်းလင်းပြင် – အချိန် တို့ဟာ ဒြပ်ထု (mass) နဲ့ စွမ်းအင် (energy) တို့ကြောင့် ကွေးညွတ်နေတယ်။ တစ်နည်း Gravity ဆိုသည်မှာ အား (force) မဟုတ်။ mass-energy တို့ရဲ့ ဖြစ်တည်မှုကြောင့် space-time ရဲ့ အကွေးသာလျှင် ဖြစ်တယ်။
  • ကွေးနေတဲ့ ဟင်းလင်းပြင်တစ်ခု (curved space) မှာ အရင်က စာ‌ရေးသူတို့သင်ယူခဲ့ကြတဲ့ Euclidean geometry (ဥပမာ မျဥ်းပြိုင်နှစ်ကြောင်း ဘယ်တော့မှ မဆုံနိုင်ခြင်း၊ တြိဂံတစ်ခု၏ အတွင်းထောင့်များပေါင်းခြင်းသည် ၁၈၀ ဒီဂရီရှိခြင်း စတဲ့) အယူအဆတွေဟာ မမှန်နိုင်တော့ပါ။
  • အချိန်ကွေးညွတ်ခြင်းဆိုတာ gravity ရဲ့သက်‌ရောက်မှုကြောင့် (လေ့လာသူရဲ့ ရှုထောင့်ပေါ်မူတည်ပြီး) အချိန်ပိုနှေးသွားတာကို ပြောတာပါ။

ပြောချင်တာတွေ ခုမှလာပါပြီ။ ဒါကို မျက်စိထဲ ဘယ်လိုမြင်ကြမလဲ။ ဒိုင်မန်းရှင်း ၄ ခုရှိတဲ့ space-time ကြီး ဘယ်လိုများကွေးညွတ်သွားတာလဲပေါ့။ ဝမ်းနည်းစရာကောင်းတာကတော့ ဒါကို မြင်ယောင်ကြည့်လို့ မရပါဘူး။ ဘာလို့လဲဆိုတော့ စာရေးသူတို့ဟာ ဒိုင်မန်းရှင်း ၃ ခုပဲရှိတဲ့လောကကြီးထဲက သတ္တဝါတွေ ဖြစ်နေကြတာကိုး။ ဒိုင်မန်းရှင်းအနိမ့်ကနေ အမြင့်ကို သွားကြည့်လို့မရနိုင်ဘူး လို့ပြောလိုတာပါ။ ဥပမာ 2D အတိုင်းသွားနေမယ့် Mario Game လေးကို မြင်ယောင်ကြည့်လိုက်ပါ။ Mario အတွက်တော့ သူ့ရဲ့ 2D space လေးဟာ သူ့အတွက် စကြဝဠာကြီးပါပဲ။ သူအရှေ့ကို သွားလို့ရမယ်၊ အနောက်ပြန်ဆုတ်လို့ရမယ်၊ အပေါ်တက်အောက်ဆင်းလုပ်တာ၊ ခုန်တာ စတာတွေလုပ်လို့ရမယ်။ သူ့ဒိုင်မန်းရှင်းလေးထဲမှာတော့ အဟုတ်ပဲ။ ဒါပေမယ့် စာရေးသူတို့ ဒိုင်မန်းရှင်းကနေ ကြည့်နိုင်တော့ Mario ဘာကြီးပဲလုပ်နေနေ 2D ပြားပြားကြီးဆိုတာကို သိနေတယ်လေ။ Mario သာ သူ့ရဲ့ 2D ကနေသာ ခုန်ထွက်လို့ရခဲ့ရင် Mario လည်း ပြားပြားကြီးဆိုတာကို သိသွားမှာ။ အဲ့ဒီ သဘောတရားလေးဟာ ဒိုင်မန်းရှင်း ၄ ခုမှာလည်း လာမှန်နေတယ်။ စာရေးသူတို့ဟာ ဒိုင်မန်းရှင်း ၃ ခုအနေနဲ့သာ ရှင်သန်နေရသူတွေဆိုတော့ ဒိုင်မန်းရှင်း ၄ ခုကွေးတာမပြောနဲ့ ဒိုင်မန်းရှင်း ၃ ခု ဘယ်လိုကွေးသလဲတောင် မြင်ယောင်လို့မရနိုင်ပါ။ ဟုတ်ပြီ။ ဒါဆို ဒီလိုကန့်သတ်ချက်တွေကို အိုင်းစတိုင်း ဘယ်လိုများ ကျော်လွှားခဲ့ပါသလဲ။ စိတ်ဝင်စားစရာပဲနော့။

အိုင်းစတိုင်းဟာ သင်္ချာလို့ခေါ်တဲ့ ‘စကြဝဠာ universal ဘာသာစကား’ ကို အသုံးပြုပြီး ဒိုင်မန်းရှင်း ၄ ခုရဲ့ ကွေးညွတ်ပုံအကြောင်းကို ပုံဖော်သွားခဲ့တာပါ။

အိုင်းစတိုင်းဟာ သင်္ချာလို့ခေါ်တဲ့ စကြဝဠာရဲ့ universal သုံးဘာသာစကားကို အသုံးပြုပြီး ဒိုင်မန်းရှင်း ၄ ခုရဲ့ ကွေးညွတ်ပုံအကြောင်းကို ပုံဖော်သွားခဲ့တာပါ။ ဒီလိုပုံဖော်ခြင်းက ပုံဆွဲပြီး သရုပ်ဖော်ပြတာထက်တောင်မှ ပိုမိုထင်သာမြင်သာရှိပါတယ်။ စာအုပ်တွေထဲက သရုပ်ဖော်ပုံအတော်များများဟာ 4D ကြီးကွေးညွတ်တာကို ပြဖို့မဖြစ်နိုင်တော့ space-time ကို 2D အပြားကြီး အနေနဲ့ ယူဆပြီး mass ကြောင့် ကွေးညွတ်နေတဲ့ပုံစံမျိုးအဖြစ်နဲ့သာ ဖော်ပြလေ့ရှိကြတယ်  (ဥပမာ ပုံ ၁ ကို ကြည့်ပါ)။ ဒါကို သေချာနားလည်ခံစားကြည့်ဖို့ဆိုရင် သူ့ကို သေချာဖော်ပြနိုင်တဲ့ ဘာသာစကားကို သိထားရမယ်။ အဲ့ဒီမှာပဲ Tensor ဆိုပြီးတော့ စအသုံးပြုလာကြတာပါ။ Tensor အစ အိုင်းစတိုင်းကလို့တောင် ပြောကြတယ်။ အမှန်တော့ Tensor ရေးသားနည်းကို အိုင်းစတိုင်းထွင်ခဲ့တာမဟုတ်ပါ။ ခုနကပြောသလို အိုင်းစတိုင်းက ဒိုင်မန်းရှင်း ၄ ခု ကွေးတာကို ထိထိ‌ရောက်ရောက် ပုံဖော်ဖို့ ပြန်အသုံးချခဲ့ရုံပါ။ Tensor နဲ့ Tensor analysis ကို တီထွင်ခဲ့သူတွေက Gregorio Ricci-Curbastro (1853 – 1925) နဲ့ သူ့တပည့် Tullio Levi-Civita (1873 – 1941) တို့ပဲ ဖြစ်ပါတယ် (Ref. [1])။

ပုံ ၁။ ကမ္ဘာရဲ့ mass ကြောင့် ဟင်းလင်းပြင်-အချိန်ကွေးညွတ်မှုကို သရုပ်ဖော်ထားပုံ (Image courtesy: NASA Ref. [2])
ပုံ ၁။ ကမ္ဘာရဲ့ mass ကြောင့် ဟင်းလင်းပြင်-အချိန် ကွေးညွတ်မှုကို သရုပ်ဖော်ထားပုံ (Image courtesy: NASA Ref. [2])
ကဲ ဒီတော့ စာဖတ်သူလည်း တွေးနေလောက်ပြီ။ ဒီလောက်တောင် စွမ်းတဲ့ Tensor ‌ဆိုတာ ဘာကြီးတုန်း ပေါ့။ ဒါကို သဘောပေါက်ဖို့ ယေဘုယျနှိုင်းရသီအိုရီမှာပါတဲ့ အိုင်းစတိုင်းရဲ့ စက်ကွင်းညီမျှခြင်းတွေ (Einstein Field Equations) ကို အရင်လေ့လာကြည့်ရအောင်။

Einstein’s Field Equations (EFE)

\displaystyle G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu \nu}

အထက်ပါညီမျှခြင်းလေးကတော့ အိုင်းစတိုင်းရဲ့ စက်ကွင်းညီမျှခြင်းပဲ ဖြစ်ပါတယ်။ ညီမျှခြင်းထဲမှာ ပါဝင်တဲ့ သင်္ကေတဘာတွေလဲ မပြောခင် ညီမျှခြင်းလေးရဲ့ သဘောတရားလေးကို နည်းနည်းလောက်ရှင်းပြချင်ပါတယ်။ ကိန်းသေအချို့မှအပ ညီမျှခြင်းတစ်ကြောင်းလုံးဟာ Tensor ရေးနည်းတွေနဲ့ချည်း ရေးထားတာပါ။ ညီမျှခြင်းလေးက ဒီလောက်လေးပဲလားလို့ အပြောမစောလိုက်နဲ့ဦး။ အဲ့ဒါ ညီမျှခြင်း ၁၀ ကြောင်းကို တစ်ကြောင်းတည်းပေါင်းရေးထားတာပါ။ ဒါကြောင့်လည်း Equations ဆိုပြီး ‘s’ ထည့်ပြီး အများကိန်းနဲ့ ခေါ်ဆိုရခြင်းပါ။ ဒီညီမျှခြင်းတွေကို ဖြေရှင်းဖို့ကလည်း ထင်သလောက်မရိုးရှင်းပါ။ ဒီလို ညီမျှခြင်းမျိုးကို သင်္ချာမှာ coupled non-linear partial differential equations လို့ခေါ်ပါတယ် (Ref. [3])။

Coupled Non-Linear Partial Differential Equations ဆိုတာဘာလဲ

ဒါကို တစ်လုံးချင်း သရုပ်ခွဲကြည့်တဲ့အခါ

  • Non-linear က မျဥ်းဖြောင့်မဟုတ်ခြင်း (တစ်နည်း တသမတ်တည်း မဟုတ်) အပြောင်းအလဲများတဲ့ သဘောသဘာဝကို ပြနေတယ်။
  • Coupled က တိုက်ရိုက်ဘာသာပြန်ရင် ‘လိမ်ယှက်နေသော’ လို့ ပြောလို့ရတယ်။ ဆိုပါတော့ မသိကိန်း ၁၀ လုံး ညီမျှခြင်း ၁၀ ကြောင်းရှိတယ်ဆိုရင် မသိကိန်းတွေက ညီမျှခြင်းတိုင်းမှာ ရောထွေးပါဝင်နေတဲ့သဘောကို ပြောတာပါ။ စာရေးသူရဲ့ အတွေ့အကြုံအရ ဒါမျိုးဟာ အင်မတန်မှ ဖြေရှင်းရခက်ပါတယ်။
  • Partial ဆိုတာက တိုက်ရိုက်ဘာသာပြန်ရင် ‘တပိုင်းတစ’ လို့အဓိပ္ပာယ်ထွက်တယ်။ ရှိတ်ခြင်း (differentiate) နဲ့ သက်ဆိုင်တယ်။ စာရေးသူ အရှေ့မှာ တင်ပြပြီးခဲ့တဲ့ ဆောင်းပါးတွေက Ordinary differentiate (ရိုးရိုး ရှိတ်တဲ့) အကြောင်းပါ။ Partial ရှိတ်ခြင်းဆိုတာက ဖန်ရှင်တစ်ခုမှာ ကိန်းရှင်အများအပြား (multivariable) ပါဝင်နေရင် အသုံးပြုပါတယ်။ ဥပမာ f(x,y,z,t) ရဲ့ x နဲ့ လိုက်၍ ပြောင်းလဲခြင်း ၊ ဒါကို \displaystyle \frac{\partial}{\partial{x}}f(x,y,z,t) ဆိုပြီး ရေးပါတယ်။ x နဲ့ လိုက်ပြီးပဲ ပြောင်းမှာဆိုတော့ ကျန်တဲ့ y, z, t တို့ကို ကိန်းသေလို့ ရှုမြင်ပြီး ရှိတ်တာပါ။
  • Differential equations ဆိုတာက အလိုက်ပြောင်းညီမျှခြင်းပါ။ ပြောင်းလဲခြင်းတွေကို ဖော်ပြချင်တဲ့အခါမျိုးမှာ သုံးပါတယ်။

ဆိုတော့ကာ ဒီညီမျှခြင်းကို ရှင်းနိုင်ဖို့ Differential ညီမျှခြင်းတွေရှင်းနည်း၊ Exact solution ရှာနည်း၊ Weak form integral equations ပုံစံပြောင်းရေးပြီး သင့်တော်တဲ့ numerical method (ဂဏန်းသင်္ချာနည်း) အသုံးပြုပြီး approximate solution ရှာနည်း၊ Linearized လုပ်နည်း၊ နောက်ပြီး differential geometry စတဲ့ သင်္ချာအသိတွေကို ကြေညက်ထားမှရမှာပါ (အဲ့ထက်တောင် ပိုချင်ပိုနိုင်သေးတယ်)။ ဒီလိုပြောလိုက်လို့ စိတ်ပျက်မစောပါနဲ့ဦး။ အဲ့လို challenge တွေရှိနေတာကိုက ဒီညီမျှခြင်းလေးရဲ့ အသက်လို့ စာရေးသူကတော့ ဆိုချင်ပါတယ်။ ယနေ့ခေတ်မှာ သူများတကာ ဖြေရှင်းပေးပြီးသား solutions အမြောက်အများလည်း ရှိနှင့်ပြီးသားဖြစ်နေပါပြီ။

ထားပါတော့။ ဒါက ညီမျှခြင်းလေးနဲ့ ပတ်သက်လို့ သိစေချင်တာပါ။ ကဲ သင်္ကေတလေးတွေကို တစ်ခုချင်းလိုက်ကြည့်ရအောင်။

\displaystyle G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu \nu}

ညီမျှခြင်းရဲ့ ဘယ်ဖက်ခြမ်းမှာ ပထမဆုံးတွေ့ရတဲ့ သင်္ကေတလေးကတော့ \displaystyle G_{\mu \nu} ပါ။ သူ့ကို Einstein tensor လို့ခေါ်ပါတယ်။ သူ့ကို နောက်ထပ် Tensor နှစ်ခုဖြစ်တဲ့ Ricci curvature tensor နဲ့ metric tensor ကိုသုံးပြီး ထပ်ဖြန့်ရေးပါတယ်။ ညီမျှခြင်းအနေနဲ့ ပြန်ရေးရရင်

\displaystyle G_{\mu \nu} = R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu \nu}

Ricci curvature tensor နဲ့ metric tensor အကြောင်းကတော့ အင်မတန်နက်နဲပြီး ရှုပ်ထွေးလှတာကြောင့် လောလောဆယ် မိတ်ဆက်ဆောင်းပါးလေးသာဖြစ်တဲ့အတွက် ချန်လှပ်ထားခဲ့ချင်ပါတယ်။ အလွယ်မှတ်ချင်ရင်တော့ ဒီ Einstein Tensor တွေဟာ space-time ရဲ့ ကွေးညွတ်မှုကို ဖော်ပြနေတယ် လို့ မှတ်ထားပါ။

ဒုတိယသင်္ကေတဖြစ်တဲ့ \displaystyle \Lambda g_{\mu \nu} ကတော့ အိုင်းစတိုင်းကလဲ့စားလို့တောင် တင်စားပြောဆိုကြတဲ့ cosmological constant \displaystyle \Lambda နဲ့ metric tensor \displaystyle g_{\mu \nu} တို့မြှောက်ထားတာပါ။ ဒါက တွန်းအားမရှိ (ဆွဲအားပဲရှိနေတဲ့) ထူးဆန်းလှတဲ့ gravity ရဲ့ သဘောသဘာဝကို ပြန်ထိန်းညှိပေးဖို့ဆိုပြီး ထပ်ပေါင်းထည့်ပေးခဲ့တဲ့ ကိန်းသေပဲဖြစ်ပါတယ်။ နှစ်ခုမြှောက်ထားတဲ့ ရလဒ်ကိုတော့ space ကြီး သူ့အတိုင်းရှိနေတဲ့အခါမှာ တည်ရှိနေရတဲ့ စွမ်းအင်ကြောင့် ကွေးညွတ်ရခြင်း (stress from empty space itself) လို့ နားလည်နိုင်ပါတယ်။ တည်ရှိမှုကလည်း စွမ်းအင်ပါ။ space ကြီး ဖြစ်တည်နေတာကလည်း စွမ်းအင်ပါ။ ဒါကို အိုင်းစတိုင်းက သူရဲ့ နာမည်ကြီးပုံသေနည်း E = mc2 နဲ့ ဆက်စပ်ပြခဲ့ပါတယ်။

ညီမျှခြင်းရဲ့ ညာဖက်ခြမ်းမှာပါတဲ့ သင်္ကေတ ၄ ခုအနက် ကိန်းသေ ၃ ခုကို စာဖတ်သူအများသိကြမယ်လို့ ယုံကြည်မိပါတယ်။ သူတို့ကတော့ —

\displaystyle \pi ပိုင်ပါ (စက်ဝိုင်းရဲ့ အဝန်းပိုင်းကို အချင်းမျဥ်းနဲ့ စားရင်ရတဲ့ တန်ဖိုး)

\displaystyle G ဆိုတာ Newton ရဲ့ Gravitational ကိန်းသေပါ (Newton ရဲ့ ပုံသေနည်းမှာပါပါတယ်)

\displaystyle c အလင်းရဲ့ အလျင်ပါ။

ဒီကိန်းသေ ၃ ခုအပြင် နောက်ဆုံးတွေ့ရတဲ့သင်္ကေတလေးကတော့ \displaystyle T_{\mu \nu} ဖြစ်ပါတယ်။ သူ့ကို stress-energy (ဒဏ်အား-စွမ်းအင်) tensor လို့ခေါ်ပါတယ်။ သူဟာ သိပ်သည်းဆ (density) နဲ့ ဟင်းလင်းပြင်-အချိန်ထဲက စွမ်းအင် (energy) ၊ အဟုန် (momentum) တို့ရဲ့ အဆက်မပြတ်ပြောင်းလဲနေခြင်း (ဝါ) စီးဆင်းနေခြင်းသဘောတရားလေးကို ဖော်ကျူးနေပါတယ်။ Newtonian physics မှာပါဝင်တဲ့ stress tensor ကို ယေဘုယျပိုကျအောင် လုပ်ထားတယ် (တစ်နည်း generalize လုပ်ထားတယ်) လို့ နားလည်နိုင်ပါတယ်။

တစ်ခုချင်းစီမှာ တွေ့တွေ့နေရတဲ့ \displaystyle \mu တို့ \displaystyle \nu တို့ဆိုတာကတော့ သူတို့နေရာမှာ ဂဏန်း (၁၊ ၂၊ ၃၊ ၄) ကို တစ်လှည့်စီ အစားသွင်းပေးရမှာပါ။ ဥပမာ \displaystyle \mu = 1, 2, 3 နဲ့ \displaystyle \nu = 1, 2, 3 ရှိတယ်ဆိုပါတော့။ \displaystyle A_{\mu \nu} ကို ရေးချင်ရင် ခုနက \displaystyle \mu နဲ့ \displaystyle \nu ကို အောက်ပါအတိုင်း တစ်လှည့်စီ အစားသွင်းပေးရပါတယ်။

\displaystyle A_{\mu \nu} = A_{11}, A_{12}, A_{13}, A_{21}, A_{22}, A_{23}, A_{31}, A_{32}, A_{33}

ဒါကို matrix သင်္ချာနဲ့လည်း ဆက်စပ်ကြည့်လို့ရပါသေးတယ်။ အသေးစိတ်ကို စိတ်ဝင်စားကြတယ်ဆိုရင် comment မှာ ပြောထားပါ။ နောက်ပိုင်း လေ့ကျင့်ခန်း မှတ်စုသဘောမျိုးနဲ့ ထပ်တင်ပေးပါမယ်။

Tensor ဆိုတာ ဘာလဲ

ကဲ ဟုတ်ပြီ။ ဒီလိုဆိုရင် Tensor ဆိုတာ ဘာလဲ။ တကယ်တော့ Tensor ဆိုတာ အိုင်ဒီယာအသစ်တော့လည်း မဟုတ်ဘူးဗျ။ သဘာဝတရားကြီးရဲ့ ဥပဒေသတွေကို ရေးတဲ့အခါမှာ အမျိုးအစား နှစ်မျိုးခွဲမြင်လို့ရတယ်။ ဒါကတော့ အားလုံးနဲ့ရင်းနှီးပြီးသားဖြစ်မယ့် Scalar quantity နဲ့ vector quantity ဆိုပြီးပဲ ဖြစ်ပါတယ်။ Scalar quantity မှာ ပမာဏ (magnitude) ပဲ ရှိပြီး vector quantity မှာတော့ ပမာဏရော ဦးတည်ချက် (direction) ရောရှိပါတယ်။ Insight ရဲ့ အရောတတ်ဆုံးရူပဗေဒမတ္တာများ ဆောင်းပါးမှာ ဒီအကြောင်းလေးကို ရှင်းပြထားပြီးပါပြီ။

  • အကွာအဝေး (distance), အမြန်နှုန်း (speed), ဖိအား (pressure) စသည်တို့ဟာ ပမာဏပဲရှိလို့ scalar ဆိုပြီး သတ်မှတ်ပါတယ်။ Tensor ဘာသာစကားနဲ့ဆို သူတို့ကို အဆင့် သုည (zeroth-order tensor) လို့ခေါ်ပါတယ်။
  • အရွေ့ (displacement), အလျင် (velocity), အရှိန် (acceleration) စသည်တို့ဟာ vector quantity များ ဖြစ်ကြပါတယ်။ ၎င်းတို့ကိုတော့ Tensor မှာ ပထမအဆင့် (first-order tensor) လို့ခေါ်ပါတယ်။
  • ဒဏ်အား (stress) တို့၊ ဒဏ် (strain) တို့၊  ဒဏ်အား – စွမ်းအင် (stress-energy) တို့ စသည်တို့ကတော့ ဒုတိယအဆင့် tensor (second-order tensors) များဖြစ်ပါတယ်။ သူတို့ကိုတော့ dyadic (ဒိုင်ရာဒစ်) လို့ခေါ်ပါတယ်။
  • တတိယအဆင့် tensor ကို triadic ၊ စတုတ္ထအဆင့် tensor ကို tetradic စသည်ဖြင့်လည်း အသီးသီးရှိကြပါသေးတယ်။

အော် ဒါဆို Tensor ဆိုတာ magnitude တွေ၊ direction တွေကို ဒိုင်မန်းရှင်းတွေနဲ့ လိုက်ပြီး ကောင်းကောင်းဖော်ပြနိုင်တဲ့ language တစ်ခုပေပဲလို့ နားလည်ကြည့်နိုင်ပါတယ်။ ဒိုင်မန်းရှင်းတွေ တိုးလာလေလေ tensor ဟာလည်း Zeroth-order, First-order, second-order, third-order စသည်ဖြင့် တဖြည်းဖြည်း ကြီးလာလေလေပဲ ဖြစ်ပါတယ်။

မှတ်ချက်။ Engineering application တော်တော်များများမှာ Euclidean tensors ကို အသုံးများပါတယ်။ သတိပြုသင့်သည်မှာ အဆိုပါ Euclidean vectors နဲ့ scalar တွေဟာ General relativity မှာအဓိပ္ပာယ်မရှိတော့ပါ။

ကဲ ဒီလောက်ဆို space-time အကြောင်း၊ tensor အကြောင်း အကြမ်းဖျင်းတော့ သဘောပေါက်သွားလောက်ပါပြီ။ အင်မတန်စိတ်ဝင်စားဖို့ကောင်းတဲ့ အကြောင်းအရာတွေ ဖြစ်နေတော့ စာဖတ်သူတို့ကိုလည်း စိတ်ဝင်စားလာစေချင်တဲ့ ရည်ရွယ်ချက်လေးနဲ့ ပြန်လည်မျှဝေရခြင်းပဲ ဖြစ်ပါတယ်။ စာရေးသူလည်း လေ့လာနေဆဲ ကျောင်းသားတစ်ယောက်မျှသာ ဖြစ်တာမို့ ရှင်းလင်းချက် အမှားအယွင်းများ၊ သတ်ပုံအမှားအယွင်းများ ပါသွားခဲ့လို့ ရှိရင်လည်း ထောက်ပြလမ်းညွှန်ပေးကြပါဦးလို့ ပြောကြားရင်း စာရေးသူရဲ့ Space-time နဲ့ Tensor ဆောင်းပါးလေးကို ဒီမှာတင်ပဲ နိဂုံးကပတ် အဆုံးသတ်ပါရစေခင်ဗျား။

အားလုံးပညာရေးဖြင့် ဘဝခရီးချောမွေ့ကြပါစေ။

#yp

စိတ်ဝင်စားတဲ့ စာဖတ်သူတို့အနေနဲ့ ပိုမိုပြည့်စုံတဲ့ Tensor အကြောင်း ရှင်းပြချက်တွေကို ဖတ်ရှုချင်တယ်ဆိုရင် ဆရာဦးခင်မောင်မောင် ရဲ့ facebook စာမျက်နှာမှာ သွားရောက်ဖတ်ကြည့်လို့ရပါတယ်။ အောက်မှာ လင့်ခ်လေးတွေ ပြန်ညွှန်းပေးထားပါတယ်။
Tensor နဲ့ အလွယ်ဆုံးနဲ့ မှန်မှန်ကန်ကန် မိတ်ဆက်ခြင်း (အပိုင်း ၁)
Tensor နဲ့ အလွယ်ဆုံးနဲ့ မှန်မှန်ကန်ကန် မိတ်ဆက်ခြင်း (အပိုင်း ၂)
Tensor နဲ့ အလွယ်ဆုံးနဲ့ မှန်မှန်ကန်ကန် မိတ်ဆက်ခြင်း (အပိုင်း ၃)

Ref.
[1] Irgens, Fridtjov. 2003. Tensor Analysis.
[2] https://www.nasa.gov/mission_pages/gpb/gpb_012.html
[3] https://physics.info/general-relativity/